Портфель минимального риска при заданной его эффективности

Рассмотрим портфель из двух видов бумаг, эффективность которых удовлетворяет условию Требуемая эффективность такого портфеля может быть задана в виде:

(4.21)

где значение может быть задано в пределах

Сделав замену переменной структуру портфеля, удовлетворяющую условию (4.21), можно определить в виде:

(4.22)

При задании эффективности портфеля в виде равенства в уравнении (4.21) Структура портфеля определена однозначно:

(4.23)

В этом случае риск портфеля из двух видов бумаг однозначно определится формулой.

(4.24)

При задании эффективности портфеля в виде неравенства (4.21) структура портфеля минимального риска определяется наименьшим значением функции (4.24) на интервале значений х₁, заданных неравенством (4.22). Для нахождения наименьшего значения функции (4.24) на интервале (4.22) необходимо:

1) Приравнять производную функции (4.24) по х₁ нулю и из решения полученного уравнения определить значение при котором обеспечивается минимум риска портфеля ценных бумаг

2) Если вычисленное значение удовлетворяет неравенству:

(4.25)

то это значение является решением поставленной задачи. Ценовая доля бумаг второго вида находится из условия

3) Если вычисленное значение не удовлетворяет неравенству (4.25), то значение х₁, обеспечивающее минимальный риск при заданной эффективности, определяется значением одной из границ интервала (4.25). Значение , обеспечивающее минимум определяется формулой:

(4.26)

Из формул (4.26) и условий следует, что минимальное значение риска портфеля существует при значениях коэффициента корреляции:

(4.27)

Пример 4.2. Определить стоимостные доли х₁ и х₂ портфеля ценных бумаг двух видов, обеспечивающие минимальный риск портфеля при заданной его эффективности если эффективности и риски бумаг первого и второго вида соответственно равны

Решение. Определим диапазон возможных значений стоимостной доли бумаг первого вида в соответствии с условием (4.21):

Так как по условию задачи то для х₁ получим:

(4.28)

По формулам (4.26) определим значения и , обеспечивающие минимальный риск портфеля ценных бумаг при двух различных значениях коэффициента корреляции доходностей ценных бумаг. Из условий (4.27) следует, что при заданных рисках ценных бумаг оптимальные значения и существуют для коэффициентов корреляции, принимающих значение в интервале:

Вычислим значения и для коэффициента корреляции :

Для коэффициента корреляции оптимальная структура портфеля ценных бумаг двух видов определится значениями:

Из приведенных расчетов видно, что при значения и удовлетворяют неравенствам (4.28). Значит, структура портфеля минимального риска при его заданной эффективности определяется следующими значениями ценовых долей бумаг первого и второго вида: . При этих значениях эффективность портфеля бумаг будет равна:

а минимальный риск портфеля ценных бумаг будет иметь значение:

При вычисленные функции и не удовлетворяют неравенствам (4.28). Это значит, что оптимальная структура портфеля ценных бумаг, обеспечивающая минимум при его заданной эффективности, определяется одной из границ интервала (4.28).

При и для значений и получим:

При и эффективность и риск портфеля ценных бумаг определяются значениями:

Таким образом, при оптимальная структура портфеля ценных бумаг, обеспечивающая минимальный риск портфеля при заданной его эффективности, определяется значениями и .

Рассмотрим методику определения структуры портфеля ценных бумаг, состоящего из трех видов независимых бумаг, обеспечивающей минимальный риск портфеля при заданной его эффективности. Данную задачу можно представить в формализованном виде:

(4.29)

где выполняются соотношения:

Сделаем замену переменных получим:

отсюда для получим:

(4.30)

где

После подстановки соотношений и в формулу (4.29) для риска портфеля ценных бумаг получим:

Дифференцируя данное уравнение по х₂ и приравнивая производную нулю, получим:

Отсюда для оптимального значения ценовой доли бумаг второго вида в портфеле из трех видов бумаг получим:

С учетом равенств и для оптимальных значений ценовых долей бумаг первого, второго и третьего вида получим:

(4.31)

Структура портфеля, определяющаяся ценовыми долями бумаг , и (формулы (4.31), обеспечивает минимум риска портфеля ценных бумаг при заданной его эффективности (4.29).

Пример 4.3.Портфель состоит из трех видов независимых ценных бумаг, эффективность и риски которых имеют соответственно значения

Определить структуру портфеля ценных бумаг , и обеспечивающую минимальный риск портфеля при его заданной эффективности .

Решение. По формулам (4.30) определим значение коэффициентов А и В:

По формулам (4.31) определяем оптимальные значения ценовых долей ценных бумаг первого, второго и третьего вида:

Правильность вычисления значений , и можно проверить по формулам:

Вычислим эффективность портфеля ценных бумаг:

Вычислим риск портфеля ценных бумаг: