Традиционные методы обработки информации

3.5.1. Метод группировки

Группировка – неотъемлемая часть почти любого экономического исследования. Она позволяет изучить те или иные экономические явления в их взаимосвязи и взаимозависимости, выявить влияние наиболее существенных факторов, обнаружить, определить закономерности и тенденции развития. В зависимости от целей и задач анализа группировки делятся на: типологические; структурные; аналитические. Как правило, результаты группировок оформляются в виде таблиц и графиков.

В процессе группировки единицы совокупности распределяются по группам в соответствии со следующим принципом: различие между единицами, отнесенными к одной группе, должно быть меньше, чем различие между единицами, отнесенными к разным группам.

При построении группировок обычно используют метод построения равных интервалов, и тогда для расчетов используют формулу Стерджесса:

, где

h- величина интервала;

R– размах вариации, определяемый в свою очередь разницей между максимальным и минимальным значением признаков в совокупности (Xmax-Xmin).

k- количество групп. K= 1+3,32* lg N

Применение метода построения группировок с равными интервалами возможно лишь в однородных совокупностях подчиняющихся закону нормального распределения.

Пример 2.

Имеются данные о размере прибыли на одну торговую точку предприятия за год (млн.руб).

8,0 8,2 8,5 8,5 8,7 8,8 8,8 8,9 10,1 10,5

10,5 10,7 11,0 11,0 11,6 11,6 11,8 11,8 12,1 12,1

12,3 12,4 12,4 12,5 12,5 12,7 12,8 12,8 12,8 12,8

13,1 13,1 13,5 13,5 13,7 14,1 14,2 14,2 14,5 14,5

14,6 14,6 15,2 15,2 15,4 15,7 15,9 16,2 16,2 16,2

16,9 16,9 17,5 17,5 18,5 19,0 19,5 19,5 20,1 22,0

Составим типологическую группировку (табл.3.3.) торговых точек предприятия по размеру получаемой прибыли.

Таблица 3.3.

Группировка торговых предприятий

Объем прибыли (млн.руб) хi	Количество торговых точек fi	Накопленные частоты S
8-10
10-12
12-14
14-16
16-18
18-20
20-22
Итого

R= (Xmax-Xmin) = 22-8 = 16

k= 1+3,32* lg N = 1 + 3,32* lg 60 = 7 ( количество групп)

, (величина интервала)

При больших объемах единиц совокупности и неравномерности распределения признака как правило используют группировки с неравными интервалами, тогда размеры интервалов определяются аналитиками самостоятельно на основе имеющегося опыта.

Следует отметить, что в любом случае процесс группировки данных включает несколько этапов:

- выбор группировочного признака;

- упорядочивание совокупности по этому признаку;

- определение количества групп;

- определение границ интервалов.

Основное правило при проведении группировки состоит в следующем: не должно быть пустых и малозаполненных интервалов. Иными словами, формула Стерджесса дает лишь ориентировочные значения интервалов группировки; при принятии окончательного решения, как правило, значения округляются или незначительно меняются.

В экономическом анализе достаточно часто используются структурные и аналитические группировки. Структурные группировки предназначены для изучения структуры и состава изучаемого явления, происходящих в нем сдвигов относительно выбранного варьирующего показателя. Аналитические группировки предназначены для изучения взаимосвязей между двумя и более показателями, характеризующими данную совокупность. Один показатель при этом рассматривается как результат, а остальные как факторы. С помощью данного вида группировок можно рассчитать тесноту связи между результативным и факторными признаками. Однако процесс построения аналитических группировок достаточно трудоемок и не всегда приводит к желаемым результатам. В современных условиях данная проблема решается с применением вычислительной техники и использования методов построения многомерных группировок (подробнее методика многомерных группировок будет показана при рассмотрении метода кластерного анализа).

3.5.2. Метод средних величин

В любой совокупности экономических явлений или субъектов наблюдаются различия между отдельными единицами этой совокупностью. Одновременно с этими различиями существует и нечто общее, что объединяет совокупность и позволяет отнести все рассматриваемые субъекты и явления к одному классу. Роль средних величин заключается в обобщении, то есть замене множества индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Средняя величина обобщает качественно однородные значения признака и, следовательно, является типической характеристикой признака в данной совокупности. Средние величины делятся на степенные и структурные.

Степенная средняя, в зависимости от степени “m”, может представлять собой различные виды средних величин.

x_i – значение показателя

m – номер степени средней

n - число вариант

C помощью выше приведенной формулы могут быть рассчитаны показатели только при трех условиях, если: вариационный ряд короткий; значения признака не сгруппированы и варианты встречаются одинаковое число раз.

Если варианты встречаются неодинаковое число раз, то средние величины рассчитываются не как простые, а взвешенные по следующей формуле:

x_i – значение показателя

m – номер степени средней

fi - число вариант

Таблица 3.4.

Виды средних величин

№ п/п	Наименование величины	По простому ряду	По вариационному ряду
	Средняя арифметическая
	Средняя гармоническая
	Средняя антигармоническая
	Средняя геометрическая
	Средняя квадратическая
	Средняя кубическая
	Средняя биквадратическая

В таблице 3.4. приведены формулы расчета различных видов средних величин, для сгруппированных и не сгруппированных данных. Замечено, что численное значение средних величин с повышением у определяющей функции показателя “m” возрастает. Это свойство в статистике названо “правилом мажорантности”.

Рассмотрим примеры использования средних величин в экономическом анализе.

Пример 3.

Предприятие реализует картофель в течении месяца по разным ценам.

Средняя цена реализации картофеля составит 4,96 руб за 1 кг. Для расчета следует использовать формулу средней арифметической взвешенной:

Пример 4.

Темпы роста цен на реализуемую предприятием продукцию по кварталам года были различными:

Квартал	I	II	III	IV
Темп роста цен	1,002	1,005	1,004	1,006

Общий рост цен за год составил 1,002·1,005·1,004·1,006=1,017

Для расчета среднего темпа роста цен за год следует использовать формулу средней геометрической:

Пример 5.

Рабочий изготавливает 600 деталей за дневную смену и 410 деталей в ночную смену. Продолжительность дневной смены 8 часов, а ночной 6 часов. Требуется определить среднюю выработку работника за смену.

Для расчета следует воспользоваться средней гармонической:

Пример 6.

Требуется на основании данных отчетности об остатках товарно-материальных запасов определить средний объем товарно-материальных запасов за период.

	01.01.02.	01.04.02	01.07.02.	01.10.02	01.01.03.
Товарно-материальные запасы (тыс.руб)

Для расчета среднего объема товарно-материальных запасов в данном случае целесообразно применить формулу средней хронологической:

Кроме рассмотренных выше различных видов средних величин для анализа рядов распределения, рассчитываются еще так называемые структурные средние величины: мода и медиана, которые характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном ряду. Медиана (Ме) соответствует варианту, занимающего середину ранжированного ряда.

Расположение медианы определяется ее номером (Nме), который рассчитывается по формуле:

Медианная строка в вариационной таблице определяется по накопленной частоте Si, численная величина которой должна быть равна или на немного больше медианы.

Численное значение самой медианы определяется по формуле:

х_ме – нижнее значение медианного интервала;

h – величина медианного интервала;

S_ме-1 – накопленная частота, предшествующая медианному интервалу

fме – частота (частость, вес) медианного интервала.

Модой (Мо) называют часто встречающееся значение признака у исследуемых единиц совокупности. Мода в вариационном ряду с равными интервалами определяется по формуле:

Для характеристики экономических показателей в совокупности можно рассчитать абсолютные и относительные показатели вариации.

Самым простым абсолютным показателем является размах вариации

R = Xmax-Xmin.

Размах вариации показывает, насколько велико различие между единицами совокупности, имеющими самое маленькое и самое большое значение признака.

Среднее линейное отклонение (d) - отражает все колебания варьирующего признака, дающий обобщенную ее характеристику

Дисперсия (σ²) и среднее квадратическое отклонение (σ) - являются общепринятым мерами вариации и часто используются в экономических исследованиях.

σ²

Дисперсия есть средняя величина квадратов отклонений. Среднее квадратическое отклонение - это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности

Среднее квартильное расстояние (Q) - используется для характеристики вариации в центральной ее части.

Для вычисления совокупность делят на четыре части. Эти четыре части называют квартилями и обозначают (Q) с подписным значком номера.

или

, где

X_Q1,X_Q2, X_Q3- значения верхней границы интарвала для каждой строки

S- накопленная частота

S_-1- накопленная частота предыдущей строки

Для целей сравнения колеблемости различных признаков представляют интерес относительные показатели вариации. Они позволяют сравнивать характер рассеивания в различных распределениях.

