Раздел iv. финансовые вычисления

РАЗДЕЛ IV. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

РАБОТА № 15.

ОЦЕНКА ФИНАНСОВЫХ АКТИВОВ: ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ И ВОЛАТИЛЬНОСТЬ

Цель работы: ознакомление с наиболее распространенной в практике финансовых вычислений моделью оценки доходности активов; приобретение навыков ее использования с помощью программы Excel.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Capital Asset Pricing Model, CAPM – модель оценки финансовых активов,основанная на анализе массивов информации фондового рынка и конкретно изменений доходности свободно обращающихся акций ( с помощью чего и производится прогнозирование будущей доходности активов для инвесторов).

Представленный в модели подход к оценке активов был разработан еще в 50-е годы Г. Марковицем, и окончательно сформирован в виде модели в 60-е годы У. Шарпом (1964), Джеком Трейнером (1961, 1962), Джоном Литнером (1965) и Я.Моссином (1966) независимо друг от друга. Модель CAPM основывается на гипотезе эффективного рынка капитала (Efficient Market Hypothesis, EMH), сформулированной Юджином Фама в 60-е годы 20-го века.

Гипотеза эффективного рынка: рынок является эффективным в отношении какой-либо информации, если она сразу и полностью отражается в цене актива.

В рамках применения гипотезы получаем ряд естественных ограничений на способ распространения информации и действия инвесторов на рынке, а именно:

§ Информация распространяется свободно и доступна всем инвесторам: отсутствуют участники рынка, которые обладают закрытой информацией и получают тем самым преимущество в принятии решений.

§ Рынок находится в состоянии совершенной конкуренции.

§ Имеет место прямая зависимость между информацией о деятельности компании и стоимостью ее активов, что исключает возможность использования любой активной стратегии инвестирования для получения сверхприбыли. Также становятся неприменимы арбитражные сделки, при которых инвестор имеет информацию о поведении цены актива до ее изменения.

§ Все инвесторы имеют долгосрочный горизонт вложения. Такое предположение гарантирует отсутствие резких ценовых колебаний актива и кризисов на рынке.

§ Активы имеют высокую ликвидность и абсолютно делимы.

Исходя из гипотезы эффективного рынка, делается предположение, что на будущую доходность акции будут оказывать влияние только рыночные (системные) риски. Следует отметить, что на эффективном рынке невозможно получить сверхприбыль. Это делает любое активное управление инвестициями (инвестиционным портфелем) не целесообразным и ставит под сомнение эффективность вложения в ПИФы. В результате, модель CAPM имеет всего один фактор – рыночный риск (коэффициент бета). Анализируя данные постулаты эффективного рынка, можно заметить, что в современной экономике многие из них не выполняются. Модель CAPM в большей степени является теоретической моделью и может использоваться на практике в только общем случае.

Доходность акций

Доходность акций складывается из роста курсовой стоимости и дивидендов и показывает, какой доход в процентном или номинальном выражении принесли акции. Доходность в общем смысле – это сумма прибыли, деленная на сумму вложенных средств. Поскольку по акциям можно получить не только прибыль, но и убыток, доходность акций может быть отрицательной.

Определение. Дивидендная доходность акций – это отношение размера дивиденда к цене акции.

Дивидендная доходность рассчитывается по формуле:

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

где

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru – размер дивидендов за год;

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru – цена покупки акции.

Определение. Рыночная (текущая) доходность акции – это разница в курсовой стоимости акции в текущий момент времени.

Текущая доходность показывает норму прибыли, которую получит инвестор, если продаст акцию по текущей рыночной стоимости.

Текущая доходность рассчитывается по формуле:

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

где

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru – цена продажи акции;

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru – цена покупки акции.

Полная доходность акции складывается из дивидендов и роста курсовой стоимости и вычисляется по формуле:

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

РАСЧЕТ ВОЛАТИЛЬНОСТИ

Фондовый рынок, очевидно, характеризуют большие объёмы данных. Проблему неопределённости, возникающую при обработке таких объемов, помогает решить оценка рисков.

Определение. Рыночный риск – это возможность несоответствия характеристик экономического состояния объекта значениям, ожидаемым лицами, принимающими решения под действием рыночных факторов.

Различают следующие виды рыночного риска: процентный риск (interest rate risk), валютный риск (foreign exchange risk), риск колебаний рыночных цен товаров (commodity price risk), риск колебаний цен акций (equity price risk), риск производных инструментов (derivative risk).

