Геометрическая вероятность
Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности.
При геометрическом подходе к определению вероятности в качестве пространства Q элементарных событий рассматривается произвольное множество конечной меры[1] на прямой, плоскости или в пространстве.
Событиями называются измеримые всевозможные подмножества множества Q.
В конкретных задачах испытание интерпретируется как случайный выбор точки в некоторой области Q, а событие А — как попадание выбранной точки в некоторую подобласть А области Q. При этом требуется, чтобы все точки области Q имели одинаковую возможность быть выбранными. Это требование обычно выражается словами «наудачу», «случайным образом» и т. Д.
Геометрическая вероятность - вероятность попадания точки в область (отрезок, часть плоскости или пространства).
Приведенные определения являются частными случаями общего определения геометрической вероятности. Обозначим меру (длину, площадь, объем) области через m(е). При этом вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область g - часть области G, равна отношению мер областей g и G, соответственно равнее m(g) и m(G).
Формула геометрической вероятности в этом случае имеет вид: P=m(g) : m(G)
В случае классического определения вероятность достоверного (невозможного) события равна единице (нулю); справедливы и обратные утверждения (например, если вероятность события равна нулю, то событие невозможно).
В случае геометрического определения вероятности обратные утверждения не имеют места. Например, вероятность попадания брошенной точки в одну определенную точку области G равна нулю, однако это событие может произойти, и, следовательно, не является невозможным.
Геометрическая вероятность на отрезке.
Пусть отрезок m составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок m пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок m определяется равенством
Р =( Длина m ) : /Длина L).
Задание 3-2. Вычислить геометрические вероятности на отрезке
1. На отрезок ОА длины L числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков 0В и ВА имеет длину, большую L/3. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси,
Решение. Разобьем отрезок ОА точками С и D на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка В(х) попадет на отрезок CD длины L/3. Искомая вероятность
P=(L/3) : L= l/3.
2. [3, №79]. Расстояние от пункта А до В автобус проходит за 2 мин, а пешеход — за 15 мин. Интервал движения автобусов 25 мин. Вы подходите в случайный момент времени к пункту A и отправляетесь в В пешком. Найдите вероятность того, что в пути вас догонит очередной автобус.
Геометрическая вероятность на плоскости.
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством
Р = (Площадь q) : (Площадь Q)
Задание 3-3. Вычислить геометрические вероятности на плоскости
1.На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.
Решение. Площадь кольца (фигуры g) Sq=(102-52)π=75 π. Площадь большого круга (фигуры G) SQ=102 π=100 π. Искомая вероятность равна P=(75 π)^( 100 π)=0,75
2[3, № 82].На паркет, составленный из правильных треугольников со стороной а, случайно брошена монета радиуса г. Найдите вероятность того, что монета не заденет границы ни одного из треугольников.