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

%

Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.

%

Коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем вариации, используемым для оценки типичности средних величин. При этом исходят из того, что если коэффициент вариации больше 33 %, то это говорит о неравномерности распределения признака в изучаемой совокупности.

%

Коэффициент квартильного отклонения- показывает колеблемость внутри квартилей.

% или %

Основная задача анализа вариационных рядов- выявление закономерностей распределения. Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а так же вычисление показателей ассиметрии и эксцесса.

При нормальном распределении: средняя величина совокупности равна моде и медиане. Для распределения выполняется «правило трех сигм.

Мо=Ме=х

-3s х +3s

Рис. Графическое изображение «нормального» распределения

Для характеристики распределения определяются показатели ассиметрии. Для того, чтобы выявить ассиметрию распределения крайних значений совокупности рассчитывают показатель, основанный на моменте третьего порядка.

Для характеристики ассиметрии в центре совокупности используют показатель Пирсона:

Если в результате расчетов показатель будет больше нуля, то ассиметрия правосторонняя, если отрицательная величина, то левосторонняя.

левосторонняя правосторонняя

нормальное распределение

Рис. Графическое изображение ассиметрии.

В статистических расчетах принято считать: если коэффициент ассиметрии более 0,5, то ассиметрия существенна, а если меньше 0,25, то несущественна.

Другим показателем характеризующим распределение является эксцесс–выпадение вершины эмпирического распределения вверх и вниз от вершины нормального распределения, рассчитывается с помощью момента четвертого порядка

При нормальном распределении Ех = 0. Если величина показателя эксцесса положительна, то распределение островершинное, если отрицательна - распределение плосковершинное.

островершинное

плосковершинное

нормальное распределение

Рис. Графическое изображение эксцесса.

Пример 7.

Имеются данные о размере прибыли по торговым точкам предприятия за год (млн.руб). Рассчитаем по данным таблицы 4.5. абсолютные и относительные показатели вариации.

Таблица 3.5.

Расчеты показателей вариации и характера распределения

Xi	fi	Xi	Xi*fi	(Xi-X)*fi	(Xi-Xcp)2*fi	(X-Xcp)4*fi	t	F(t)	fтеор	fi-fтеор	(Ft-Fi) 2/Ft
8-10				-37,33	174,22	3581,90	-1,48	0,13		-3	1,73
10-12				-26,66	71,11	456,90	-0,84	0,28		-1	0,07
12-14				-11,33	7,55	2,20	-0,19	0,35			0,86
14-16				16.00	21,33	46,09	0,45	0,36		-2	0,28
16-18				23,33	77,77	935,43	1,10	0,22		-2	0,28
18-20				21,33	113,77	3401,20	1,74	0,08			0,26
20-22				14,66	107,55	5997,3	2,39	0,02			1,93
Всего		-		150,4	573,33	14421,0					5,40

Определим размах вариации: R=x_max-x_min=22-8=14млн руб.

Расчеты показывают, что разница между максимальным и минимальным размером прибыли по торговым точкам составляет 14 млн.руб.

В среднем по торговым точкам объем прибыли составляет 13,6 млн.руб.

.

Отклонение от среднего объема прибыли по анализируемым торговым точкам в среднем не превышает 2,5 млн.руб.

Среднее квадратическое отклонение более точно показывает среднее отклонение от среднего объема прибыли по торговым точкам:

s²= s = 3,09

Расчеты среднего квадратического отклонения показали, что в среднем удаленность от среднего размера прибыли составляет 3,09 млн.руб.

Для определения среднего квартильного расстояния рассчитаем квартили:

Проведенные расчеты первой квартили показали, что в 15 торговых точках средний размер прибыли не превышает 11,45 млн.руб.

Расчеты второй квартили (медианы) показывают, что на 30 торговых точках объем прибыли за год не превышает 13,5 млн.руб., а у остальных превышает.

Расчеты третьей квартили показали, что на 46 торговых точках размер прибыли не превышает 16 млн.руб.

Таким образом, среднее квартильное расстояние составляет:

Расчеты моды показывают, что наиболее часто встречающийся объем прибыли по торговым точкам составляет 13,2 (млн.руб).

Коэффициент осцилляции показывает, что максимальная удаленность размера прибыли от средней по торговым точкам не превышает 103%.