Как в качестве непосредственной меры риска, так и в качестве одной из важных величин, применяемых в более сложных методиках измерения риска на фондовом рынке используется волатильность (volatility).

Определение. Волатильность (в широком смысле) – это изменчивость, вариация во времени величины финансового или экономического показателя.

Мерой риска удобнее считать волатильность доходности, поскольку величина дохода зависит от размера или стоимости актива на начало и конец отчётного периода, а также от характера изменения этой стоимости в течение всего отчётного периода.

Основная причина по которой работа с доходностями активов является более предпочтительной, чем с непосредственными ценами активов, заключается в том, что доходности имеют более привлекательные статистические свойства. Кроме того, доходности (относительные и логарифмические) очень часто предпочитаются абсолютным изменениям стоимости, потому что последние не показывают изменения относительно некоторого заданного ценового уровня. Преимуществом же логарифмической доходности является то, что она очень легко применяется для множества периодов.

В сущности, волатильность – это мера неопределенности инвестиции. Любое движение цены может быть разбито на две части: ожидаемое движение цены и некоторая ее случайная составляющая: волатильность. Предсказуемая часть движения цены описывается понятием «ожидаемой доходности». Для ее вычисления применяются различные методы. В частности, мы будем для этой цели использовать модель CAPM. Волатильность же является случайной составляющей изменения доходности финансового инструмента и, в соответствии с формулой Ито (3), вычисляется следующим образом:

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

где

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru логарифмическая доходность, вычисляемая по формуле: раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru стоимость финансового инструмента в момент времени раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru ;

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru – ожидаемая доходность;

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru – волатильность: случайная величина (временной ряд) с нулевым математическим ожиданием, которая описывается дисперсией.

То есть движение цены за некоторый интервал рассматривается как некое планируемое трендовое движение и случайное отклонение от тренда определяемое волатильностью. Волатильность, таким образом, является случайной величиной, или (при рассмотрении изменения цены за несколько временных интервалов) временным рядом. Другим способом введения понятия «волатильность» является ее прямое определение как среднеквадратическое отклонение вероятностного распределения доходности. Далее разберем один из основных способов моделирования волатильности.

Будем рассматривать волатильность как нормально распределенную случайную величину с дисперсией, равной дисперсии доходности за временной интервал (шаг во времени, согласно которому формируется выборка). По методу SMA (Simple Moving Average) оценкой волатильности будет служить стандартное отклонение, рассчитанное по некоторой исторической выборке:

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

где раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru длина исторической выборки.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ И ОФОРМЛЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Задание. Используя модель CAPM рассчитать ожидаемую доходность акций одной из реально существующих компаний, торгующихся на Московской Фондовой Бирже, двумя способами: приближенно и точно. Сравнить полученные результаты и сделать выводы.

Решение.

Возьмем компанию «Аэрофлот». В качестве исходного материала нам потребуются котировки акций компании. Взять их можно, например, на сайте finam.ru. Точнее, следует выбрать вкладку «Котировки», затем интересующую компанию и с помощью опции «Экспорт котировок» получить нужный файл с самыми последними данными. Далее, в качестве рыночной доходности будем рассматривать изменения индекса РТС (RTSI), также это может быть индекс ММВБ (MICECX). Для американских акций зачастую берут изменения индекса S&P500. Заметим, что для корректной оценки, количество актуальных данных должно быть не менее 250 значений. Нами были взяты ежедневные котировки акции и индекса за 1 год, начиная с 01.07.2015 по 01.07.2016г.:

Табл.1. Исходные данные

дата котировки акций аэрофлот (AFLT) котировки индекса RTSI
01.07.2015 37,3 930,66
02.07.2015 37,00 932,04
03.07.2015 37,05 919,61
06.07.2015 36,67 902,88
07.07.2015 36,75 885,78
08.07.2015 875,67
09.07.2015 38,05 889,76
10.07.2015 38,07 905,2
13.07.2015 38,1 915,47
14.07.2015 38,94 919,79
15.07.2015 38,96 909,45
16.07.2015 39,55 919,81
….. ….. …..
30.06.2016 85,5 931,35
01.07.2016 86,02 930,77


Замечание. Чем больший временной отрезок выбирается, тем точнее будет получаться оценка коэффициента бета.

