Признак Коши в предельной форме.

Если $ =L, то при L<1 ряд сходится, при L>1 ряд расходится, при L=1 ничего сказать нельзя.

Доказательство. Если L<1, то $e>0: L<1-2e=>L+e<1-e. Т.к. $ =L, то "e>0 $N: L-e< <L+e<1-e=q<1, k³N, q<1=>|ak|<qk, т.е. ряд мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем q<1. n

Аналогично доказывается расходимость ряда при L>1.

п.2. Функциональные ряды.

Пусть дана последовательность , zÎg. Выражение - называется функциональным рядом, заданным в g.

Определеие. Если при "zÎg, соответствующий числовой ряд сходится к определенному комплексному числу w(z), то в g определена f(z)=w, которая называется суммой функционального ряда, а сам ряд называется сходящимся в g.

Если ряд сходится в g, то "e>0 $N(e,z): для "n³ N(e,z) ïrn(z)ï<e.

Необходимый и достаточный признак сходимости: Критерий Коши: для "e>0 $N(e,z): для "n³N и "m>0ïSn+m(z)-Sn(z)ï<e.

Вообще говоря, в каждой точке zÎg N свое N(e,z) и общего N для всей z может и не существовать.

п.3. Равномерная сходимость.

Если для "e>0 $N(e) что для "n³ N(e) и "z одновременно ïrn(z)ï<e , то ряд . =>f(z) называется равномерно сходящимся к функции f(z) в g.

Понятие равномерной сходимости- глобальное.

Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости- критерий Коши:

Если для "e>0 $N(e):для "n³N и "m>0 и "z одновременно ïSn+m(z)-Sn(z)ï<e, то ряд =>f(z).

Доказательство.

Необходимость. Пусть ряд сходится равномерно =>f(z): "e>0 $N(e) что ïf(z)-Sn(z)ï<e/2 для "n³ N(e) и "zÎg=> и подавно ïf(z)-Sn+m(z)ï<e/2=> =>ïSn+m(z)-Sn(z)ï<e для "n³N и "m>0 и "zÎg.

Достаточность. Пусть "e>0 $N(e): ïSn+m(z)-Sn(z)ï<e (*) для "n³N и "m>0 и "zÎg => в "zÎg выполнен критерий Коши для числового ряда, т.е. все числовые ряды сходятся и в g определена f(z)= . Переходя в (*) к пределу при m®¥ получим ïf(z)-Sn(z)ï£e для "n³ N(e) и "zÎg =>ïrn(z)ï<e для "n³ N(e) и "zÎg. n

Достаточный признак равномерной сходимости Вейерштрасса. (Мажорантный признак Вейерштрасса).

Если для "k³ N и "zÎg |uk(z)|≤ak, ak>0 и <¥ (сходится), то =>f(z) в g.

Доказательство. ïrn(z)ï=| |£ |uk(z)|< <e "n³ N и "zÎg. n

п.4. Свойства равномерно сходящихся рядов.

1) Пусть uk(z) ÎС(g) и uk(z)=>f(z), тогда f(z) ÎС(g).

Доказательство |Df|=|f(z+Dz)-f(z)|£|f(z+Dz)-Sn(z+Dz)|+|Sn(z+Dz)-Sn(z)|+|Sn(z)-f(z)|£

£e/3+e/3+e/3=e для |Dz|<d, n³N (первая и третья оценка следуют непосредственно из равномерной сходимости ряда, а вторая оценка следует из непрерывности функций uk(z)). n

2) Пусть uk(z) ÎС(g) и =>f(z). Пусть С кусочно- гладкий контур CÎg конечной длины L: òLdξ=L, тогда òLf(z)dz= òL uk(z)dz.

ДоказательствоLf(z)dz- òL uk(z)dz |=|òL rn(z)dz |£òL | rn(z) | dz<e’L<en

3) Теорема Вейерштрасса. Если uk(z) ÎС¥(g) и =>f(z), для "zÎ`g’Ìg, "`g’Ìg (любой замкнутой подобласти области g) то:

1. f(z)ÎС¥(g).

2. f(p)(z)= , для "zÎg.

3. =>f(p)(z), для "zÎ`g’Ìg, "`g’Ìg.

Доказательство

1. Рассмотрим "`g’Ìg и L- замкнутый контур: LÌ`g’, стягивающийся в точку zÎ`g’. Т.к. uk(z) ÎС¥(g) и =>f(z), для "zÎ`g’ => f(z)ÎC(`g’) (по Свойству 1). По свойству 2 òLf(z)dz= òL uk(z)dz= =(по теореме Коши – интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции) = =0. Тем самым выполнены условия теоремы Морера => f(z)ÎC¥(`g’). => в силу произвольности "`g’ => f(z)ÎC¥(g).