% = 14/ 13,6 * 100 = 103%

Коэффициент линейного отклонения показывает, что в среднем отклонение от среднего объема прибыли составляет 18,38%

% = 2,5 / 13,6 *100 = 18,38%

Так как коэффициент вариации не превышает 33%, то данное распределение является однородным.

% = 3,09 / 13,6 *100 = 23%

Коэффициент квартильного отклонения указывает на то, что внутри квартилей колеблеемость не превышает 17%.

% = ( 16 -11,45)/ 2* 13,5 = 17%

Для характеристики анализа изучаемого распределения торговых точек по объему прибыли рассчитаем ассиметрию в центре совокупности с помощью показателя Пирсона:

= 0,13 = 0,1

Проведенные расчеты указывают на то, что в центре изучаемой совокупности наблюдается незначительная правосторонняя ассиметрия, свидетельствующая о смещении торговых точек со средними показателями прибыли к менее прибыльным предприятиям.

М₄ = 14421,22 / 60 = 240

Ех = 240 / 91,72 - 3= 2,6 – 3 = -0,4 = 0,6

Расчеты показателя эксцесса указывают на плосковершинный характер распределения торговых точек по объему прибыли.

Для выявления соответствия изучаемого ряда распределения нормальному закону распределения рассчитаем критерий Пирсона (Хи-квадрат)

,

где fi- эмпирическое значение

fi′-теоретическая частота, определяется расчетным путем

Критерий Романовского связан с критерием Пирсона

n- количество групп.

При Кр меньше 3 – различие между нормальным и эмпирическим распределением несущественно и распределение считается близким к нормальному.

= 5,4 Кр =(5,4- 4)/2,8 = 0,5

В нашем случае критерий Романовского меньше 3, поэтом можно сказать, что распределение близко к нормальному.

3.5.3. Балансовый метод

Кроме выше перечисленных способов традиционной обработки информации, в данную группу следует отнести балансовый метод, который служит главным образом для отражения соотношений, пропорций двух групп взаимосвязанных и уравновешенных экономических показателей, итоги которых должны быть тождественны. Его основу составляет формула балансовой увязки

Он + П = В + Ок

Он и Ок – соответственно остатки ресурсов на начало и на конец периода; П - поступления; В – выбытия

Этот метод применяется при изучении соотношения двух групп взаимосвязанных показателей, итоги которых должны быть равны между собой. Своим названием он обязан бухгалтерскому балансу, который был одним из первых исторических примеров увязки большого числа экономических показателей двумя равными итоговыми суммами. Особенно широко распространено использование метода при анализе правильности размещения и использования хозяйственных средств и источников их формирования.

Балансовый метод как способ представления данных широко используется в планировании, учете и экономическом анализе. Кроме привычного бухгалтерского баланса, в анализе используются трудовые, товарные и денежные балансы. При помощи этих балансов планируется образование и распределение отдельных видов материалов, продукции, денежных средств, трудовых ресурсов.

Прием балансовой увязки используется также при изучении функциональных аддитивных связей, в частности, при анализе товарного баланса, а также для проверки полноты и правильности произведенных расчетов в факторном анализе: общее изменение результативного показателя должно равняться сумме изменений за счет отдельных факторов. В некоторых случаях балансовый способ может быть использован для определения величины влияния отдельных факторов на прирост результативного показателя.

Пример 8

Определим результативный и факторный показатели, их взаимосвязь, используя формулу балансовой увязки.

Таблица 3.6.

Движение готовой продукции в отчетном периоде (тыс.руб.)

Показатели	План	Факт	Отклонение
1. Остаток продукции на начало 2. Поступило продукции 3. Остаток продукции на конец			+2 -20 -10

Согласно формулы балансовой увязки: Он + П = В + Ок, нам не известно выбытие, таким образом реализация готовой продукции, отсюда

В= Он + П - Ок

Реализация по плану составит 603 тыс.руб., а фактически 595 тыс.руб., т.е. отклонение равно –8 тыс.руб. (595-603). Проанализируем полученные результаты.

План по реализации в отчетном периоде не довыполнен на 8 тыс.руб., это произошло в результате не выполнения плана поставок продукции, что в свою очередь привело к сокращению остатка готовой продукции на конец периода. Таким образом, факторами повлиявшими на увеличение реализации продукции являются остатки ее как на начало, так и наконец отчетного периода, а понижающим фактором является снижение объема поставок. Для улучшения сбалансированности движения готовой продукции предприятию необходимо устранить причины не выполнения плана поставок готовой продукции, а также привести ее запасы в соответствие с планируемыми нормами.

