Кинематика Солнечной системы

Первое знакомство

1.1Из вещества Земли сделали проволоку длиной от Земли до
а) Солнца; б) Cen; в) туманности Андромеды. Оценить диаметры этих проволок ( В.В.Соболев).

1.2 Оцените, сколько звезд в нашей Галактике и сколько галактик во всей Вселенной приходится на одного человека.

1.3 Как Вы думаете, чего больше -- звезд в Галактике или комаров на Земле?

1.4 Вселенная совсем маленькая: звезд во всей Вселенной столько же, сколько атомов в капле воды! Проверьте.

1.5 Что больше: кулонова сила притяжения электрона к протону в атоме водорода или ньютонова сила притяжения двух космонавтов, обменивающихся рукопожатием в открытом космосе?

1.6 Какова глубина той потенциальной ямы, в которой мы живем?

1.7 Каков модуль расстояния Санкт-Петербург -- Москва (в звездных величинах)?

1.8 Видно ли Солнце простым глазом с Плеяд?

1.9 Что больше -- угловой размер диска Луны или туманности Андромеды?

1.10 Почему ночью темно?

Кинематика неба

2.1Проснувшись 21 марта, вы неожиданно обнаружили, что каким-то чудом перенеслись на необитаемый атолл. Светит Солнце, на вас -- только купальный костюм. Сможете ли вы через час--другой сказать, в каком полушарии находитесь -- северном или южном?

2.2Проснувшись от летаргического сна, вы обнаружили, что находитесь на необитаемом атолле, лежащем точно на экваторе. Светит Солнце, на вас -- только купальный костюм. Сможете ли вы через час--другой сказать, что сейчас у вас дома в Петербурге -- зима или лето?

2.3Проснувшись, вы неожиданно обнаружили себя среди первобытных людей. Как вы стали бы убеждать их, что Земля -- это шар и что она вращается вокруг своей оси?

2.4В каком направлении -- слева направо или справа налево -- перемещается из-за прецессии точка весеннего равноденствия?

2.5Каковы минимальная и максимальная полуденная высота Солнца в вашем городе?

2.6В котором часу сегодня зайдет Солнце?

2.722 марта Солнце зашло на позже, чем накануне. Где вы -- в Армавире или в Арзамасе?

Указание: sin = sin 23¹/₂^o = 0.40 .

2.8Какая доля от общего числа звезд на данной широте никогда не заходит? Звезды считать равномерно распределенными по небесной сфере.

2.9Видна ли Луна в июньское полнолуние на северном полюсе?

2.10Почему летом Луна в полнолунии всегда бывает тусклой и желтоватой и видна невысоко над горизонтом (в наших широтах), а зимой, наоборот, ярка и поднимается высоко?

2.11Какова наибольшая и наименьшая высота верхней кульминации Луны в вашем городе?

2.12Можно ли где-нибудь в России увидеть Луну в зените?

2.13Луна видна в последней четверти. Чему в среднем равны лучевые скорости звезд, находящихся на небе неподалеку от нее?

2.147 февраля Луна была в последней четверти. Чему равнялось ее прямое восхождение?

2.15Созвездие Ориона имеет экваториальные координаты около , _~ 0^o, а созвездие Южной Короны -- , _~ -40^o. Каковы условия видимости этих созвездий в Петербурге сейчас? Какими они будут через 13 000 лет?

2.1622 июня на диске Солнца с правой стороны виден ущерб. Что это -- начало или конец затмения?

2.17Сегодня произошло солнечное затмение. Значит, угловое расстояние Солнца от узла лунной орбиты меньше 17^o. Объясните, почему.

Указание: угол наклона лунной орбиты к плоскости эклиптики .

2.18В котором часу (по московскому времени) сегодня наступит истинный полдень в том месте, где вы находитесь?

2.19Солнце находится в верхней кульминации в всемирного времени. Найти долготу (уравнением времени пренебречь).

2.20Земля -- сфероид со сжатием 1/300. а) Определить, на сколько за сутки уйдут вперед маятниковые часы на полюсе Земли по сравнению с аналогичными часами на экваторе. б) На сколько следует удлинить маятник часов на полюсе, чтобы часы шли так же?

