Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку

В практичних дослідженнях про тісноту кореляційної залежності судять по значенню вибіркового коефіцієнта кореляції Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . Оцінка Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru величина випадкова. Нехай Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . В цьому випадку перевіряється гіпотеза Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru про відсутність лінійного кореляційного зв’язку між змінними в генеральній сукупності. Якщо ця гіпотеза справедлива, то статистика Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru має Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru - розподіл Стьюдента з Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru степенями вільності. Гіпотеза Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru відкидається, якщо Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru , де Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru - табличне значення Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru - критерію Стьюдента, що визначається на рівні значущості Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru при кількості степенів вільності Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru .

◄Приклад 6.3 Перевірити на рівні Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru =0,05 значущість коефіцієнта кореляції між змінними Х та Y за даними табл. 6.1.

Розв’язання. В прикладі 6.2 обчислено коефіцієнт кореляції Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . Статистика критерію Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . Для рівня значущості Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru =0,05 і кількості степенів вільності Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru знаходимо критичне значення статистики Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . Оскільки Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru , то коефіцієнт кореляції між добовим виробітком продукції Y і величиною основних виробничих фондів Х значно відмінний від нуля.►

Для значущого коефіцієнта кореляції Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru доцільно знайти довірчий інтервал, який із заданою надійністю Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru накриває невідомий генеральний коефіцієнт кореляції Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . Для побудови такого інтервалу використовують спеціально підібрані функції від Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru , які збігаються до добре відомих розподілів. Найчастіше використовують Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru - перетворення Фішера:

Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru (6.20) Розподіл Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru вже при невеликих n є приблизно нормальним з математичним сподіванням Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru і дисперсією Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru .

Спочатку будується довірчий інтервал для Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru :

Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru , де Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru - нормоване відхилення Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru , що визначається за допомогою функції Лапласа: Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru .

Для визначення границь довірчого інтервалу для Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru існують спеціальні таблиці. За їх відсутності користуються формулою Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru .

Якщо коефіцієнт кореляції значущий, то коефіцієнти регресії Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru і Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru також значно відрізняються від нуля, а інтервальні оцінки для відповідних генеральних коефіцієнтів регресії Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru і Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru можуть бути отримані за формулами, що спираються на те, що статистики Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru , Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru мають t-розподіл Стьюдента з (n-2) степенями вільності:

Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru (6.21)

Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru (6.22)

Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru - перетворення Фішера може бути застосовано при перевірці різних гіпотез відносно коефіцієнта кореляції. Наприклад, для перевірки значущості розбіжностей двох коефіцієнтів кореляції Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru і Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru , отриманих за вибірками об’ємів Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru і Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru для перевірки нульової гіпотези Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru

застосовується статистика Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru (6.23)

Приклад 6.4 За даними таблиці 6.1 знайти з надійністю 0,95 інтервальні оцінки (довірчі інтервали) параметрів зв’язку між добовим виробітком продукції Y і величиною основних виробничих фондів X.

Розв’язання . Оскільки коефіцієнт кореляції X і Yзначущий (див. приклад 6.3), то побудуємо довірчий інтервал для генерального коефіцієнта кореляції ρ, застосовуючи Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru - перетворення Фішера:

Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . За таблицею функцій Лапласа і за умови Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru , знаходимо Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . Побудуємо довірчий інтервал для M(z): Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru , або Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . Знаходимо границі довірчого інтервалу для ρ, використовуючи спеціальну таблицю чи формулу: Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru .

Генеральний коефіцієнт кореляції ρ на рівні значущості 0,05 (з надійністю 0,95) накривається знайденим інтервалом.

Тепер побудуємо довірчі інтервали для генеральних коефіцієнтів регресії Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru і Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . Спочатку визначимо середнє квадратичне відхилення змінних: Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru ; Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru .

Тепер за (6.21): Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru .

Або Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru .

Аналогічно за (6.22): Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru ►.

При змістовній інтерпретації параметрів ρ, Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru слід врахувати в першу чергу їх інтервальні ( а не тільки точкові ) оцінки.

◄Приклад 6.5 При дослідженні зв’язку між продуктивністю праці і рівнем механізації робіт на підприємствах однієї галузі промисловості, що розташовані в двох різних районах держави, обчислені коефіцієнти кореляції Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru і Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru за вибірками об’ємів відповідно Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru і Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . З’ясувати, чи є на рівні значущості Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru суттєві розбіжності в тісноті зв’язку між змінними, що розглядаються на підприємствах галузі в цих районах.

Розв’язання. Гіпотеза, що перевіряється Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . Альтернативна гіпотеза Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . Статистика обчислюється за формулою (6.23):

Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru . Отже, гіпотеза Перевірка значущості та інтервальна оцінка параметрів зв’язку - student2.ru не відкидається, тобто немає підстав вважати розбіжності суттєвими.►

Наши рекомендации