Замечание. Т.к. rn(z)=f(z)- Sn(z) => rn(z)ÎC¥(g).

2. Рассмотрим "`g’Ìg и L- замкнутый контур: LÌ`g’, стягивающийся в точку zÎ`g’. Т.к. f(z)ÎC¥(g), то по интегральной формуле Коши f(p)(z)= = (т.к. uk(x)|xÎL => f(x)|xÎL => )= = .

Замечание. rn(p)(z)=f(p)(z)-Sn(p)(z)= .

3. Рассмотрим "`g’Ìg и L- замкнутый контур, содержащий`g’ внутри, и такой, что для "zÎ`g’ и "xÎL |z-x|>d0. rn(p)(z)= . |rn(x)|<e’, n³N(e’) (т.к. L граница замкнутой подобласти g”Ìg). |rn(p)(z)|£ <e для "zÎ`g’ => uk(p)(z)=>f(p)(z), для "zÎ`g’Ìg, "`g’Ìg.

n

Замечание. Даже если uk(z)=>f(z) "zÎ`g, то все равно мы можем доказать равномерную сходимость ряда из производных лишь в любой замкнутой подобласти `g’ области g. Т.е. =>f(p)(z), лишь для "zÎ`g’Ìg, "`g’Ìg. Из равномерной сходимости ряда =>f(z) z Î`g не следует! равномерная сходимость в этой области ряда составленного из производных.!

Пример. сходится равномерно в круге |z|£1, а ряд из производных не может равномерно сходится в круге |z|£1 , т.к. он расходится при z=1.=> равномерно сходится при |z|<1.

II Теорема Вейерштрасса. Пусть uk(z) ÎС¥(`g) и uk(x)=>f(x), для "xζg. Тогда =>f(z), zÎ`g.

Доказательство Рассмотрим Sn+m(x)-Sn(x). Разность частичных сумм есть конечная сумма аналитических функций, т.е. является аналитической в g и непрерывной в `g. Тогда из равномерной сходимости => ïSn+m(x)-Sn(x)ï<e для "xζg => ïSn+m(z)-Sn(z)ï<e для "zÎ`g – в силу принципа максимума модуля аналитической функции. Значит для данного ряда выполнен Критерий Коши. n

§11. Степенные ряды.

Степенным рядом назовем ряд вида cn(z-z0)n, z0-центр, cn- коэффициенты заданные комплексные числа. При z= z0 ряд сходится. Это может быть как единственная точка сходимости n!zn, а также ряд может сходится на всей комплексной плоскости zn/n!. При исследовании степенного ряда важно установить область его равномерной сходимости. Как будет показано далее, область сходимости степенного ряда определяется видом его коэффициентов cn.

Теорема Абеля. Если степенной ряд cn(z-z0)n сходится в точке z1¹z0, то он сходится и при "z: |z-z0|<|z1-z0|, причем в круге |z-z0|£r<|z1-z0| сходится равномерно.

Доказательство. В силу необходимого условия сходимости ряда $A>0 : для "n |cn(z1-z0)n|<A =>|cn|<A/|z1-z0|n =>| cn(z-z0)n|<A |(z-z0)/(z1-z0)|n. По условию теоремы |(z-z0)/(z1-z0)|=q<1=>| cn(z-z0)n|<A qn=> ряд сходится. При |z-z0|£r<|z1-z0| ряд сходится равномерно по мажорантному признаку Вейерштрасса т.к. | cn(z-z0)n|£A |r/(z1-z0)|n < A qn , q<1 n.

Следствия теоремы Абеля.

1. Если степенной ряд расходится в точке z2¹z0, то он расходится и при "z: |z-z0|>|z2-z0|. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится в "круге радиуса r<|z-z0|, в частности и в точке z2, что противоречит условию.).

2. Круг сходимости. Радиус сходимости. Рассмотрим sup|z1-z0|=R для "z1, где ряд сходится- точную верхнюю грань расстояний от точки z0 до точек z1 в которых сходится ряд cn(z-z0)n. Если R¹¥, то для

"z2: |z2-z0|>R ряд расходится. R=inf|z2-z0|=R для "z2, где ряд расходится. Пусть R>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |z-z0|<R -круг сходимости степенного ряда, число R>0- радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне- расходится, в точках границы |z-z0|=R может как сходится, так и расходится.

3. Формула Коши-Адамара. R=1/L, L= .