Далее необходимо рассчитать текущую доходность акции и индекса, по формулам из 15.5. Получаем:

Табл.2. Доходности индекса и ценной бумаги

дата котировки акций аэрофлот (AFLT) котировки индекса RTSI доходность акций AFLT доходность индекса RTSI
01.07.2015 37,3 930,66 -0,008042895 0,001482819
02.07.2015 37,00 932,04 0,001351351 -0,013336337
03.07.2015 37,05 919,61 -0,01025641 -0,018192495
06.07.2015 36,67 902,88 0,00218162 -0,018939394
07.07.2015 36,75 885,78 0,034013605 -0,011413669
08.07.2015 875,67 0,001315789 0,016090536
09.07.2015 38,05 889,76 0,000525624 0,017352994
…. …. ….. ….. …..
29.06.2016 83,41 905,36 0,025056948 0,028706813
30.06.2016 85,5 931,35 0,006081871 -0,000622752
01.07.2016 86,02 930,77    

Теперь получим оценку коэффициента бета. Для этого воспользуемся формулой из 15.2.Сначала с помощью функции «КОВАР» посчитаем ковариацию доходностей акций «Аэрофлот» и рынка (индекса РТС):

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

Далее, с помощью функции «ДИСП» считаем дисперсию доходности рынка (индекса РТС):

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

В результате получаем точную оценку бета:

Табл.3. Точная оценка бета

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru 0,000111778
раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru 0,000471276
раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru 0,237181381

Теперь получим приближенную оценку коэффициента бета с помощью построения линии тренда посредством пакета MS Excel. Для этого следует выбрать и выделить все данные в столбцах с доходностью (акции и индекса) и нажать на значок диаграммы в MS Excel. Следует выбрать точечную диаграмму, а затем - макет с линией тренда. При этом на оси oX следует откладывать значение доходности ценной бумаги, а на оси oY – доходность рынка. На полученном графике следует отобразить уравнение линии тренда, чтобы увидеть приближенное значение коэффициента бета. Получаем:

Рис.4. Линия тренда

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

Как мы видим, уравнение тренда имеет вид: раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru . Согласно определению коэффициента раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru (см. 15.2) имеем:

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

Коэффициент раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru характеризует риск ценной бумаги (по отношению к рынку в целом), который берет на себя инвестор, владеющий этой бумагой. Следовательно, нам необходимо сравнить доходность акций «Аэрофлот» с доходностью индекса РТС, который для нас в данном случае служит эталоном. Мы получили, что раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru , следовательно акции компании «Аэрофлот» примерно в 4,5 раза менее рискованны, чем индекс, с которым мы ее сравнили. Это означает, что если индекс РТС упадет на 9%, то акции компании «Аэрофлот» всего лишь на 2%. Отметим также, что риск связан с доходностью. Бумаги «Аэрофлот» действительно не будут много терять при падении рынка. Однако они также не будут приносить высокий доход при росте рынка (соответственно, в пять раз меньше, чем рынок).

Как и большинство инструментов финансового анализа и прогнозирования, раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru не может полностью предсказать будущую ситуацию на рынке. Фактически коэффициент характеризует волатильность ценной бумаги в прошлом. На основании этого мы прогнозируем будущую волатильность, естественно не слишком точно. Коэффициент раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru может резко меняться от года к году, следовательно, значения коэффициента за прошлые годы – не всегда точный способ предсказать текущую волатильность. А это, в свою очередь, говорит о том, что мы не можем спрогнозировать движение бумаги в будущем.

Наконец, посчитаем ожидаемую доходность акции «Аэрофлот» в модели CAPM. Для начала подсчитаем среднерыночную доходность. Имеем:

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru 0,000233868.

Ранее мы получили, что точное и приближенное значения раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru отличаются примерно на 9%. Оценим теперь ожидаемые доходности (см. 15.2). Получаем:

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

Как мы видим, погрешность в оценке ожидаемой доходности менее трех процентов. Потому для приближенной оценки ожидаемой доходности акций компании не существенно каким именно образом был получен коэффициент раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru .

В соответствии с замечанием о необходимости корректирования коэффициента раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru , пересчитаем его (и ожидаемую доходность) по методу М.Блюма. Получаем:

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

Следовательно,

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

Оценим теперь волатильность по методу SMA:

Табл.4. Оценка волатильности по методу SMA

Дата Котировка акции «Аэрофлот» Логарифмическая доходность (ЛД): раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru ЛД-СЛД (ЛД-СЛД)2
01.07.2000 4,7 0,519300251 0,336160954 0,113004187
01.07.2001 7,9 0,090696561 -0,092442735 0,008545659
01.07.2002 8,65 0,249385787 0,066246491 0,004388598
01.07.2003 11,1 0,975748802 0,792609505 0,628229827
01.07.2004 29,45 0,361856741 0,178717445 0,031939925
01.07.2005 42,29 0,167672334 -0,015466963 0,000239227
01.07.2006 50,01 0,336129389 0,152990093 0,023405968
01.07.2007 69,99 0,027062962 -0,156076334 0,024359822
01.07.2008 71,91 -0,827652486 -1,010791783 1,021700029
01.07.2009 31,43 0,657851304 0,474712007 0,22535149
01.07.2010 60,68 0,144023292 -0,039116005 0,001530062
01.07.2011 70,08 -0,51721969 -0,700358987 0,490502711
01.07.2012 41,78 0,31692944 0,133790143 0,017899802
01.07.2013 57,36 -0,126384251 -0,309523548 0,095804827
01.07.2014 50,55 -0,250466971 -0,433606267 0,188014395
01.07.2015 39,35 0,805295282 0,622155985 0,38707807
01.07.2016 88,04      
сумма всех логарифмических доходностей: раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru 2,930228748   сумма квадратов разностей ЛД- СЛД: раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru 3,261994599
длина исторической выборки (во временных интервалах) раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru   сумма квадратов разностей ЛД.- СЛД /( кол-во временных интервалов -1): раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru 0,217466307
средняя логарифмическая доходность (СЛД): раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru 0,183139297   оценка волатильности: раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru     0,466332828

Теперь у нас есть все, для того, чтобы произвести моделирование цены акции методом Монте-Карло.

Моделирование стохастического процесса с помощью метода Монте-Карло - это процедура выбора случайных значений процесса. Ранее мы получили, что ожидаемая доходность составляет 5%, а волатильность - 47%. Следовательно, в формуле (3) раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru В нашем случае раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru (1 день). Из формулы (3) получаем:

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

Или

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

Траекторию цены можно смоделировать выбирая значения раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru из совокупности чисел, имеющих стандартное нормальное распределение и подставляя в (4). Функция СЛЧИСЛ() в Excel возвращает случайное число из раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru . Функция, возвращающая обратное нормальное распределение – это НОРМОБР( , 0,1) (параметры 0 и 1 выбраны, поскольку мы имеем дело со стандартным нормальным распределением). Таким образом, чтобы сгенерировать случайную величину, состоящую из значений, принадлежащей совокупности чисел, имеющих стандартное нормальное распределение, необходимо записать: =НОРМОБР(СЛЧИСЛ( ), 0, 1). В качестве первоначальной цены берем текущую котировку акции «Аэрофлот». На 19.07.2016 (закрытие) это 87,58 ₽. Из формулы (4) вычисляем изменение цены акции. Это будет цена на следующем шаге. И т.д.

Табл.5. Моделирование цены акции

Моделирование цены акции  
     
ожидаемая доходность 0,05301734 5%
оценка волатильности 0,466332828 47%
     
первоначальная цена акции 87,58  
длина интервала (1 день) 0,002739726  
     
цена акции в начале периода случайное значение изменение цены
87,58 0,921960903 1,983632206
89,56363221 -0,971959071 -2,111845288
87,45178692 -1,401017386 -2,977921059
84,47386586 -0,126152368 -0,247846079
84,22601978 -0,642030399 -1,307697521
82,91832226 0,900880858 1,835383137
84,7537054 0,734190151 1,531167444
86,28487284 -1,697209529 -3,56200292
82,72286992 -0,387421386 -0,770257975
81,95261195 -0,271734018 -0,53166725
81,4209447 -1,71758233 -3,401699699
78,019245 -0,651457622 -1,229283736
76,78996126 -0,137523931 -0,246615976
76,54334529 2,512572948 4,705470409
81,2488157 0,69311435 1,386386273
82,63520197 0,414139749 0,847339717
83,48254169 -2,408230089 -4,895180573
78,58736111 1,218306776 2,34841618
80,93577729 0,960722607 1,90972077
82,84549806 -0,440215708 -0,878159097
81,96733896 -0,136945254 -0,262085682

Следует понимать, что в этой таблице продемонстрирован только один из многочисленных вариантов изменения цены. Другие случайные выборки приведут к другим случайным траекториям. Окончательную цену акции (81,96733896) можно интерпретировать как прогнозируемую цену через 4 недели (20 торговых дней). Повторяя вычисления, можно получить полное распределение вероятностей цены акции, которые могут быть зафиксированы в этот момент времени. Заметим, что количество таких итераций должно быть не менее пяти.

