Основные характеристики звезд. 11.1 Из соотношения масса -- cветимость для находим

11.1 Из соотношения масса -- cветимость для находим . Эффективная температура звезды главной последовательности спектрального класса B0 равна K. Радиус звезды найдем из соотношения между светимостью, радиусом и эффективной температурой

что дает

Поэтому

Средняя плотность Солнца г/см³, так что г/см³. Не правда ли, полученный результат противоречит тому, что подсказывает "здравый смысл" -- будто бы с ростом массы плотность должна расти. Так называемый "здравый смысл" имеет разумную область применимости -- свою у каждого, и подобные задачи помогут вам расширить ее.

11.2 Деля светимость Солнца на площадь его поверхности, получаем поток с 1 см²:

По определению, поток с единицы поверхности Солнца связан с его эффективной температурой следующим образом:

где -- постоянная Стефана. Подставляя сюда найденное выше значение потока, получим для Солнца

Поучительно перевести это число в нечто более ощутимое "для обывателя". Поток с поверхности Солнца соответствует тому, что с 1 см² излучается 6.5 кВт (проверьте!).

11.3 Мы имеем

Найдем дифференциал логарифма L:

или

Для малых приращений радиуса и температуры последнее точное выражение можно заменить на приближенное

Подставляя сюда из условия задачи и , приближенно имеем , так что при светимость звезды возрастет примерно на 4%.

11.4 При сравнении абсолютных звездных величин считается, что звезды находятся на одном и том же стандартном расстоянии (10 пк). В этом случае освещенности от разных звезд просто пропорциональны их светимостям. Тогда для нашей пары звезд имеем

где мы воспользовались известным соотношением между светимостью, радиусом и эффективной температурой звезды (см. предыдущую задачу) и учли, что по условию . Пусть первая звезда горячее (на 10%) второй, т.е. . Учитывая малое отличие отношения температур от единицы, приближенно находим

Тот факт, что , следует помнить.

11.5 Дифференцируя формулу, выражающую закон Стефана-Больцмана, легко получить, считая радиус постоянным (см., например, задачу )

Таким образом, чтобы светимости двух звезд одинакового радиуса отличались на 4%, их температуры должны разниться на 1%. Далее, по закону смещения Вина , и поэтому , так что при увеличении температуры на 1% длина волны максимума в распределении энергии уменьшается тоже на 1%. Сходным образом показывается, что интенсивность в максимуме при росте температуры на 1% увеличивается на 5%, а интенсивность в рэлей-джинсовской области -- на 1% (поймите, почему).

11.6 Высота однородной атмосферы связана с температурой T, ускорением силы тяжести g и средней молярной массой следующим соотношением:

где г -- атомная единица массы. Для Солнца см/с², (атмосфера Солнца состоит в основном из водорода и он не ионизован), наконец, K, что в итоге дает см, или около 200 км.

Ускорение силы тяжести на поверхности белого карлика можно выразить через его массу и радиус в солнечных единицах:

откуда находим для нашего белого карлика см/с². (Это колоссальное ускорение. Материальная точка, движущаяся с таким ускорением, за первую секунду проходит путь в 1500 км, что составляет около четверти радиуса белого карлика.) Учитывая также, что при K водород ионизован, так что , для высоты однородной атмосферы белого карлика получаем

Уместно вспомнить, что для Земли, имеющей тот же приблизительно радиус, что и у белого карлика, высота однородной атмосферы составляет 8 км.

11.7 Мы имеем

где -- постоянная Стефана. Если светимость и радиус выразить в солнечных единицах, то получим отсюда

где использовано значение эффективной температуры Солнца K. С помощью последней формулы находим, что светимость белого карлика в светимостях Солнца равна

Множителю 16 отвечает разница почти точно в 3 звездные величины (это полезно помнить; вот более точное значение: ). Поэтому абсолютная болометрическая звездная величина белого карлика будет на 3 звездные величины больше, чем у Солнца. Так чему же она равна?

11.8 Из сравнения абсолютных звездных величин белого карлика и Солнца найдем отношение их светимостей:

Далее, по формуле из решения предыдущей задачи оценим радиус белого карлика

Это около 5000 км, т.е. меньше радиуса Земли (6400 км).

