Обобщающие параметры потоков платежей
Тема 2. Потоки платежей
Краткое содержание раздела:
Понятие финансового потока. Приведенная и наращенная величины финансового потока. Средний срок финансового потока. Непрерывные потоки платежей.
Регулярные потоки платежей. Обыкновенные ренты. Ренты постнумерандо и пренумерандо. Коэффициенты приведения и наращения рент. Связь между приведенной величиной и наращенной суммой аннуитета. Связь между коэффициентами приведения и наращения рент пренумерандо и постнумерандо.
Расчет параметров ренты.
Вечные, кратные, срочные ренты. р – срочная рента (случаи k = 1, , k = p ). Связь между приведенной и наращенной величинами p – срочной ренты (случаи k = 1,
, k = p ). Непрерывные ренты. Связь между приведенной и наращенной величинами произвольных рент.
Сравнение финансовых потоков и рент. Общий принцип сравнения финансовых потоков и рент. Сравнение годовых и срочных рент. Конверсия рент. Замена одной ренты другой. Изменение параметров ренты. Замена обычной ренты срочной. Консолидация рент. Выкуп ренты. Рассрочка платежа.
2.1. Потоки платежей
Современные финансово-банковские операции часто предполагают не разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Примеры: погашение задолженности в рассрочку, выплата пенсии, взносы на расчетный счет и др. Такого рода последовательности называют потоками платежей.
Поток платежей, все члены которого положительны, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или аннуитетом.
Виды рент:
1) обычная годовая – платежи поступают один раз в год,
2) р-срочная – платежи поступают р раз в году,
3) верные и условные (например, кредит – верная рента, пенсия – условная),
4) немедленные, отложенные, отсроченные – отличаются по началу выплат,
5) пренумерандо (выплаты в начале периода) и постнумерандо (выплаты в конце периода).
Основные характеристики рент;
- член ренты R – размер отдельного (годового) платежа,
- период ренты – временной интервал между последовательными платежами (число платежей в году – p, количество начислений процентов в году – m),
- срок ренты n – время от начала первого периода ренты до конца последнего,
- процентная ставка i (j).
Решение.
A=200 млн.руб. | ![]() |
n=4 | ![]() |
j=20 % | 200=R*2.71 |
m=p=4 | R=200/2.71=73.8 (млн.руб. в год) |
R/4 | R/4=73.8/4=18.45 (млн.руб. в квартал) |
Пример (билет № 18).В течение 5 лет в конце каждого полугодия на расчетный счет поступают равными долями платежи из расчета 8 млн.руб. в год, на которые ежеквартально начисляются проценты из расчета 20 % годовых. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока. Найти размер платежей, при которых эта же сумма на расчетном счете образуется за 4 года.
Решение.
n=5 | ![]() |
p=2 | 1) ![]() |
R=8 млн.руб. | ![]() |
m=4 | 2) ![]() |
j=20 % | 64,5= ![]() |
![]() | ![]() |
1) S | |
2) ![]() |
Пример (билет № 9)*.Фирма в качестве компенсации работникам за причиненный им ущерб должна выплатить 100 млн. руб. в течение 25 лет. Платежи должны производиться равномерно в течение этого периода – в конце каждого квартала. Найти реальную (современную) стоимость данной компенсации для фирмы, если принять годовую ставку сложных процентов на уровне 10 %.
Решение.
S=100 млн.руб. | ![]() |
n=25 | R=S/n=100/25=4 (млн.руб. в год) |
p=4 | ![]() |
i=10 % | |
A-? | Вывод: капитал в сумме 37,6 млн.р. при начислении 10 % годовых достаточен для выплаты компенсации. |
2.2. Практические приложения
Актуарный метод
Ссуда выдана на период Т, в течение которого предполагаются 2 промежуточных платежа:
1) за период [0, ] сумма выросла до
; в момент времени
вносится первый платеж
, который включает проценты и часть основного долга; остаток долга –
=
-
;
2) за период [ ,
] сумма выросла до
; в момент времени
вносится второй платеж
, который включает проценты и часть основного долга; остаток долга –
=
-
;
3) за период [ ,
] сумма выросла до
; в момент времени
вносится последний платеж
=
, который погашает весь долг.
