Пример выполнения аппроксимации полиномами

Если имеется набор экспериментальных точек из (n+1)точки, то порядок аппроксимирующего полинома всегда должен быть меньше числа этих точек (m < n). С уменьшением m эмпирическая зависимость упрощается, но ошибка аппроксимации растет. Завышение m приводит к неоправданному росту числа вычислительных операций.

При выборе степени полинома удобно пользоваться таблицей конечных разностей. Степень полинома можно брать равной порядку мало отличающихся конечных разностей. Линейная аппроксимация пригодна только тогда, когда первые конечные разности мало отличаются друг от друга. Для проверки соответствия уравнения регрессии экспериментальным данным вычисляют ошибку аппроксимации. Если отклонения по модулю не превышают ошибок измерений функции, то можно считать выведенную формулу приемлемой. В противном случае рекомендуется изменить степень полинома или изменить вид искомой формулы.

Пример 2.1. Функция задана таблично:

X
Y 1,8 1,9 2,3 2,5 2,8 3,1 2,5

Найти многочлены первой и второй степени, аппроксимирующие заданную функцию.

Решение

Вычисление коэффициентов систем оформим в виде таблицы.

i Xi Xi2 Xi3 Xi4 Yi YiXi YiXi2
1,8
1,9 1,9 1,9
2,3 4,6 9,2
2,5 7,5 22,5
2,8 11,2 44,8
3,1 15,5 77,5
2,5
Σ 16,9 55,7 245,9

Тогда система уравнений для нахождения коэффициентов линейной регрессии

Пример выполнения аппроксимации полиномами - student2.ru

Решаем систему методом Гаусса.

Получаем Пример выполнения аппроксимации полиномами - student2.ru .

Ответ: аппроксимирующая функция Пример выполнения аппроксимации полиномами - student2.ru .

Система уравнений для нахождения коэффициентов полиномиальной регрессии

Пример выполнения аппроксимации полиномами - student2.ru

Решаем систему методом Гаусса.

Получаем Пример выполнения аппроксимации полиномами - student2.ru .

Ответ: аппроксимирующая функция Пример выполнения аппроксимации полиномами - student2.ru .

Построим полученные зависимости и отметим заданные точки.

Пример выполнения аппроксимации полиномами - student2.ru

Рис. 2.1

Вычислим отклонения аппроксимирующих зависимостей ε. Оформим вычисления в виде таблицы.

Xi
Yi 1,8 1,9 2,3 2,5 2,8 3,1 2,5
F1 1,8786 2,0571 2,2357 2,4143 2,5929 2,7714 2,9500
ε1 0,0786 0,1571 -0,0643 -0,0857 -0,2071 -0,3286 0,4500
F2 1,6524 2,0571 2,3714 2,5952 2,7286 2,7714 2,7238
ε2 -0,1476 0,1571 0,0714 0,0952 -0,0714 -0,3286 0,2238


Отсюда Пример выполнения аппроксимации полиномами - student2.ru , а Пример выполнения аппроксимации полиномами - student2.ru , то есть можно считать многочлен второго порядка аппроксимирующей функцией с точностью до ε.

Выполнение регрессии в Ехсеl

Выполнение линейной регрессии с помощью функций Ехсеl

В том случае, когда нужно вычислить угловой коэффициент а1 и найти точку пересечения с осью ординат прямой линии а0 очень полезными окажутся функции Ехсеl НАКЛОН() и ОТРЕЗОК(). Добавив к ним функцию КВПИРСОН(), вычисляющую квадрат коэффициента корреляции, получим простейший набор, позволяющий решить задачи по анализу данных.

Пример 2.2.

Проанализируем набор данных из рассмотренного выше примера 2.1. Это позволит ознакомиться с основными приемами проведения регрессионного анализа в Ехсеl.

1. Вводим исходные данные.

2. Для определения углового коэффициента прямой линии, лучше всего описывающей данные, предназначена функция НАКЛОН(). У функции НАКЛОН() два аргумента, расположенные в таком порядке: диапазон ячеек, содержащий значения у (значения зависимой переменной) В4:В10, и диапазон ячеек, содержащих значения х (значения независимой переменной) А4:А10 (рис. 2.2).

Пример выполнения аппроксимации полиномами - student2.ru

Рис. 2.2

Аналогично, точку пересечения прямой регрессии с осью ординат можно найти с помощью функции ОТРЕЗОК() с теми же аргументами (рис. 2.3).

Пример выполнения аппроксимации полиномами - student2.ru

Рис. 2.3

Квадрат коэффициента корреляции (R2) вычисляется с помощью функции КВПИРСОН() с теми же аргументами, что и у двух предыдущих функций (рис. 2.4).

Пример выполнения аппроксимации полиномами - student2.ru

Рис. 2.4

Полученные результаты свидетельствуют о том, что прямая, лучше всего описывающая данные, имеет угловой коэффициент Пример выполнения аппроксимации полиномами - student2.ru и пересекает ось ординат в точке Пример выполнения аппроксимации полиномами - student2.ru . Эти результаты совпадают с результатами линейной регрессии по методу наименьших квадратов.

Наши рекомендации