11.9 Фотон с энергией несет импульс в направлении своего полета. После отражения от неподвижной или медленно удаляющейся от звезды фольги импульс фотона оказывается направлен в противоположную сторону, а его величина та же, что и до отражения. Поэтому при отражении каждого фотона фольге передается импульс . Скорость передачи импульса есть сила светового давления на фольгу. В расчете на единицу площади она равна, таким образом, , где L -- светимость и r -- расстояние до звезды. Чтобы фольга с сидящим на ней комаром пренебрежимо малой массы улетела к другим звездам, световое давление должно превышать силу притяжения. В расчете на единицу площади поверхности фольги толщины H, изготовленной из материала с плотностью , сила притяжения составляет , где M -- масса звезды. Итак, чтобы фольга могла служить фотонным парусом, на котором можно улететь от звезды на бесконечность, должно выполняться условие

откуда

Здесь мы неявно предполагаем, что первоначально фольга покоится (а не движется вокруг звезды, скажем, по круговой орбите).

Обратите внимание, что r выпало. Причина, конечно, в том, что и сила притяжения, и поток зависят от r одинаково (как , так что если давление излучения превышает силу тяжести на каком-то расстоянии r, то оно превышает ее везде. Фольга металлическая, так что можно принять г/см³ (как у железа). Далее, для звезды класса O5V имеем . Подставляя численные значения, находим, что H < 0.25 см. Как видим, в качестве "фольги" вполне сошел бы и покрашенный в белую краску лист кровельного железа!

Возлежа вместо дивана на большом железном листе, от звезды класса O5 мог бы отправиться в межзвездное странствие не только комар, но и Обломов.

А теперь, пользуясь полученной формулой, немного пофантазируйте сами о межзвездных перелетах на фотонных парусах -- об их продолжительности, например. Что можно сказать о фотонных парусах для нашей Солнечной системы? Они даже были изготовлены, но из-за ограниченности финансирования космических программ до их реального использования дело пока не дошло.

Какова должна быть площадь невесомого фотонного паруса, на котором от Солнца к звездам могла бы улететь муха массой 1 г?

Физика звезд

12.1 Энерговыделение происходит в объеме, и потому растет пропорционально кубу характерного размера объекта, теплоотвод же происходит с поверхности, а ее площадь возрастает как квадрат характерного размера. В итоге с увеличением размера тела (при сохранении темпа энерговыделения) его поверхностная температура должна расти. Дальше додумайте сами.

12.2 Молярная масса газа -- это среднее значение массы одной частицы газа, выраженное в атомных единицах массы. Своим низким значением молярная масса солнечного вещества обязана, во-первых, тому, что основной его компонентой (70% по массе) является водород, и, во-вторых, практически полной его ионизации. При ионизации атома водорода, масса которого почти равна атомной единице массы, появляются две частицы -- протон и электрон. Масса электрона пренебрежимо мала по сравнению с массой протона. Поэтому молярная масса чисто водородного полностью ионизованного газа близка к 0.5. В недрах Солнца молярная масса немного больше этого значения (0.6). Причина -- присутствие более тяжелых элементов (молярная масса чисто гелиевого полностью ионизованного газа равна 4/3 [поймите, почему], для чистого кислорода она близка к 2 и т. д.).

Полное число частиц, составляющих Солнце, можно оценить следующим образом:

где г -- атомная единица массы. Вклад в массу наружных неионизованных слоев, где значение больше, пренебрежимо мал.

12.3 При плотности в 150 г/см³ и средней молярной массе 0.6 (см. задачу ) концентрация частиц равна

На самом деле средняя молярная масса в центре Солнца сейчас несколько больше, чем 0.6, так как водород там уже сильно выгорел, превратившись в гелий. Однако порядок величины n остается тем же, а только он нам и нужен.

Концентрация фотонов чернотельного излучения при температуре равна (см. задачу )

Это на три с лишним порядка меньше концентрации частиц. Значит, и роль давления излучения в недрах Солнца мала (см. решение задачи ).

Любопытно, что, согласно расчетам моделей строения Солнца, в большей части его массы плотность и температура T связаны соотношением . Поэтому отношение , найденное нами для центра Солнца, характерно для его недр в целом. Фотонов в недрах Солнца (и всех звезд, кроме самых массивных) гораздо меньше, чем протонов.

12.4 Плотность воды 1 г/см³. При этом известно, что в жидкостях молекулы почти соприкасаются друг с другом. При плотностях, существенно больших плотности воды, имеющихся в недрах Солнца, атомы водорода ионизуются давлением. В результате доля объема, занятая частицами (соответственно атомами и голыми ядрами), уменьшается с до , где см -- размер ядра, см -- размер атома. Таким образом, ядра начнут соприкасаться и "мешать" друг другу лишь при плотностях г/см³. Это -- ядерные плотности. Они характерны для нейтронных звезд. В принципе вплоть до этих плотностей ионизованное вещество может оставаться газом.

