Определение устойчивости систем автоматического регулирования по критерию Михайлова

Критерий позволяет судить об устойчивости САР по очертани­ям так называемой кривой Михайлова, представляющей собой го­дограф вектора M(jw). Для этого необходимо определить характе­ристическое уравнение замкнутой системы и произвести замену s на jw.В результате замены получаем выражение:

Выделим вещественную и мнимую части вектора Михайлова в выра­жении:

где

Изменяем частоту w от нуля до бесконечности и строим го­дограф на комплексной плоскости. Кривая Михайлова строится в плоскости (X, jY) по точкам в соответствии с выражением. Каждой точке кривой соответствует свое значение w. Направление возрастания w обычно указывается стрелкой на кривой.

Для устойчивости линейной САР необходимо и достаточно, чтобы вектор M(jw) при изменении w от нуля до бесконечности начинаясь на положительном направлении вещественной оси X повернулся на угол j=pn/2 против часовой стрелки, где n-степень характеристического уравнения замкнутой системы.

Таким образом, для практического применения критерия необ­ходимо найти характеристический полином замкнутой системы M(s), построить по точкам кривую Михайлова M(jw) и подсчитать угол j на который поворачивается этот вектор. Если кривая Михайлова имеет плавные спиралеобразные очертания и проходит последовательно n - квадрантов, где n - порядок дифференциального урав­нения САР, то такая система будет устойчивой.

Рис. 1 Кривые Михайлова для устойчивых САР различного порядка

Определение устойчивости систем автоматического регулирования по критерию Найквиста.

Критерий Найквиста позволяет вести анализ на устойчивость замкнутых систем САР в зависимости от устойчивости или неустойчивости разомкнутых систем регулирования. В соответствии с этими задачами критерий имеет следующую формулировку:

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо достаточно, чтобы амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ) разомкнутой системы не охватывала точку с координатами [-1, j₀].

Для построения АФЧХ разомкнутой системы в передаточной функции производят замену s на j , освобождаются от мнимости в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное выражение, и выделяют действительную и мнимую части АФЧХ.

После этого, задавая различные значения в диапазоне от 0 до , строят годограф W .

Рис. 2 АФЧХ разомкнутой системы (1 -устойчивая САР, 2 – неустойчивая САР)

АФЧХ может быть построена другим способом:

W(j ) = A( j

где А - модуль АФЧХ;

аргумент АФЧХ.

А( j = ;

.