Центробежную силу не учитывать.

2.21Известно, что продолжительность суток увеличивается на секунды за 1000 лет. Поэтому через 1000 лет показания часов, синхронизированных по вращению Земли с учетом ее векового замедления, будут отличаться от показаний атомных часов, синхронизированных с постоянной начальной скоростью вращения Земли. На сколько ? ( В.В. Витязев)

Инструменты

3.1Оценить безопасную скорость движения управляемого с Земли марсохода, оснащенного телекамерой, которая "видит" только на 10 м.

3.2Где на Земле нужно поставить телескоп, чтобы его немецкая монтировка была одновременно и азимутальной?

3.3Хватит ли одной дискетки, чтобы записать всю ту информацию о звездном небе, которой человечество располагало к моменту изобретения телескопа? (Солнце, Луна, планеты и кометы -- не в счет.)

3.4Каков наименьший линейный размер образований на Луне, которые можно различить невооруженным глазом?

3.5Спутник летит над поверхностью Земли на высоте 200 км. Каков наименьший размер деталей на Земле, которые можно с него сфотографировать?

Указание: размер диска дрожания звезды из-за влияния земной атмосферы составляет .

3.6За орбитой Нептуна, на гелиоцентрических расстояниях от 30 до 50 а.е., находится открытый в 1992 г. пояс Койпера, состоящий из малых тел типа комет и астероидов. К началу 1996 г. в поясе обнаружено 32 объекта, за 1996 г. открыто еще 7. Предполагается, что там имеются десятки тысяч тел крупнее 100 км. Каковы примерно минимальные размеры тел пояса Койпера, которые можно обнаружить с помощью хаббловского космического телескопа?

3.7Оценить фотонный поток (число фотонов/(см с)), приходящий от: а) Солнца; б) Cen; в) звезды .

Указание: поток от источника нулевой звездной величины составляет примерно фотонов/(см с).

3.8Сколько фотонов падает за 1 секунду на зеркало самого большого в мире телескопа Кека (D = 10 м) от Веги и от звезды ?

Кинематика Солнечной системы

4.1Как и в задаче , вы опять среди первобытных людей. Продолжая сеять разумное, доброе, вечное, вы объяснили им, как устроена Солнечная система, но к ужасу своему обнаружили, что расстояния от Солнца и периоды обращения Венеры и Юпитера вы забыли. Какие наблюдения вам следует произвести, чтобы определить их значения?

4.2На сколько примерно градусов сместился Плутон по своей орбите со времени его открытия?

4.3Период обращения Нептуна вокруг Солнца составляет 165 лет. Будет ли у Солнца виден диск, если смотреть на него с Нептуна невооруженным глазом, или оно будет точечным объектом?

4.4Изобразить в проекции на плоскость эклиптики орбиту небесного тела, имеющую элементы: а.е., e = 0, , . Для сравнения на том же чертеже и в том же масштабе изобразить орбиту Земли.

4.5 Каково угловое расстояние Земли от Солнца в элонгации при наблюдении с Юпитера?

4.6На каком наибольшем угловом расстоянии от Солнца бывает виден Юпитер с Cen?

4.7Сидерический период осевого вращения Солнца (на экваторе) --- 25 суток. Чему равен синодический период его вращения при наблюдении с а) Меркурия; б) Земли; в) Плутона?

4.8Оцените характерное время прохождения Венеры по диску Солнца. Как она перемещается по диску при наблюдении из средних широт северного полушария --- справа налево или слева направо?

4.9Диаметр Плутона составляет 2300 км, расстояние от Солнца (до конца текущего тысячелетия) --- 30 а.е. Оцените ширину полосы на поверхности Земли, в которой можно наблюдать покрытие звезды Плутоном, и его продолжительность.

4.10Астрономы будущего производят радиолокацию астероида, движущегося по круговой орбите радиусом 5/3 а.е. Во сколько раз более мощный импульс они должны послать в соединении, чем в противостоянии, чтобы зарегистрировать отраженный сигнал одинаковой силы? На сколько звездных величин этот астероид ярче в противостоянии, чем в соединении?