Наряду с плотностью, агрегатное состояние звездного вещества определяется температурой. Так, известно, что при понижении температуры белого карлика атомные ядра в его недрах должны выстраиваться в кристаллическую решетку. Чтобы ядра атомов двигались свободно, т.е. образовывали газ, требуется, чтобы их кинетическая энергия kT существенно превосходила энергию кулоновского взаимодействия, равную по порядку величины , где -- среднее расстояние между ядрами. Условие с использованием соотношений (для чисто водородной плазмы)

где n -- концентрация ядер, можно переписать в следующем виде:

или в числах

где . Для центра Солнца имеем , г/см³ (см. предыдущую задачу), так что . Итак, даже при плотности в 150 г/см³ вещество в центре Солнца из-за высокой температуры остается газом.

Дальнейшее придется принять на веру. Согласно расчетам моделей строения Солнца, соотношение , справедливое для центра Солнца, приближенно выполняется и в большей части его недр. Поэтому повсюду в недрах Солнца, а не только в его центре, вещество является газом.

12.5 Вычислим энергию, выделяющуюся при синтезе ядра атома гелия из четырех протонов. По формуле Эйнштейна имеем , так как в ходе данной ядерной реакции (точнее, цепочки реакций синтеза -частицы из четырех протонов) "исчезает" (точнее, 0.7%) массы. Полная энергия покоя Солнца равна . Если бы Солнце целиком состояло из водорода, то при полном его превращении в гелий выделилась бы энергия . Время, на которое этой энергии хватило бы для поддержания светимости Солнца на ее нынешнем уровне, составляет лет. Коэффициент 5/3 "несерьезен" -- Солнце не целиком состоит из водорода и т. д. В действительности за время своей жизни на главной последовательности Солнце успеет сжечь лишь примерно 10% своих запасов водорода. Таким образом, Солнцу отпущено примерно лет "спокойной" жизни на главной последовательности, что вовсе неплохо!

12.6 Будем считать, что Солнце испускает чернотельное излучение с K. Средняя энергия, приходящаяся на один чернотельный фотон, равная (см. задачу ), составляет тогда эВ. Поэтому число фотонов, излучаемых Солнцем за счет энергии, выделяющейся при синтезе одной -частицы, равно шт. Так как при синтезе -частицы из четырех протонов два из них за счет -распада превращаются в нейтроны, то при этом рождаются два нейтрино. В итоге число ежесекундно излучаемых Солнцем фотонов оказывается в раз больше числа испускаемых им нейтрино.

12.7 Вещество, аккрецируемое Солнцем, при падении достигает у его поверхности второй космической скорости км/с. Искомый темп аккреции определим из условия равенства кинетической энергии выпадающего за 1 с вещества и светимости Солнца:

откуда

Как будет изменяться продолжительность года, т.е. период обращения Земли P при изменении массы Солнца? Из третьего закона Кеплера

находим

С другой стороны, должен сохраняться угловой момент , так что

Из этих двух соотношений находим, что

откуда при получаем, что . Это соответствует уменьшению продолжительности года на c в год, чего явно не происходит. Можно поэтому с уверенностью утверждать, что Солнце светит не за счет аккреции.

12.8 По значениям температур можно заключить, что речь идет о массивных звездах, светимость которых обеспечивается CN-циклом. Известно, что темп энерговыделения при реакциях CN-цикла примерно пропорционален . Поэтому искомое отношение равно . Не хватайтесь за калькулятор -- все можно подсчитать в уме, воспользовавшись замечательным пределом

Действительно,

При росте температуры всего на темп энерговыделения возрастает более чем в 7 раз!

12.9 Ответ очевиден: один год. При меньшем периоде центробежная сила разорвет звезду.

12.10 Приравнивая центробежную силу на экваторе пульсара к силе тяжести , получаем предельную угловую скорость вращения: . Быстрее вращаться пульсар не может, так как тогда центробежная сила разорвет его. Предельный период вращения есть . Плотность звезды с таким периодом вращения равна

Это -- нижняя оценка плотности, при которой пульсар с периодом с не будет еще разорван центробежной силой. Мы получили разумную оценку плотности нейтронных звезд. Она близка к ядерной: г/см³.

