Расчет доверительного интервала среднего технического ресурса ТС

Расчет доверительного интервала среднего технического ресурса ТС

С вероятностью можно утверждать, что средняя наработка до замены рассматриваемого элемента АТС находится в интервале , что и является интервальной оценкой.

Нижняя и верхняя границы данного интервала следующие:

Расчетное значение предельной относительной ошибки

Определим при , для чего рассчитаем уровень значимости ε и выберем по таблице 2 значение

Уровень значимости задают в зависимости от требуемой точности оценки средней наработки до отказа

Следовательно, получим

Границы доверительного интервала, тыс. км:

Действительное значение средней наработки до отказа находится в интервале [168,89 тыс. км, 212,22 тыс. км] с вероятностью 0,9.

Оценка параметра масштаба закона Вейбулла – Гнеденко

Точечная оценка параметра масштаба закона Вейбулла - Гнеденко, тыс. км:

где – гамма-функция, выбранная из таб. 4 в зависимости от коэффициента вариации V. Получим 0,8992

Подставив полученные значения, получаем

Граничные значения интервальной оценки, тыс. км:

Получаем

Прежде чем перейти к оценке остальных показателей надежности, необходимо проверить принятую в п.1 нулевую гипотезу о соответствии экспериментального распределения отказов распределению Вейбулла-Гнеденко.

Проверка нулевой гипотезы

Соответствие закона Вейбулла-Гнеденко экспериментальному распределению проверяем по - распределения согласия Пирсона. Нет оснований для отклонения нулевой гипотезы при соблюдении условия:

где

значение критерия, вычисленное по экспериментальным данным;

критическая точка (табличное значение) критерия при уровне значимости и числе степени свободы k.(Берем из табл. 2 в приложении а)

Уровень значимости принимаем β = 0,05

Число степеней свободы

где

S – количество частичных интервалов выборки;

r – количество параметров предполагаемого распределения.

При двухпараметрическом законе Вейбулла-Гнеденко .

Нулевая гипотеза проверяется по следующему алгоритму:

Количество интервалов S по правилу Штюргеса с округлением до целого значения

Количество интервалов

Получим

Число степеней свободы

Исходя из того что k = 3, принимаем ²_табл=6,3.

Найдем отношение размаха вариационного ряда на число интервалов т.е. разность между наибольшим и наименьшим значениями вариационного ряда:

Получим

Определим границы интервалов

Получим

Таблица 1 – Расчет эмпирических частот

j	Lj	Lj+1	nj
		∞
	∑ nj=25

Теоретические частоты

Функция распределения отказов

где

L - средняя наработка на отказ (тыс.км);

а - точная оценка параметра закона Вейбулла – Гнеденко в тыс. км.

Получим

Рассчитаем ∆F(Lj), результаты занесем в таблицу 2.

∆F(L₁) = - 0 =

∆F(L₂) = - = 0,155

∆F(L₃) = - = 0,18

∆F(L₄) = - = 0,174

∆F(L₅) = – = 0,184

∆F(L₆) = 1- = 0,099

Найдем _j, результаты занесем в таблицу 2

Таблица 2 – Расчет 𝜒²-критерия согласия Пирсона

j	Lj-1	Lj+1	nj	nj2	∆F(Lj)	j
		138,167			0,20381	5,09	9,6168
	138,167	170,334			0,17113	4,27	3,73985
	170,334	202,501			0,19957	4,98	3,20689
	202,501	234,668			0,18438	4,60	3,47109
	234,668	266,835			0,13225	3,30	0,30246
	266,835				0,07148	1,78	13,98993
итого:		∑ nj = 25	∑ΔF(Lj)=1,000	∑ j =25	∑ = 30,32

Приложение А

Таблица 1 - Параметр формы b закона Вейбулла-Гнеденко

V	+0,00	+0,02	+0,04	+0,06	+0,08
0,10	12,1537	10,0276	9,5121	7,3783	6,4988
0,20	5,7974	5,2254	4,7505	4,3503	4,0086
0,30	3,7138	3,4570	3,2315	3,0321	2,8545
0,40	2,6956	2,5526	2,4234	2,3061	2,1991
0,50	2,1013	2,0116	1,9291	1,8529	1,7824
0,60	1,7171	1,6563	1,5997	1,5469	1,4975
0,70	1,4513	1,4078	1,3670	1,3286	1,2924
0,80	1,2583	1,2259	1,1954	1,1664	1,1389
0,90	1,1128	1,0880	1,0644	1,0419	1,0205
1,00	1,0000	0,9804	0,9618	0,9439	0,9267
1,10	0,9103	0,8946	0,8795	0,8650	0,8510
1,20	0,8376	0,8247	0,8123	0,8003	0,7888
1,30	0,7776	0,7669	0,7565	0,7465	0,7368
1,40	0,7274	0,7183	0,7095	0,7010	0,6928
1,50	0,6848	0,6770	0,6695	0,6622	0,6551
1,60	0,6482	0,6415	0,6350	0,6287	0,6225
1,70	0,6165	0,6107	0,6050	0,5995	0,5941
1,80	0,5888	0,5837	0,5787	0,5738	0,5690
1,90	0,5644	0,5598	0,5554	0,5511	0,5468
2,00	0,5427	0,5386	0,5347	0,5308	0,5270