Табл.6. Цены акции для пяти траекторий

Траектория 1 Траектория 2 Траектория 3 Траектория 4 Траектория 5
87,58 87,58 87,58 87,58 87,58
89,56363221 88,4684193 83,42703343 88,73571991 89,32648511
87,45178692 85,18536124 79,81870693 90,15915423 91,35052751
84,47386586 83,26267155 80,11009456 83,91783046 92,58635344
84,22601978 84,73982796 77,19130376 82,76218866 92,28842574
82,91832226 81,87969862 77,36820451 79,07922531 92,6305858
84,7537054 81,20206561 76,1955305 76,71927448 97,28520289
86,28487284 84,48984131 78,48865914 75,3961155 91,74529513
82,72286992 88,73190123 81,97110197 78,47924085 87,49644062
81,95261195 94,21697714 78,30763186 80,38043065 90,36620589
81,4209447 92,75633057 76,36811408 81,98169096 91,25250428
78,019245 94,19585438 76,21221599 82,03565297 87,181692
76,78996126 94,35378397 74,04692384 80,0158866 88,28542753
76,54334529 96,12192779 73,69743675 79,60626118 89,43876648
81,2488157 94,42031153 73,03714713 77,53168258 88,85184018
82,63520197 96,4022953 73,95446951 80,19941808 86,60739886
83,48254169 94,1779642 75,27696973 81,73366654 86,43263398
78,58736111 91,86190597 76,65712465 85,91330107 85,54004021
80,93577729 89,80688812 76,83107937 86,83718289 86,07757177
82,84549806 91,14386246 77,44589252 88,06084298 85,1258601
81,96733896 87,92347357 80,2280338 88,33293499 84,1677167

Результаты представлены на графике ниже:

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

Рис.5. Траектории движения акции

раздел iv. финансовые вычисления - student2.ru

Количество траекторий зависит от требуемой точности. Неопределенность обратно пропорциональна квадратному корню из количества траекторий. Следовательно, для удвоения точности необходимо увеличить количество траекторий в четыре раза, для десятикратного увеличения - в 100 раз.

Вывод: Ожидаемая доходность акций «Аэрофлот» оказалась ниже, чем доходность по безрисковому активу (примерно 5% против 10%). При этом рынок показывает практически нулевую доходность. Что как раз и означает, что наблюдается кризис, которой приводит к оттоку капитала и созданию неустойчивой инвестиционной среды. Оценка волатильности составила 47%, что вписывается в стандарты ( от 15% до 60%). Моделирование траекторий говорит нам о том, что ожидаемый диапазон цен – от 80 до 100₽. С вероятностью 60% ожидается падение цены примерно на 5-10%, с вероятностью 40% цена акции останется на прежнем уровне. Как мы видим, на данный момент нет никаких предпосылок для роста акций «Аэрофлот».

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Задание. Используя модель CAPM рассчитать ожидаемую доходность акций одной из реально существующих компаний, торгующихся на Московской Фондовой Бирже, двумя способами: приближенно и точно. Оценить ее волатильность методом SMA. Смоделировать поведение акции методом Монте-Карло. Сравнить полученные результаты и сделать выводы. Компанию, по которой проводится исследование, выбирает преподаватель таким образом, чтобы:

1) в одной группе студентов все компании были бы различны;

2) текущие котировки акций и архив данных находится с открытом доступе;

3) для студентов РЭУ им. Г.В. Плеханова источником данных является база данных компании Thomson Reuters.

ЛИТЕРАТУРА

1. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты / Джон. К. Халл ― М. : Издательский дом «Вильямс» 2013 .

2. Theory of Probability and Random Processes / L.B.Koralov, Y.G.Sinai. Springer, 2007.

РАЗДЕЛ IV. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

РАБОТА № 15.

Наши рекомендации