12.11 Время схлопывания Солнца в точку -- это время свободного падения к центру Солнца тела, которое в начальный момент покоилось на его поверхности. Рассматривая движение такого тела, можно принять, что вся масса Солнца сосредоточена в центре (это допущение справедливо, если тело в процессе движения не обгоняет опадающие на центр слои, расположенные ниже; детальный анализ показывает, что это действительно так). Тогда время свободного падения равно половине периода P обращения тела по выродившейся в отрезок эллиптической орбите с большой полуосью (и эксцентриситетом e=1). Этот период мы вычислим по третьему закону Кеплера (см. также задачи и ):

откуда для времени схлопывания Солнца (индекс G -- от gravitation) находим

Это -- важное характерное время. При нарушениях механического равновесия заметные изменения должны происходить на временах . Поскольку никаких существенных изменений в состоянии Солнца не происходит на гораздо больших временных интервалах -- это прямой наблюдательный факт, -- то можно с уверенностью утверждать, что Солнце находится в механическом (гидростатическом) равновесии.

Использованные выше рассуждения дают следующее выражение для времени схлопывания произвольного сферически-симметричного самогравитирующего облака массы M, первоначально имевшего радиус R:

где -- начальная средняя плотность облака. Подставив сюда г/см³, найдем, что время схлопывания межзвездного облака такой начальной плотности составляет лет.

12.12 Проведем анализ размерностей фигурирующих в задаче величин (ср. задачу ). У нас имеются следующие размерные параметры: масса "планеты" (или лучше сказать -- самогравитирующего тела) M, ее радиус R, размерная постоянная K, входящая в уравнение состояния и, наконец, постоянная тяготения G. Пусть [Q] -- размерность величины Q. Тогда, с одной стороны, , с другой же стороны ньютонова сила тяготения , отнесенная к площади поверхности сферы радиуса R, также имеет размерность давления: . Отношение двух фигурирующих здесь комбинаций определяющих размерных величин есть отвлеченное число. Обозначим его , так что

откуда

Следует ожидать, что -- число порядка единицы: так "всегда" бывает.

Из полученного сейчас выражения следует, что радиус самогравитирующей равновесной конфигурации, построенной из вещества с уравнением состояния , однозначно определяется значением K. Замечательно, что масса M выпала. Отсюда можно заключить, что от добавления массы или от удаления с тела части его вещества радиус "планеты" меняться не будет. Оказывается поэтому, что если вещество имеет уравнение состояния , то в один и тот же объем можно поместить любую массу. В действительности, конечно, масса все же будет ограничена сверху, так как при добавлении вещества гравитационная потенциальная яма будет становиться глубже. Скорость убегания

будет расти . Когда она станет приближаться к скорости света c, должны начать проявляться отклонения поля тяготения от ньютонова за счет эффектов общей теории относительности.

Полученный результат -- независимость R от M -- кажется настолько невероятным, что сначала верится в него с трудом. Подтвердим его более детальным анализом (менее подготовленные читатели могут его пропустить). Это позволит получить значение . После этого поймем "на пальцах", в чем же суть дела, и обсудим некоторые важные для физики компактных звезд заключения общего характера, которые можно сделать на основе анализа нашей простой задачи.

Переходим к более аккуратному рассмотрению, которое позволит нам получить . Уравнение механического равновесия самогравитирующей сферически-симметричной конфигурации (звезды, планеты) имет вид

При это дает

Здесь -- масса в сфере радиуса r, так что

Поэтому из предыдущего уравнения следует, что

Если ввести

то это уравнение приводится к виду

где

Мы пришли к уравнению, по форме совпадающему с уравнением гармонических колебаний. (Для этого достаточно было догадаться ввести новую неизвестную y вместо .) Общее его решение имеет вид

где A и B -- произвольные постоянные. При r=0 значение равно, очевидно, нулю, и поэтому B=0. Итак,

На поверхности тела, при r=R, мы должны иметь , откуда находим

так что

Таким образом, аккуратный расчет полностью подтвердил то, что дал простой анализ размерностей. Безразмерный параметр действительно оказался близок к единице:

Если вдуматься, то неизменность радиуса при добавлении или удалении вещества не есть что-то невероятное. При добавлении массы, казалось бы, радиус будет возрастать. В этом "казалось бы" все и заключено. На самом деле добавляемое вещество имеет вес и потому сдавливает нижележащие слои. Если вещество несжимаемо, радиус тела растет . На этом простейшем случае и основана "интуиция" тех, кто не учитывает влияния сжимаемости на изменение радиуса при росте массы.

