Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр

Утверждение 2. Отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на сходимость ряда.

Определение4. Суммой (или разностью) числовых рядов Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru и Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru называется числовой ряд, который обозначается Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru + Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru (или Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru - Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru ), и определяется как: Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru (или Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru ).

Определение 5. Произведением числового ряда Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru на число Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru называется числовой ряд, который обозначается Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru , а определяется как Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru .

Теорема 2. Пусть ряды Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru и Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru являются сходящимися и

Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru , Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru .

Тогда сходящимися будут сумма этих рядов, разность этих рядов и:

Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru = Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru .

Теорема 3. Пусть ряд Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru является сходящимся, а ряд Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru расходящимся, тогда сумма, разность этих рядов будет расходящимся рядом.

Замечание. Сумма, разность двух расходящихся рядов может быть как расходящимся, так и сходящимся рядом.

Пример. Рассмотрим сумму двух рядов Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru и Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru . Оба ряда являются расходящимися, поскольку для них не выполняется необходимое условие сходимости:

Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru , Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru .

Ряд, который является суммой этих двух рядов, имеет вид: Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru . Этот ряд также является расходящимся, так как для него тоже не выполняется необходимое условие сходимости:

Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru .

Пример. Рассмотрим сумму двух рядов Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru и Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru . Оба ряда являются расходящимися, поскольку для них не выполняется необходимое условие сходимости:

Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru , Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru .

Ряд, который является суммой этих двух рядов, имеет вид: Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru . Этот ряд является сходящимся, так как для него последовательность усеченных сумм Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru будет нулевой: Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru для Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru , а потому сходящейся:

Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru .

Таким образом, и ряд Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru является сходящимся, и его сумма равна нулю.

Теорема 4. Пусть ряд Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru является сходящимся (расходящимся), тогда ряд Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru , где Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru будет сходящимся (расходящимся) рядом.

Вопросы

1. Что называется числовым рядом,n-ым членом ряда? Привести примеры числовых рядов.

2. Что называется n-ой усеченной суммой числового ряда?

3. Какой ряд называется сходящимся (расходящимся)? Привести примеры сходящихся (расходящихся) рядов.

4. Можно ли восстановить числовой ряд, если известна лишь последовательность его усеченных сумм? Ответ объяснить.

5. Когда сумма бесконечной геометрической прогрессии является сходящимся (расходящимся) рядом?

6. Критерий Коши сходимости ряда.

7. Необходимое условие сходимости ряда. Привести примеры сходящихся, расходящихся рядов, для которых выполняется необходимое условие сходимости.

8. Что такое остаток ряда Сходимость суммы рядов, произведения ряда на скаляр - student2.ru после n-го члена? Как связаны сходимость ряда и сходимость его последовательности остатков?

9. Как повлияет на сходимость (расходимость) ряда отбрасывание или добавление конечного числа членов? Объяснить.

10. Что называется суммой, разностью числовых рядов? Что называется произведением числового ряда на число?

11. Какой будет сумма (разность) сходящихся рядов?

12. Какой будет сумма (разность) расходящихся рядов?

13. Какой будет сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов?

14. Каким будет произведение на число сходящегося (расходящегося) ряда?

Наши рекомендации