Всемирное тяготение

5.1Что стало бы с Солнечной системой, если бы масса Солнца мгновенно уменьшилась вдвое?

5.2Как изменилась бы орбита Земли, если бы масса Солнца внезапно удвоилась?

5.3Почему у всех без исключения тел Солнечной системы, от Солнца до астероидов и спутников планет включительно, минимальные времена их облета имеют один и тот же порядок величины?

5.4Скорость движения кометы в перигелии втрое больше, чем в афелии. Чему равен эксцентриситет ее орбиты?

5.5Как зависит линейная скорость движения планеты по круговой орбите от радиуса орбиты r? Как это ни неожиданно, вопрос имеет прямое отношение к знаменитой проблеме "скрытой массы" в галактиках (см. задачу ).

5.6Определить большую полуось, период обращения, эксцентриситет и перигелийное расстояние кометы, которая на расстоянии 1 а.е. от Солнца имеет скорость, направленную перпендикулярно радиусу-вектору и по величине в десять раз меньшую, чем скорость Земли.

5.7Спутник "Молния"; в перигее удален от центра Земли на 7000 км, в апогее - на 46000 км. Вычислите период обращения спутника вокруг Земли и эксцентриситет его орбиты.

5.8Оцените время перелета космического аппарата с Земли на Марс по полуэллипсу, в перигелии касающемуся орбиты Земли, а в афелии - орбиты Марса (эллипс Гомана). Большую полуось орбиты Марса принять равной 1.5 а.е.

5.9Гелиостационарной называется круговая орбита, лежащая в плоскости экватора Солнца, с периодом обращения, равным сидерическому периоду осевого вращения Солнца. Найти ее большую полуось.

5.10Какова минимальная скорость падения метеорита на Луну?

5.11Каким должен быть темп аккреции на Юпитер (в массах Юпитера в год), чтобы его болометрическая светимость возросла вдвое?

5.12Когда люди собирались высадиться на Луну, активно обсуждался вопрос, не покрыта ли она толстым слоем пыли, в котором можно утонуть. Тогда у студентов возник такой вопрос: сколько времени должен на Земле работать пылесос, чтобы выделившейся энергии хватило для доставки его на Луну?

5.13Каков предельный размер астероида, с которого еще можно спрыгнуть в космос?

5.14Невероятно, но факт: от трения о воздух спутник, летящий в разреженных слоях атмосферы, не тормозится, а разгоняется ! Понять, как так может быть, доказав, что энергия, которую спутник тратит на преодоление сопротивления воздуха, в точности равна приращению (положительному) его кинетической энергии.

5.15Каково должно было бы быть расстояние до Луны, чтобы на ее орбите в Солнечной системе имелись точки перегиба? Считать, что Луна движется строго в плоскости эклиптики, а ее орбита относительно Земли - круговая.

5.16Космический корабль исследует нейтронную звезду. На каком примерно расстоянии от нее приливные силы еще не создадут опасности здоровью космонавта?

5.17Несколько лет назад в Солнечной системе открыт новый класс объектов --- двойные астероиды. Грубо оцените наибольшее возможное расстояние от 100-километрового астероида до его спутника - астероида меньшего размера.

5.18Поверхность, на которой силы притяжения к Земле и к Солнцу равны, называется сферой притяжения Земли относительно Солнца. Является ли сфера притяжения действительно сферой? При какой массе Земли сфера притяжения была бы плоскостью?

5.19Камень подняли на высоту R над поверхностью планеты радиуса R и массы M и отпустили там с нулевой скоростью. Из соображений размерности показать, что время его свободного падения на поверхность планеты есть

где --- безразмерный множитель (порядка единицы). Не пытаясь найти точно, получить следующую оценку:

5.20Задача-пародия на фантастические сюжеты о звездных войнах.