Доказательство. Пусть 0<L<¥. Имеем:

1) Т.к. L= , то для "e>0 $N, что для "n³N <L+e.

2) С другой стороны, для того же "e>0 $ ¥ много членов последовательности

{ }: >L-e.

Надо доказать:

a) Для "z1: |z1-z0|<R=1/L (или что то же самое L|z1-z0|<1) ряд сходится.

b) Для "z2: |z2-z0|>R=1/L (L|z2-z0|>1) ряд расходится.

Докажем это.

a) Возьмем произвольную z1: L|z1-z0|<1 и выберем e=(1-L|z1-z0|)/2|z1-z0|, тогда L+e=(1+L|z1-z0|)/2|z1-z0|. Т.к. для "n³N: <L+e=>

=>|z1-z0| <(1+L|z1-z0|)/2=q<1. => |cn(z1-z0)n|<qn- ряд сходится.

b) Выберем e=(L|z2-z0|-1)/|z2-z0| => L-e=1/|z2-z0|. Т.к. для ¥ числа членов

>L-e => |z2-z0| >1=> |cn(z2-z0)n|>1- ряд расходится. n

4. В " круге |z-z0|£r<R степенной ряд сходится равномерно (по Мажорантному признаку Вейерштрасса). Значит, по теореме Вейерштрасса cn(z-z0)n=f(z)ÎC¥(|z-z0|<R).

5. По теореме Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется !!!

6. cn(z-z0)n=f(z)=> c0=f(z0), cnn(z-z0)n-1=f'(z)=> c1=f'(z0)…

cnk!(z-z0)n-k=f(k)(z)=> ck=f(k)(z0)/k!

7. Пример. (z-z0)n : "cn=1 => R=1. Sn=[1-(z-z0)n+1]/[1-(z-z0)]; |z-z0|<1 и Sn=1/[1-(z-z0)]. => (z-z0)n=1/[1-(z-z0)]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Итак cn(z-z0)n=> f(z)ÎC¥(|z-z0|<R). Можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции?

Ответ на этот вопрос дает

Теорема Тейлора. Если f(z)ÎC¥(|z-z0|<R), то $! степенной ряд cn(z-z0)n=> =>f(z) при |z-z0|<R.

Доказательство. Возьмем "z: |z-z0|<R и построим CR' с центром в точке z0 и содержащую точку z внутри: для "xÎCR' : |x-z0|=R', R'<R, |x-z0|>|z-z0|. Т.к. f(z)ÎC¥(|z-z0|<R'), то по формуле Коши

f(z)= .; 1/(x-z)=1/[(x-z0)-(z-z0)]= = ряд сходится равномерно по x на CR'=>

=>f(z)= (z-z0)n= cn(z-z0)n;

cn= =f(n)(z0)/n! (*), что и доказывает $ и единственность разложения. n

Замечания. 1) Разложение функции f(z)= cn(z-z0)n называют разложением функции в ряд Тейлора.

2) По теореме Коши cn= , где C- произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z0. Т.е. контур в формуле (*) можно заменить на любой замкнутый контур C, содержащий внутри себя точку z0 и целиком лежащий в области сходимости ряда.

3) В " круге |z-z0|£r<R степенной ряд сходится равномерно (по Мажорантному признаку Вейерштрасса)

4) Радиус сходимости ряда Тейлора

§12. Единственность определения аналитической функции.

п.1. Понятие правильной точки.

Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.

Точка z0Îg называется правильнойточкой функции f(z), заданной в g, если $ сходящийся к f(z) ряд cn(z-z0)n=f(z) в области gÇ|z-z0| <r(z0), где r(z0)>0 -радиус сходимости степенного ряда.

Все остальные точки zÎg- особые точки функции f(z), заданной в g.

Замечание. Если f(z)ÎC¥(g), то все zÎg- правильныеточки f(z). Если f(z) задана в `g, то граничные точки могут быть как правильными, так и особыми. Очевидно, что все точки границы, лежащие внутри круга сходимости степенного ряда Тейлора, являются правильными точками.

п.2. Нули аналитической функции.

f(z)ÎC¥(g); f(z0)=0, z0Îg - z0 - нуль аналитической функции. f(z)= cn(z-z0)n => c0=0. Если c1=…= cn-1=0, а cn¹0, то z0 - нуль n-того порядка.

Заметим, что в нуле n-того порядка f(z0)=f'(z0)=… f(n-1)(z0)=0, f(n)(z0)¹0 и

f(z)=(z-z0)n f1(z), f1(z0)¹0.

Наши рекомендации