Теорема Больцмана-Коши
Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в некоторой связанной области D. Если в 2-х точках M0(x0,y0) и M1(x1,y1) этой области функция принимает значения разных знаков, то есть f(x0,y0)<0 а f(x1,y1)>0 то в этой области найдется точка M’(x’,y’) в которой функция обращается в ноль, то есть f(x’,y’)=0. Док-во: Построим на сведении к случаю одной переменной, так как область D связанная то точки M0 и M1 можно соединить ломанной, полностью лежащей в D. Если последовательно перебирать вершины ломанной то либо окажется, что какой-то из них функция обращается в ноль и тогда теорема доказана, либо этого не будет. Найдется такая сторона ломанной на концах которой функция принимает значения разных знаков, изменив обозначения точек будем считать, что М0 и М1 являются концами этой
Производные и дифференциалы функции нескольких переменных. Частные производные и частные дифференциалы.
Пусть в некоторой открытой области D имеем функцию u=f(x,y,z). Возьмем точку M0(x0,y0,z0) в этой области. Придадим переменным y и z постоянные значения, то есть y=y0, z=z0. Тогда функция u будет функцией только от одной переменной x, в окрестности точки x0 будем изменять значение x. Можно поставить вопрос об вычислении производной этой функции в точке x=x0. Придадим значению x0 приращение ∆x тогда функция получит приращение ∆xu=f(x0+∆x,y0,z0)-f(x0,y0,z0) которое назовем частным приращением по x так как оно вызвано изменением только одной переменной. По определению производной она представляет собой предел lim(∆x→0)∆xu/∆x=lim(∆x→0)(f(x0+∆x,y0,z0)-f(x0,y0,z0))/∆x. Эта
Полное приращение функции.
Пусть первоначально x=x0, y=y0, z=z0. Придадим всем трем переменным некоторое приращение ∆x,∆y,∆z, тогда функция u=f(x,y,z) получит приращение ∆u=∆f(x0,y0,z0)=f(x0+∆x,y0+∆y,z0+∆z)-f(x0,y0,z0), которое называется полным приращением функции. В случае функции y=f(x) одной переменной предположения существования в точке x0 конечной производной f’(x0), ∆y=∆f(x0)=f’(x0)∆x+α∆x, α некоторая малая величина и зависит от ∆x, α→0 при ∆x→0. Получим аналогичную формулу для функции u=f(x,y,z), ∆u=∆f(x0,y0,z0)=fx’(x0,y0,z0)∆x+fy’(x0,y0,z0)∆y+fz’(x0,y0,z0)∆z+α∆x+β∆y+γ∆z (*), где α,β,γ зависят от ∆x, ∆y, ∆z и вместе с ними стремятся к нулю.
Теорема.
Если частные производные fx’(x,y,z), fy’(x,y,z) и fz’(x,y,z) существуют не только в точке (x0,y0,z0) но и в некоторой ее окрестности и кроме того непрерывны как функции от (x,y,z) в этой точке то имеет место формула (*). Док-во: Представим полное приращение ∆u в следующем виде ∆u=f(x0+∆x, y0+∆y, z0+∆z)-f(x0,y0,z0). Распишем Т.О.
Полный дифференциал.