Если долга обнуляется, то операция называется сбалансированной,а ее контур является замкнутым.
Правило торговца
Решение.
Р=100 тыс. руб. | 1) актуарный метод: |
i=15 % (простая) | а) долг с % до 1 платежа: |
n=6 мес. | ![]() |
[0, ![]() | б) остаток долга после 1 платежа: |
![]() | ![]() ![]() |
[ ![]() ![]() | в) долг с % до 2 платежа: |
![]() | ![]() |
[ ![]() | г) ![]() |
д) ![]() | |
![]() | |
2) правило торговца: | |
![]() | |
1*(1+1,5/12*0,15) = 43,8563 (т.р.) | |
2 платеж с начисл. до конца срока % |
* Работа кредитного калькулятора
Решение.
![]() | Уравнение эквивалентности |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
i=18% | ![]() |
![]() | ![]() |
Тема 2. Потоки платежей
Краткое содержание раздела:
Понятие финансового потока. Приведенная и наращенная величины финансового потока. Средний срок финансового потока. Непрерывные потоки платежей.
Регулярные потоки платежей. Обыкновенные ренты. Ренты постнумерандо и пренумерандо. Коэффициенты приведения и наращения рент. Связь между приведенной величиной и наращенной суммой аннуитета. Связь между коэффициентами приведения и наращения рент пренумерандо и постнумерандо.
Расчет параметров ренты.
Вечные, кратные, срочные ренты. р – срочная рента (случаи k = 1, , k = p ). Связь между приведенной и наращенной величинами p – срочной ренты (случаи k = 1,
, k = p ). Непрерывные ренты. Связь между приведенной и наращенной величинами произвольных рент.
Сравнение финансовых потоков и рент. Общий принцип сравнения финансовых потоков и рент. Сравнение годовых и срочных рент. Конверсия рент. Замена одной ренты другой. Изменение параметров ренты. Замена обычной ренты срочной. Консолидация рент. Выкуп ренты. Рассрочка платежа.
2.1. Потоки платежей
Современные финансово-банковские операции часто предполагают не разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Примеры: погашение задолженности в рассрочку, выплата пенсии, взносы на расчетный счет и др. Такого рода последовательности называют потоками платежей.
Поток платежей, все члены которого положительны, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или аннуитетом.
Виды рент:
1) обычная годовая – платежи поступают один раз в год,
2) р-срочная – платежи поступают р раз в году,
3) верные и условные (например, кредит – верная рента, пенсия – условная),
4) немедленные, отложенные, отсроченные – отличаются по началу выплат,
5) пренумерандо (выплаты в начале периода) и постнумерандо (выплаты в конце периода).
Основные характеристики рент;
- член ренты R – размер отдельного (годового) платежа,
- период ренты – временной интервал между последовательными платежами (число платежей в году – p, количество начислений процентов в году – m),
- срок ренты n – время от начала первого периода ренты до конца последнего,
- процентная ставка i (j).
Обобщающие параметры потоков платежей
В подавляющем числе практических случаев анализ потока платежей предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик:
- наращенной суммы;
- современной стоимости потока.
Наращенная сумма S (будущая стоимость потока)– это сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами.
Под современной стоимостью потока платежей A (текущая стоимость потока)понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент времени.
Сама по себе процедура дисконтирования является нетривиальной. Еще сложнее вопрос с операцией дисконтирования или нахождения текущей стоимости потока платежей. Смысл современной величины потока: это та начальная сумма, вложив которую под те же проценты и на то же количество лет, можно выплатить из нее все рентные платежи. Иными словами – это сегодняшний эквивалент всех будущих платежей потока.
Приведем теперь рядформулдля расчета будущей и текущей стоимостей потока при различных условиях контрактов:
Приведенные в таблице формулы соответствуют ренте постнумерандо. Формулы для ренты пренумерандо имеют отличия, связанные с начислениями за первый период:
1) для обычной годовой ренты получим:
2) для обычной годовой ренты c начислением процентов m раз в году:
3) для р-срочной ренты с начислением процентов m раз в году:
m=1 | m=p | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Вывод формул см. в П.Н. Брусов и др., пп. 2.5.2.3, 2.5.6.1 и др.