Точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения

Содержание лабораторной работы

1. Построить гистограмму и график эмпирической функции распределения вероятностей.

2. Вычислить числовые характеристики и .

3. Построить графики теоретической функции распределения вероятностей и плотности распределения вероятности в предположении, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону. Сравнить эти графики с гистограммой и эмпирической функцией распределения вероятностей. Сделать вывод.

4. Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, используя критерий Пирсона.

5. Найти доверительный интервал для неизвестных математического ожидания и дисперсии с доверительной вероятностью .

Вариант 00

(свой вариант набирать не обязательно, достаточно его подшить к работе)

Дана выборка размера .

– 8,77	– 7,55	– 9,62	– 8,21	– 7,92	– 8,06	– 8,61	– 9,05	– 8,52	– 7,48
– 5,93	– 8,05	– 8,44	– 5,31	–10,04	– 7,72	– 6,05	– 8,88	– 7,81	– 6,08
– 9,06	– 6,25	– 6,70	– 7,52	– 7,20	– 8,38	– 5,67	– 6,94	– 8,35	– 7,41
– 7,83	– 6,38	– 8,19	– 8,41	– 9,23	–10,85	– 8,27	– 7,26	– 6,85	– 7,63
– 6,45	– 8,01	– 8,85	– 6,51	– 6,73	– 8,55	– 7,05	– 9,05	– 8,05	– 8,71
– 8,28	– 7,95	– 9,98	– 9,34	– 7,61	– 9,12	– 7,18	– 8,43	– 7,67	– 8,28
– 7,05	– 7,66	– 7,09	– 8,01	– 7,72	– 7,39	– 7,91	– 6,44	– 7,17	– 8,47
– 9,48	– 6,87	–10,01	– 8,84	– 7,96	– 9,54	– 8,64	– 6,95	– 7,53	–10,59
– 7,13	– 7,71	– 9,10	– 8,06	– 7,41	– 9,76	– 7,13	– 8,04	– 8,09	–10,52
–10,23	– 7,87	– 8,00	– 7,98	– 8,08	– 7,94	– 8,67	– 8,11	– 7,37	– 8,11

Выполнение работы

Построение гистограммы и графика эмпирической функции распределения

1. Наименьшее значение в выборке , наибольшее значение в выборке . Округлим эти значения до целых в меньшую сторону, а в большую:

, .

Интервалу принадлежат все точки выборки.

2. Разобьем указанный отрезок на 10 равных интервалов. Шаг одного интервала

.

3. Рассчитаем границы интервалов по формуле . Результаты вычислений занесем в табл. 1 во второй столбец. (Открывающая скобка круглая, а закрывающая квадратная, то есть правая граница входит в интервал, а левая – нет!)

4. Определяем середины интервалов по формуле . Результаты заносим в третий столбец табл. 1.

5. По выборке определяем абсолютные частоты (сколько элементов попадает в каждый интервал). Результаты заносим в четвертый столбец табл. 1.

6. Рассчитываем относительные частоты , где бьем выборки. Пятый столбец табл. 1.

7. Эмпирическая функция распределения . Шестой столбец табл. 1.

8. Плотность относительной частоты . Седьмой столбец табл. 1.

По данным табл. 1 на рис. 1 построена гистограмма плотности относительной частоты . Соединяя середины интервалов плавной линией, получаем эмпирическую функцию плотности вероятности . На рис. 2 аналогичным образом приведены графики и эмпирической функции распределения .

Табл. 1

Номер интервала	Границы интервала	Середина интервала	Абсолютная частота	Относительная частота	Эмпирическая функция распределения	Плотность относительной частоты
N
		– 10.7		0.03	0.03	0.05
		– 10.1		0.04	0.07	0.0667
		– 9.5		0.06	0.13	0.1
		– 8.9		0.13	0.26	0.2167
		– 8.3		0.25	0.51	0.4167
		– 7.7		0.22	0.73	0.3667
		– 7.1		0.15	0.88	0.25
		– 6.5		0.07	0.95	0.1167
		– 5.9		0.04	0.99	0.0667
		– 5.3		0.01	1.00	0.0167

Точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения

Точечные оценки искомых числовых характеристик определяются по следующим формулам

, .

Для удобства расчетов последовательно заполним столбцы следующей таблицы.

Табл. 2

N
	– 10.7		– 32.1	114.49	343.47
	– 10.1		– 40.4	102.01	408.04
	– 9.5		– 57.0	90.25	541.5
	– 8.9		– 115.7	79.21	1029.73
	– 8.3		– 207.5	68.89	1722.25
	– 7.7		– 169.4	59.29	1304.38
	– 7.1		– 106.5	50.41	756.15
	– 6.5		– 45.5	42.25	295.75
	– 5.9		– 23.6	34.81	139.24
	– 5.3		– 5.3	28.09	28.09
S			– 803		6568.6

На основании приведенных в таблице данных можно найти

.

.

.