Теорема о существовании наклонных асимптот

Теорема 13 (существование асимптот). Для того чтобы график функции y = f(x) имел при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела

limx® +Ґf(x)/x = k, limx® +Ґ(f(x)-kx) = b.

Доказательство.

Необходимость. Пусть график функции y = f(x) имеет при x® +Ґ асимптоту y = kx+b, то есть для f(x) имеет вид

f(x) = kx+b+a(x),

тогда

limx® +Ґf(x)/x = (kx+b+a(x))/x = k,

limx® +Ґ(f(x)-kx) = limx® +Ґ(b+a(x)) = b.

Достаточность. Пусть существуют пределы, фигурирующие в условии теоремы. Тогда величина f(x)-kx-b является бесконечно малой при x® +Ґ. Обозначив f(x)-kx-b = a(x) получим, что f(x) имеет асимптоту согласно определению наклонной асимптоты.

1. Множества и операции над ними.

2. Аксиоматика множества действительных чисел.

3. Границы числовых множеств. Теорема о гранях.

4. Понятия последовательности, её предела, сходимости и расходимости.

5. Общие свойства пределов последовательностей.

6. Предельный переход в неравенствах для последовательностей.

7. Бесконечно малые последовательности и их свойства.

8. Бесконечно большие последовательности и их свойства.

9. Предельный переход в арифметических операциях для последовательностей.

10. Неопределенные выражения.

11. Теорема о пределе монотонной последовательности.

12. Число е.

13. Нахождение некоторых стандартных пределов.

14. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. О – символика.

15. Лемма о вложенных отрезках.

16. Принцип выбора в R и в Ṝ.

17. Критерий Коши для числовой последовательности. Фундаментальные последовательности.

18. Подпоследовательность. Частичные пределы последовательности.

19. Существование верхнего и нижнего пределов последовательности.

20. Нижний и верхний пределы и сходимость последовательности.

21. Отображения и их основные типы.

22. Обратимые и обратные функции. Теорема о существовании обратной для монотонной функции.

23. Различные формы определения предела функции по Коши.

24. Односторонние пределы функции.

25. Эквивалентность определений функций по Гейне и по Коши.

26. Общие свойства пределов функций. Предельный переход и арифметические операции.

27. Неравенства и предельный переход для функций.

28. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

29. Теорема о пределе композиции функций.

30. Вычисление Теорема о существовании наклонных асимптот - student2.ru Теорема о существовании наклонных асимптот - student2.ru .

31. О-символика для функций.

32. Эквивалентность функций.

33. Пределы монотонных функций. Верхний и нижний пределы функции.

34. Некоторые замечательные пределы для функций.

35. КритерийКоши существования предела функции.

36. Различные формы определения непрерывности функции в точке. Классификация точек разрыва.

37. Локальные свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности композиции функций.

38. Теоремы о существовании корня и о промежуточных значениях непрерывной функции.

39. 1-ая теорема Вейерштрасса (об ограничености непрерывной функции).

40. 2-ая теорема Вейерштрасса (об экстремальных значениях непрерывной функции). Теорема о непрерывности обратной функции.

41. Понятие равномерной непрерывности. Теорема Кантора и следствие из неё.

42. Определение и непрерывность степенной функции с иррациональным показателем. Теорема о непрерывности элементарной функции.

43. Определение и условия дифференцируемости функции в точке.

44. Геометрический смысл производной и дифференциала.

45. Односторонние и бесконечные производные.

46. Дифференцирование арифметической комбинации функций.

47. Производная композиции и обратной функции.

48. Вычисление табличных производных.

49. Гиперболические функции и их производные.

50. Производные высших порядков.

51. Формула Лейбница.

52. Дифференциалы высших порядков.

53. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции. Теорема Ферма.

54. Теорема Ролля.

55. Теорема Лагранжа о конечных приращениях и следствия из неё.

56. Обобщённая формула конечных приращений.

57. Правило Лопиталя.

58. Формула Тейлора для многочлена и произвольной функции.

59. Локальная формула Тейлора. Единственность.

60. Представление остаточного члена формула Тейлора в формах Лагранжа и Коши.

61. Разложение по формуле Маклорена важнейших элементарных функций.

62. Примеры приложений формулы Тейлора.

63. Условия монотонности дифференцируемой функции.

64. Достаточное условие локального экстремума функции в терминах 1-ой производной.

65. Достаточное условие локального экстремума в терминах высших производных.

66. Различные определения выпуклости функции.

67. Аналитические условия выпуклости функции.

68. Необходимое условие перегиба функции.

69. Достаточные условия перегиба.

70. Асимптоты графика функции. Порядок построения графика функции

Наши рекомендации