3.5.4. Методы финансовых вычислений

Финансовые вычисления, базирующиеся на понятии временной стоимости денег, являются одним из краеугольных элементов финансового анализа и используются в различных его разделах. Наиболее интенсивно они применяются для оценки инвестиционных проектов, в операциях на рынке ценных бумаг, в ссудозаемных операциях, в оценке бизнеса и др.

Переход к рыночной экономике на предприятиях как реального, так и финансового секторов сопровождается появлением некоторых новых видов деятельности, имеющих для благополучия предприятия принципиальный характер. К их числу относится задача эффективного вложения денежных средств. В условиях свойственной переходному периоду финансовой нестабильности, проявляющейся в устойчиво высоких темпах инфляции и снижении объемов производства, стало невыгодным хранить свои деньги даже в государственном банке. Многие предприятия на своем опыте познали простую истину: в условиях инфляции денежные ресурсы, как и другой вид активов, должны обращаться, и по возможности быстрее. Таким образом деньги стали иметь временную ценность. Этот параметр можно рассматривать в двух аспектах.

Первый аспект связан с обесценением денежной наличности с течением времени. Представим, что предприятие имеет свободные денежные в размере 15 тыс. руб., а инфляция составляет 20% в год. Это означает, что уже в следующем году, если хранить деньги "в чулке", они уменьшатся по своей покупательной способности и составят в ценах текущего дня лишь 12,5 тыс. руб.

Второй аспект связан с обращением капитала (денежных средств). Для понимания существа дела рассмотрим простейший пример.

Пример 9. Предприятие имеет возможность вложить денежные средства, которые принесут доход в размере 100 тыс. руб. по истечении двух лет. При этом можно получить доход: либо по 50 тыс. руб. в конце каждого года, либо единовременное получение всей суммы в конце двухлетнего периода.

В данном случае даже не производя ни каких финансовых вычислений очевидно, что первый вариант выгоднее, так как сумма, полученная в конце первого года, может быть вновь пущена в оборот и, таким образом, может принести дополнительные доходы.

Однако проблема выбора усложниться если изменить условие задачи. Например, доходы таковы: в первый год — 4 тыс. руб., а во второй — 7 тыс. руб. В этом случае уже неочевидно, какой вариант предпочтительнее. Для принятия решения следует провести ряд финансовых вычислений.

Логика построения основных алгоритмов достаточно проста и основана на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы РVс условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV. Как известно, результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя - прироста (FV – PV),либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом - ставкой. Этот показатель рассчитывается как отношение приращения исходной суммы к базовой величине, и качестве которой, очевидно, можно взять либо PV, либо FV. Таким образом, ставка рассчитывается по одной из двух формул:

В финансовых вычислениях первый показатель имеет еще названия "процентная ставка", а второй - "учетная ставка", "дисконтная ставка". Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения.

Как же соотносятся между собой эти показатели? Очевидно, что r_t>d_t, а степень расхождения зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени. Так, если r_t = 8%, а d_t = 7,4%, то расхождение сравнительно невелико; если r_t = 80%, то d_t = 44,4%, т.е. ставки существенно различаются по величине.

В прогнозных расчетах (например, при оценке инвестиционных проектов), обычно имеют дело с процентной ставкой. Как правило, расчеты проводится в относительно стабильной экономике, когда уровни процентных ставок невелики и сравнительно предсказуемы в том смысле, что их значения не могут измениться в несколько раз. Если вероятна значительная вариабельность процентных ставок, должны применяться другие методы анализа и принятия решений, основанные главным образом на неформализованных критериях.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения, искомая величина - наращенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина - приведенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой дисконтирования. В первом случае речь о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором – о движении от будущего к настоящему (см. рис. ).

Пример 5.10. Предприятие получило кредит на один год в размере 500 тыс.руб с условием возврата 100 тыс. руб. В этом случае процентная ставка равна 100%, я дисконт - 50%:

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени. Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год, то наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Таким образом, процент выступает как причина изменения стоимости денег во времени.