Таблица 2 - Значения квантилей - распределения

k	β=0,01	β=0,02	β=0,025	β=0,05	β=0,1
	6,635	5,412	5,024	3,842	2,706
	9,210	7,824	7,378	5,992	4,605
	11,345	9,837	9,348	7,815	6,251
	13,277	11,668	11,143	9,487	7,779
	15,086	13,388	12,832	11,071	9,236
	16,812	15,033	14,449	12,592	10,645
	18,475	16,622	16,013	14,067	12,017
	20,090	18,168	17,534	15,507	13,362
	21,666	19,679	19,023	16,919	14,634
	23,209	21,161	20,483	18,307	15,987

Таблица 3 - Значения квантилей - распределения с 2Nk – степенями свободы

m	β=0,05	β=0,10	m	β=0,05	β=0,10
	10,851	12,443		48,305	51,770
	12,338	14,041		50,020	53,548
	13,848	15,659		51,739	55,329
	15,379	17,292		53,462	57,113
	16,928	18,939		55,189	58,900
	18,493	20,599		56,920	60,690
	20,072	22,271		58,654	62,483
	21,664	23,952		60,391	64,278
	23,269	25,643		62,132	66,076
	24,884	27,343		63,876	67,876
	26,509	29,051		65,623	69,679
	28,144	30,765		67,373	71,484
	29,787	32,487		69,126	73,291
	31,439	34,215		70,882	75,100
	33,098	35,949		72,640	76,912
	34,764	37,689		74,401	78,725
	36,437	39,433		76,164	80,541
	38,116	41,183		77,929	82,358
	39,801	42,937		86,792	91,471
	41,492	44,696		95,705	100,620
	43,188	46,459		104,660	109,810
	44,889	48,226		113,660	119,030
	46,595	49,996		122,690	128,280

Таблица 4 - Значение гамма – функции

V	+0,00	+0,02	+0,04	+0,06	+0,08
0,10	0,9587	0,9515	0,9445	0,9380	0,9318
0,20	0,9259	0,9205	0,9154	0,9108	0,9065
0,30	0,9026	0,8992	0,8961	0,8934	0,8911
0,40	0,8892	0,8877	0,8866	0,8859	0,8856
0,50	0,8857	0,8861	0,8870	0,8882	0,8897
0,60	0,8917	0,8939	0,8966	0,8996	0,9029
0,70	0,9066	0,9106	0,9150	0,9197	0,9247
0,80	0,9300	0,9356	0,9416	0,9479	0,9544
0,90	0,9613	0,9685	0,9759	0,9837	0,9917
1,00	1,0000	1,0086	1,0175	1,0266	1,0360
1,10	1,0457	1,0557	1,0659	1,0764	1,0871
1,20	1,0981	1,1094	1,1209	1,1327	1,1447
1,30	1,1570	1,1695	1,1823	1,1953	1,2086
1,40	1,2221	1,2358	1,2498	1,2641	1,2786
1,50	1,2933	1,3082	1,3234	1,3389	1,3546
1,60	1,3705	1,3866	1,4030	1,4196	1,4365
1,70	1,4536	1,4709	1,4885	1,5063	1,5243
1,80	1,5426	1,5611	1,5799	1,5989	1,6181
1,90	1,6375	1,6572	1,6772	1,6973	1,7177
2,00	1,7384	1,7593	1,7804	1,8017	1,8233

Расчет доверительного интервала среднего технического ресурса ТС

С вероятностью можно утверждать, что средняя наработка до замены рассматриваемого элемента АТС находится в интервале , что и является интервальной оценкой.

Нижняя и верхняя границы данного интервала следующие:

Расчетное значение предельной относительной ошибки

Определим при , для чего рассчитаем уровень значимости ε и выберем по таблице 2 значение

Уровень значимости задают в зависимости от требуемой точности оценки средней наработки до отказа

Следовательно, получим

Границы доверительного интервала, тыс. км:

Действительное значение средней наработки до отказа находится в интервале [168,89 тыс. км, 212,22 тыс. км] с вероятностью 0,9.