Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

где Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т.е. если выполняется следующие два условия: 1) Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru и Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru .

Возьмем п-ю частичную сумму сходящегося знакочередующегося ряда, для которого выполняется признак Лейбница

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

пусть Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru -й остаток ряда. Его можно записать как разность между суммой ряда S и п-й частичной суммой Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru т.е. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Величина Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru оценивается с помощью неравенства Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Знакопеременный ряд

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

сходится, если сходится ряд

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

В этом случае исходный ряд Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru называется абсолютно сходящимся. Сходящийся ряд Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru называется условно сходящимся, если ряд Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru расходится.

Т.к. 2 > 1, то ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Решение: Применим признак Лейбница. Так как

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

то Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Следовательно, выполнено первое условие признака Лейбница. Так как

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

то выполняется и второе условие. Значит, данный ряд сходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Решение: Составим ряд из абсолютных величин

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Этот ряд бесконечно убывающая геометрическая прогрессия п, следовательно, данный ряд сходится, причем абсолютно.

4. Функциональные ряды.

Ряд Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru члены которого – функции от х, называются функциональным. Совокупность значений х, при которых функции Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru определены и ряд Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru сходится, называют областями сходимости функционального ряда. Каждому значению из области сходимости Х соответствует определенное значение величины Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru .Эту величину называют суммой функционального ряда и обозначают через S(x).

Функциональный ряд вида Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

где Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru - действительные числа, называется степенным.

Основное свойство степенных рядов состоит в том, что если степенной ряд сходится при Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , то он сходится (и притом абсолютно) при всяком значении х, удовлетворяющем неравенству Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru (теорема Абеля).

Одним из следствий теорем Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , или Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru с центром в точке Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого он расходится. На концах интервала сходимости (в точках Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru ) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах, другие - либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся, третьи – расходятся на обоих концах.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда R может быть равен нулю или бесконечности.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов.

1 способ. Если среди коэффициентов ряда Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru нет равных нулю, т.е. ряд содержит все целые положительные степени разности х-а, то

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru (3)

при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует.

2 способ. Если исходный ряд имеет вид

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

(где р- целое положительное число: 2,3,…), то

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru (4)

3 способ. Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность оставшихся в ряде показателей степенной разности Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru любая, то

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru (5)

где Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru - коэффициенты, отличные от нуля.

4. способ. Во всех случаях интервал сходимости ряда можно находить, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Степенные ряды обладают следующим свойством: ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равны соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда. Если

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , то

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

где –R<x-a<R .

Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно произвести над степенным рядом сколько угодно раз.

Пример. Исследовать сходимость ряда

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Решение: Ряд является геометрической прогрессией со знаменателем q= Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru . Он сходится, если Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru и расходится, если Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru . Следовательно, промежуток сходимости ряда определяется двойным неравенством Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru . Там же результат можно получить, используя формулы (4), (5).

Пример. Исследовать сходимость ряда

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Решение: В данном случае имеем Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru при п=2k-1 и Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru при п=2k. Для отыскания радиуса сходимости удобнее всего использовать формулу (5).

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Исследуем ряд на концах интеграла сходимости. Полагая Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , получаем числовой ряд

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Но Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Таким образом, при х-2 Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru . Итак, область сходимости данного ряда Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Пример. Исследовать сходимость ряда

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Решение: Применим признак Коши, полагая

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

получаем Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Таким образом, ряд сходится, если Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , т.е. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Пример. Исследовать сходимость ряда

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Решение: Применяем признак Даламбера, полагая

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

полагаем

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

ряд сходится, если Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , т.е. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

5. Разложение функций в степенные ряды.

Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.

Всякая функция, бесконечно дифференцируемая в интервале Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru т.е. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд Тейлора

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

если в этом интервале выполняется условие

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

где Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru - остаточный член формулы Тейлора (или остаток ряда),

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

При Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru получается степенной ряд Маклорена:

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Если в некотором интервале, содержащем точку Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , при любом п выполняется неравенство Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , где М – положительная постоянная, то Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru и функция f(x) разложима в ряд Тейлора.

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru ;

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru ;

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru ;

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Это последнее разложение имеет место

при Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

при Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

при Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru ;

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru .

Пример. Разложить в ряд по степеням х функцию Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Решение: Найдем значения функции и её производных при х =0.

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru ,

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Так как 0 < ln 2<1, то при фиксированном х имеет место неравенство Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru для любого п. Следовательно, функция может быть представлена в виде суммы ряда Маклорена:

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru ,

поэтому

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Пример. Разложить в ряд по степеням х функцию Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Решение: Продифференцируем функцию п+1 раз:

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru ,

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

В точке х = 0 находим Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , а значение f(n+1) (х) определяем в точке х=с. Получаем f(0)=0, Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru , Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Находим остаточный член:

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Так как Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru при любом х, а Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru величина ограниченная, то Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru . Следовательно, функцию Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru можно представить в виде суммы ряда Маклорена

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru .

Пример. Разложить Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru в ряд по степеням х.

Решение: B разложении

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru .

Заменим х на –х2; получим

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru .

Пример. Разложить lnx в ряд по степеням х -1

Решение: B разложении

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru .

Заменим х на х - 1; получим

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru .

Пример. Разложить в ряд по степеням х -2 функцию 1/х.

Решение: Воспользуемся равенством Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru . Правую часть этого равенства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru и знаменателем Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

Отсюда получаем

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

то есть

Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru

так как Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости. - student2.ru .

Наши рекомендации