Разведка донесла, что атомная подводная лодка противника должна всплыть на северном полюсе на 10 минут ровно в полдень по нашему времени. Дан приказ ее уничтожить. Для этого на полюс утром прибыла наша подлодка, с борта которой вертикально вверх была запущена боевая ракета. За очень короткое время (считайте - мгновенно) ракета набрала скорость, равную первой космической, после чего ее двигатели были отключены. Наша подлодка тут же погрузилась и уплыла. Через некоторое время - ровно в полдень, как и предупреждала разведка, - на поверхности появилась вражеская субмарина. Но не прошло и пяти минут после ее всплытия, как она была уничтожена упавшей на нее из космоса ракетой.

Сколько показывали часы командира нашей доблестной подводной лодки, когда он отдал команду "Пуск!"?

6. Земля, Луна и планеты

6.1Чему равна температура поверхности Луны в подсолнечной точке?

6.2При строительстве лунной обсерватории растяпа-астронавт в жаркий полдень разлил на лежавший на грунте толстый железный лист ведро замечательных белых-белых белил (альбедо A=0.99). Через некоторое время обнаружилось, что работать, стоя на этом листе, совершенно невозможно. Как вы думаете, почему?

6.3Допустим, что вокруг звезды с температурой и средней плотностью движется планета. Пусть она не имеет атмосферы, обращена к звезде одной стороной и имеет такое же альбедо A, что и у Луны. Чему равен период обращения этой планеты по орбите, если температура на ее поверхности такая же, как на Луне? Как зависит температура на диске планеты от зенитного расстояния звезды? Считается, что и звезда, и планета излучают как черное тело.

6.4Достаточно ли кинетической энергии движения Земли по орбите, чтобы ионизовать массу водорода, равную массе Земли?

6.5Какая доля массы Земли приходится на ее атмосферу?

6.6С хорошим приближением (каким?) можно считать, что Солнце освещает Землю параллельными лучами света. Как тогда объяснить картину, которую вы наверняка не раз наблюдали: из-под тучи, закрывающей Солнце, идут явно расходящиеся лучи?

6.7 Земная атмосфера имеет оптическую толщину по нормали (на длине волны ). Представьте себе, что масса атмосферы возросла в 5 раз. Каким увидит безоблачное небо петербуржец в полдень и в полночь? А что если масса атмосферы уменьшится в 5 раз?

6.8При плавном росте массы атмосферы от нуля небо днем было бы сначала черным, затем становилось бы все более ярким, потом вновь менее ярким и, наконец, наступила бы тьма. При какой оптической толщине достигается максимум яркости неба?

6.9Небо с утра до вечера затянуто сплошной облачностью, но дисциплинированный астроном честно работает --- на своем солнечном телескопе он пытается заниматься определением химического состава Солнца. Как вы думаете, может ли из этого что-то выйти?

6.10Солнце встает из-за морского горизонта. Один человек любуется восходом с палубы корабля, а другой --- с вершины горы высотой 4 км на расположенном в океане вулканическом острове (скажем, с обсерватории Мауна-Кеа на Гавайях). У которого из наблюдателей диск Солнца будет ярче и во сколько примерно раз?

6.11Всякий знает, что на восходе и при закате Солнце красное. Показать, что это в некотором смысле иллюзия, на самом же деле оно инфракрасное. Точнее говоря, показать, что максимум в распределении энергии в спектре прямого излучения Солнца, регистрируемого в моменты восхода и заката, лежит в ИК-области. Считать, что 1) во внеатмосферном спектре Солнца распределение энергии чернотельное с максимумом на длине волны и 2) ослабление света в атмосфере вызывается молекулярным рассеянием.

Примечание. Для решения этой задачи понадобится калькулятор. Решение довольно длинное.

Звездные величины

7.1Крупнейшим наземным телескопам (в частности, двум самым большим в мире 10-метровым телескопам Кека) доступны звезды . Во сколько раз они слабее звезд, едва различимых невооруженным глазом?

7.2Переменная o Cet (Мира Кита) в максимуме имеет визуальный блеск , в минимуме --- . Во сколько примерно раз меняется ее светимость в видимом диапазоне?

7.3Разность звездных величин двух звезд одинаковой светимости равна . Во сколько раз одна из них дальше другой?

7.4Где светлее --- днем на Плутоне или в лунную ночь на Земле?