В случае функции от одной переменной y=f(x) представляем ее приращение в виде ∆y=A∆x+O(∆x) где A=const. Для возможного такого представления необходимо и достаточно существование производной f’(x0). Причем написанное равенство справедливо при A=f(x0). Линейная часть приращения ∆y назвали дифференциал, и обозначается dy=f’(x0)dx. Перейдем к функции многих переменных. Рассмотрим f(x,y,z). Пусть она определена в некоторой открытой области D. Поставим аналогичный вопрос о представлении ∆u при u=f(x,y,z) ∆u=f(x0+∆x, y0+∆y, z0+∆z)-f(x0, y0, z0) в виде ∆u=∆f(x0, y0, z0)=A∆x+B∆y+C∆z+O(ρ) (1), где ρ=√((∆x)2+(∆y)2+(∆z)2) ρ- расстояние между точками с координатами (x0, y0, z0) и (x0+∆x, y0+∆y, z0+∆z). Легко показать, что если справедливо разложение (1), то в точке (x0, y0, z0) существует частная производная по каждой переменной, причем fx’(x0, y0, z0)=A, fy’(x0, y0, z0)=B, fz’(x0, y0, z0)=C. Если в соотношении (1) возьмем ∆y=∆z=0, а x≠0, Т.О. получим ∆u=A∆x+O(|∆x|), ∆u/∆x=A+O(|∆x|)/∆x и возьмем в обоих частях предел при ∆x→0, а получим fx’(x0, y0, z0)=A аналогично другие доказываются два равенства, то есть пришли к выводу, что соотношение (1) всегда осуществляется только в следующем виде ∆f(x0, y0, z0)=fx’(x0, y0, z0)∆x+fy’(x0, y0, z0)∆y+fz’(x0, y0, z0)∆z+O(ρ). (2) Если справедлива формула (2), то функция f(x,y,z) называются дифференцируемой в точке (x0, y0, z0) и выражение fx’(x0, y0,
Применение дифференциала приближенного вычисления.
Если для значения x близких к x0, и для значения y близких к y0 предположить dx=∆x, d=∆y, dz≈∆z, то есть в правой части точного равенства dz можно отбросить α. Dz=fx’(x0,y0)∆x+fy’(x0,y0)∆y+α и получим приближенное равенство f(x,y)-f(x0,y0) ≈ fx’(x0,y0)∆x + fy’(x0,y0)∆y, ∆x=x-x0, ∆y=y-y0. Это равенство выражает заданную функцию как линейную функцию независимых переменных f(x,y)≈f(x0,y0)+fx’(x0,y0)∆x+fy’(x0,y0)∆y (*). Замена точного уравнения означает замену куска поверхности участком касательной плоскости. Приближенное равенство (*) используется для решения задач 2-х типов. 1) известны значения f(x0,y0), fx’(x0,y0)∆x, fy’(x0,y0)∆y, ∆x, ∆y, нужно вычислить приближенные значения в точке f(x0+∆x, y0+∆y, z0+∆z)≈f(x0,y0)+fx’(x0,y0)∆x+fy’(x0,y0)∆y. 2) известны значения f(x0,y0), fx’(x0,y0)∆x, fy’(x0,y0)∆y тогда по погрешностям δ’, δ’’ значений x0, y0, |∆x|<δ’, |∆y|<δ’’, находится погрешность ε для функции f(x0,y0) как приближенного значения для f(x0+∆x, y0+∆y) тогда воспользуемся следующим неравенством |∆z|=|fx’(x0,y0)||∆x |+|fy’(x0,y0)||∆y |, |∆z|≤|fx’(x0,y0)|δ’+|fy’(x0,y0)|δ’’, выберем max из δ’ и δ’’ и обозначим δ, |∆z|≤(|fx’(x0,y0)|+|fy’(x0,y0)|)δ обозначим ε, тогда |∆z|≤ε, значит |∆z|/z0 можно оценить как относительную погрешность.
Производные высших порядков, функции нескольких переменных.
Допустим, что функция z=f(x) имеет частные производные, то есть dz/dx, dz/dy. Эти производные также являются функциями от x и y. Частные производные от этих функции (то есть от произведения) являются частные производные 2-го порядка. Каждая производная 1-го порядка имеет 2 частные производные, которые обозначаются следующим образом δ2z/δx2=δ/δx(δz/δx), δ2z/δyδx=δ/δx(δz/δy), δ2z/δxδy=δ/δy(δz/δx), δ2z/δy2=δ/δx(δz/δx), получилось и производные zxx’’.
Теорема.
Вторые смешанные производные функции z=f(x,y) при условии их непрерывности равны между собой fxy’’(x,y)=fyx’’(x,y). Частные производные от частных производных второго порядка называются частные производные третьего порядка и т.д.