Если давление и плотность связаны степенной зависимостью

то говорят, что мы имеем дело с политропой индекса n. Рассматривавшийся нами случай соответствует n=1; при n=0 имеем несжимаемое вещество. Чем меньше n, тем труднее сжать вещество, тем оно "жестче". Теперь ясно, что при всех n<1 добавление массы сопровождается увеличением радиуса, в случае же n=1 нижние слои "проседают" под действием веса добавляемого вещества ровно на столько, что это компенсирует увеличение радиуса за счет добавления вещества. Если n>1, то с увеличением массы радиус должен убывать!

Бывает ли так? Да. Таковы, в частности, белые карлики. Чем больше масса белого карлика, тем меньше его радиус. При массах эта зависимость имеет вид (что соответствует политропе индекса n=3/2), при больших массах, а потому и больших плотностях, поскольку радиус убывает с M, скорость убывания радиуса увеличивается. Объяснение того, почему это происходит, завело бы нас слишком далеко. Ограничимся констатацией этого факта. При приближении массы к так называемому пределу Чандрасекара достигаются столь большие плотности, что вещество начинает радикально менять свои свойства: электроны начинают захватываться ядрами, превращая имеющиеся в них протоны в нейтроны. Идет процесс нейтронизации вещества. Белых карликов с массой, большей чандрасекаровского предела, в природе нет и быть не может -- зато могут быть и есть такие нейтронные звезды.

Физика звезд

12.1 Энерговыделение происходит в объеме, и потому растет пропорционально кубу характерного размера объекта, теплоотвод же происходит с поверхности, а ее площадь возрастает как квадрат характерного размера. В итоге с увеличением размера тела (при сохранении темпа энерговыделения) его поверхностная температура должна расти. Дальше додумайте сами.

12.2 Молярная масса газа -- это среднее значение массы одной частицы газа, выраженное в атомных единицах массы. Своим низким значением молярная масса солнечного вещества обязана, во-первых, тому, что основной его компонентой (70% по массе) является водород, и, во-вторых, практически полной его ионизации. При ионизации атома водорода, масса которого почти равна атомной единице массы, появляются две частицы -- протон и электрон. Масса электрона пренебрежимо мала по сравнению с массой протона. Поэтому молярная масса чисто водородного полностью ионизованного газа близка к 0.5. В недрах Солнца молярная масса немного больше этого значения (0.6). Причина -- присутствие более тяжелых элементов (молярная масса чисто гелиевого полностью ионизованного газа равна 4/3 [поймите, почему], для чистого кислорода она близка к 2 и т. д.).

Полное число частиц, составляющих Солнце, можно оценить следующим образом:

где г -- атомная единица массы. Вклад в массу наружных неионизованных слоев, где значение больше, пренебрежимо мал.

12.3 При плотности в 150 г/см³ и средней молярной массе 0.6 (см. задачу ) концентрация частиц равна

На самом деле средняя молярная масса в центре Солнца сейчас несколько больше, чем 0.6, так как водород там уже сильно выгорел, превратившись в гелий. Однако порядок величины n остается тем же, а только он нам и нужен.

Концентрация фотонов чернотельного излучения при температуре равна (см. задачу )

Это на три с лишним порядка меньше концентрации частиц. Значит, и роль давления излучения в недрах Солнца мала (см. решение задачи ).

Любопытно, что, согласно расчетам моделей строения Солнца, в большей части его массы плотность и температура T связаны соотношением . Поэтому отношение , найденное нами для центра Солнца, характерно для его недр в целом. Фотонов в недрах Солнца (и всех звезд, кроме самых массивных) гораздо меньше, чем протонов.

12.4 Плотность воды 1 г/см³. При этом известно, что в жидкостях молекулы почти соприкасаются друг с другом. При плотностях, существенно больших плотности воды, имеющихся в недрах Солнца, атомы водорода ионизуются давлением. В результате доля объема, занятая частицами (соответственно атомами и голыми ядрами), уменьшается с до , где см -- размер ядра, см -- размер атома. Таким образом, ядра начнут соприкасаться и "мешать" друг другу лишь при плотностях г/см³. Это -- ядерные плотности. Они характерны для нейтронных звезд. В принципе вплоть до этих плотностей ионизованное вещество может оставаться газом.