7.5Из вещества Луны в полнолуние сделали миллион одинаковых сферических спутников, оставив их примерно в том же месте, но так, чтобы они не затеняли друг друга. Какова звездная величина получившегося роя? Звездная величина полной Луны вам известна.

7.6Двойная звезда имеет компоненты и . Найти суммарную звездную величину двойной.

7.7Затменно--двойная система имеет одинаковые компоненты. На сколько звездных величин меняется блеск системы в момент полного затмения одной компоненты другой?

7.8В звездном скоплении N звезд звездной величины m каждая. Найти суммарную звездную величину скопления.

7.9 На небе около 6000 звезд ярче 6-й звездной величины. Считая, что у всех звезд одинаковая светимость и что они распределены в пространстве равномерно, оценить, сколько на небе звезд ярче m-й звездной величины.

7.10* На каком примерно расстоянии надо поместить 100--ваттную лампочку, чтобы она выглядела как звезда 0-й звездной величины?

Указание: см. задачу .

7.11* Можно ли с Луны невооруженным глазом увидеть города на Земле?

7.12* Один из четырех галилеевых спутников Юпитера --- Европа --- имеет радиус 1600 км и полностью покрыт льдом. Оцените звездную величину Европы в тот момент, когда Юпитер ближе всего к Земле.

7.13Показать, что при малом изменении расстояния до самосветящегося объекта ( ) его видимая звездная величина изменяется на

7.14Звездная величина планеты в противостоянии на 3.43^m меньше, чем в соединении. Что это за планета?

7.15Сколько времени прошло от соединения до противостояния планеты, если ее звездная величина за это время уменьшилась на 0.85^m ?

7.16Оцените максимальное расстояние (в пк), с которого Солнце еще видно невооруженным глазом.

7.17Как вы думаете, будет ли Солнце в числе одного -- двух десятков самых ярких звезд для наблюдателя, живущего в окрестностях Cen?

7.18Доступны ли крупнейшим телескопам звезды, подобные Солнцу, в туманности Андромеды?

7.19Оценить абсолютную болометрическую звездную величину работающего пылесоса.

Излучение

8.1* Очень хорошая оценка чернотельной интенсивности в максимуме планковской кривой получается, если воспользоваться приближением Вина. Объясните, почему это так, и дайте оценку погрешности. Как далеко за максимумом, т.е. в области , еще можно пользоваться приближением Вина? Как в максимуме растет с T?

8.2* Рассмотрите семейство планковских кривых в шкале длин волн, отвечающих различным значениям температуры (см. любой курс общей физики). Они не пересекаются, причем те, которые соответствуют более высокой температуре, лежат выше (докажите!), а максимум у них расположен левее (закон смещения Вина). При этом максимум у этих планковских кривых тем "острее", чем выше температура. Почему это так? А как изменяется с ростом температуры форма планковских кривых в шкале частот?

8.3** Получить следующую степенную аппроксимацию зависимости чернотельной интенсивности от температуры в окрестности :

где

Отсюда ясно видно, что при переходе в коротковолновую часть спектра чувствительность к вариациям температуры становится более сильной --- очень важное свойство функции Планка.

8.4* Почему средняя энергия одного чернотельного фотона не равна ? Найти ее.

8.5* Показать, что концентрация фотонов в равновесном поле излучения с температурой T равна .

8.6При каком переходе электрона в атоме водорода образуется лежащая в красной части спектра линия ) ?

Указание: считать известной предельную длину волны фотона, еще способного ионизовать атом водорода из основного состояния: .

8.7Возможны ли наземные наблюдения линии межзвездного водорода H (переход электрона с 11-го на 10-й уровень)?

8.8Оценить длину волны рекомбинационной радиолинии водорода H .

8.9* Доказать, что рекомбинационные радиолинии водорода , , , эквидистантны по частоте.

8.10Способно ли излучение с ионизовать атомы водорода, находящиеся на втором уровне ?

8.11* Почему в спектре солнечной хромосферы видно гораздо большее число линий бальмеровской серии, чем в спектрах белых карликов ?