НАСТОЯЩЕЕ БУДУЩЕЕ

Исходная сумма

Наращение Возвращаемая сумма

Ставка

Дисконтирование Ожидаемая к поступлению

Приведенная сумма сумма

Ставка

Рис. Логика финансовых операций

Относительно момента выплаты или начисления дохода за пользование представленными денежными средствами проценты подразделяются на обычные и авансовые.

Обычные (декурсивные, postnumerando) проценты начисляются в конце периода относительно исходной величины средств. Доход на процент выплачивается в конце периодов финансовой операции. Такие операции обычно проводят в большинстве депозитных и кредитных операциях, а также в страховании.

Если же доход, определяемый процентом, выплачивается в момент предоставления кредита, то данная форма расчетов называется авансовой, или учетом, а применяемые проценты – авансовыми (антисипативными, prenumerando), которые начисляются в начале периода относительно конечной суммы денег. Доход на процент выплачивается в начале периода, в момент предоставления долга. Так рассчитываются проценты в некоторых видах кредитования, например при продаже товаров в кредит, в международных расчетах, в операциях с дисконтными ценными бумагами. При этом базой для расчета процентов служит сумма денег с процентами (сумма погашения долга), а исчисленные таким образом проценты взимаются вперед и являются авансом.

Известны две основные схемы дискретного начисления:

• схема простых процентов;

• схема сложных процентов.

При использовании простых процентов сумма обязательств начисляется на первоначальную сумму.

FV=PV(1+t·r), где

PV - настоящая стоимость капитала предназначенного для наращения

FV – будущая стоимость капитала, с учетом начисленных процентов

t – период начисления процентов

r – ставка процентов за период, выраженная в коэффициенте

Однако следует отметить, что такого рода вычисления встречаются крайне редко и чаще используют модифицированный вид данной формулы для начисления платежей для более мелких периодов времени.

FV=PV(1+t/Y·r), где

t – например (дни, месяцы)

Y – продолжительность года в днях

База для начисления сложных процентов постоянно меняется за счет присоединения ранее начисленных процентов.

FV=PV(1+r)^t, где

PV - настоящая стоимость капитала предназначенного для наращения

FV – будущая стоимость капитала, с учетом начисленных процентов

t – период начисления процентов

r – ставка процентов за период, выраженная в коэффициенте

Наращенная сумма при внутригодовой капитализации определяется по формуле:

FV=PV(1+n/r)^n·t/Y, где

t – например (дни, месяцы)

Y – продолжительность года в днях

n – количество раз начисления процентов за период Y

Расчеты по правилу сложных процентов, часто называют начисление процентов на проценты, а процедуру начисленных процентов – их реинвестированием или капитализацией.

Графически взаимосвязь между простой и сложной схемой наращения капитала представлена на рис.

(II) Начисления по сложным процентам

(I) Начисления по простым процентам

FV

PV

1 2 периоды

Рис. Простая и сложная схемы наращения капитала

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов для лица. предоставляющего кредит:

• более выгодной является схема простых процентов, если срок ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце периода);

• более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);

• обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода 1 год и однократном начислении процентов.

Пример 11. Рассчитать наращенную сумму с исходной суммы в 500 тыс.руб при размещении ее в банке на условиях начисления простых и сложных процентов, если: а) годовая ставка 20%; б) периоды наращения: 90 дней, 180 дней, 360 дней, 5 лет, 10 лет. Полагать, что в году 360 дней.

Расчет по простым процентам:

90 дней FV=PV(1+t·r) = 500 (1+90/360*0,2)=525

180 дней FV= 500 (1+180/360*0,2)=550

270 дней FV=500 (1+270/360*0,2)=575

360 дней FV=500 (1+360/360*0,2)=600

5 лет FV=500 (1+5*0,2)=1000

10 лет FV=500 (1+10*0,2)=1500

Расчет по сложным процентам:

90 дней FV= PV(1+r)^t = 500 (1+0,2)^90/360=500 1,2^1/4=523,3176

180 дней FV= 500 (1+0,2)^180/360=500 1,2^1/2=547,7226

270 дней FV=500 (1+0,2)^270/360=500 1,2^3/4=573,2657

360 дней FV=500 (1+0,2)^360/360=500 1,2¹=600

5 лет FV=500 (1+0,2)⁵=500 1,2⁵=1244,16

10 лет FV=500 (1+0,2)¹⁰=500 1,2¹⁰=3095,8682

Проведенные расчеты показывают, что при начислении простых п