Метод аналитического выравнивания

Применение в анализе рядов динамики методов укрупнения интервалов и скользящей средней позволяет выявить тренд (тенденцию) для его описания, но получить обобщенную статистическую оценку тренда посредством этих методов невозможно. Решение этой более высокого порядка задачи – измерения тренда – достигается методом аналитического выравнивания.

Основным содержанием метода аналитического выравнивания в рядах динамики является то, что основная тенденция развития рассчитывается как функция времени

ŷt = ƒ (ti) (4.4)

Определение теоретических (расчетных) уровней ŷt производится на основе так называемой адекватной математической функции, которая наилучшим образом отображает основную тенденцию ряда динамики. Подбор адекватной функции осуществляется методом наименьших квадратов, сущность которого заключается в минимизации суммы квадратов отклонений между эмпирическими yi и теоретическими ŷt уровнями:

= (yi - ŷt )2 = min (4.5)

Важнейшей проблемой, требующей своего решения при применении метода аналитического выравнивания, является подбор математической функции, по которой рассчитываются теоретические уровни тренда. От правильности решения этой проблемы зависят выводы о закономерностях тренда изучаемых явлений. Если выбранный тип математической функции адекватен основной тенденции развития изучаемого явления во времени, то синтезированная на его основе трендовая модель может иметь полезное применение при изучении сезонных колебаний, прогнозировании и других практических целях.

Одним из условий обоснованного применения метода аналитического выравнивания в анализе рядов динамики является знание типов развития социально-экономических явления во времени, их основных отличительных признаков. В практике статистического изучения тренда различают следующие эталонные типы развития социально-экономических явлений во времени.

1. Равномерное развитие. Для этого типа развития присущи постоянные цепные абсолютные приросты:

(4.6)

Основная тенденция развития в рядах динамики со стабильными абсолютными приростами отображается уравнением прямолинейной функции.

(4.7)

где a₀ и a₁ – параметры уравнения; t – время.

Параметр a₀ является коэффициентом регрессии, определяющим направление развития. Если a1 > 0, то уровни ряда динамики равномерно возрастают, а при a1 < 0 происходит их равномерное снижение.

Если в формуле (4.5) вместо ŷt подставить , то получим:

(4.8)

Это функция двух переменных (все и известны), которая при определенных достигает минимума. Из этого выражения на основе знаний, полученных в курсе высшей математики об экстремуме функций n переменных, получают значения коэффициентов .

(4.9)

(4.10)

где n - число моментов времени, для которых были получены исходные уровни ряда .

Если вместо абсолютного времени выбрать условное время таким образом, чтобы , то записанные выражения для определения упрощаются:

(4.11) и (4.12)

2. Равноускоренное (равнозамедленное) развитие. Этому типу динамики свойственно постоянное во времени увеличение (замедление) развития. Уровни таких рядов динамики изменяются с постоянными цепными темпами прироста:

(4.13)

Основная тенденция развития в рядах динамики со стабильными темпами прироста отображается функцией параболы второго порядка:

(4.14)

В формуле (4.9) параметры a₀ и a₁ идентичны параметрам, используемым в формуле (4.7). Параметр a₂ характеризует постоянное изменение интенсивности развития (в единицу времени).

Если a₂ > 0, то происходит ускоренное развитие, а при a₂ < 0 идет процесс замедления роста.

3. Развитие с переменным ускорением (замедлением). Для этого типа динамики основная тенденция развития отображается функцией параболы третьего порядка:

(4.15)

В формуле (4.10) параметр a₃ отображает изменение ускорения. Если a₃ > 0, то ускорение возрастает, при a₃ < 0 ускорение замедляется.

4. Развитие по экспоненте.Этот тип динамики характеризует стабильные цепные темпы роста:

(4.16)

Основная тенденция развития в рядах динамики с постоянными темпами роста отображается показательной функцией:

(4.17)

где a₁ - темп роста (снижения) изучаемого явления в единицу времени, т.е. интенсивность развития.

5. Развитие с замедлением роста в конце периода. У этого типа динамики показание цепного абсолютного прироста сокращается в конечных уровнях ряда динамики:

(4.18)

Основная тенденция развития в таких рядах динамики отображается полулогарифмической функцией:

(4.19)

При аналитическом выравнивании в рядах динамики можно применять и другие математические функции. Так, при изучении основной тенденции развития неудовлетворенного и реализованного спроса населения применяются

Степенная функция: (4.20)

Функция гиперболы: (4.21)

Задание №5. Анализ основной тенденции развития ряда динамики методом аналитического выравнивания.

Условие задачи. По данным о численности населения г. Минска (см. рис. 7.8) произвести анализ основной тенденции развития города.

Ход выполнения:

В книгу Ряды динамики.xls добавьте новый лист и переименуйте его в лист

Задание 5.

Создайте таблицу согласно рис.7.8.

Рассчитайте темпы роста населения г. Минска и абсолютный прирост за временной период 1991-2001 г.г. цепным методом

Рассчитайте средний уровень ряда динамики, средний темп роста и средний абсолютный прирост в ячейках B14, C14, D14 соответственно.

Рис.7.8. Данные о численности населения

Для аналитического выравнивания в данном случае будем применять функцию , что соответствует равномерному развитию.

Для нахождения коэффициентов a₀ и a₁, а также теоретических уровней тренда , постройте матрицу расчетных показателей согласно рис. 7.9 (добавьте в книгу новый лист и присвойте ему имя Трендовая модель).

Рис.7.9. Матрица расчетных показателей

Поскольку формулы (4.11 и 4.12) для расчета коэффициентов a₀ и a₁ получены при , то поступают следующим образом: уровень, стоящий в середине ряда (1996 г.) принимается за условное начало отсчета, тогда даты, стоящие выше этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком «минус», а ниже – со знаком «плюс».

Рассчитайте моменты времени в столбце D и произведение уровней ряда динамики y_i на моменты времени t_i в столбце Е.

В строке Итого рассчитайте , , , .

В ячейках А21 и B21 рассчитайте коэффициенты уравнения a₁ и a₀ по формулам 4.12 и 4.11.

Проверьте правильность расчетов с помощью функции ЛИНЕЙН в ячейках А23 и B23 .

Сравните полученные результаты с рис. 7.10.

Рис.7.10. Коэффициенты уравнения

Запишите полученное уравнение прямолинейной функции в ячейке А25.

Параметр a₁ показывает, что численность населения г. Минска в 1991-2001 г.г. возросла в среднем на 4510 человек год.

На основе полученной модели найдите теоретические уровни ряда динамики . Для этого в ячейке F3 запишите формулу для расчета .

Рассчитайте остальные теоретические уровни ряда динамики в столбце F.

Рассчитайте сумму теоретических уровней ряда динамики в ячейке F14, сравните полученный результат с суммой эмпирических уровней .

Постройте в одних координатных осях графики эмпирических уровней и теоретических уровней ряда динамики.

Добавьте линию тренда для графика эмпирических уровней , установите флажок «Показать уравнение на диаграмме».

Проанализируйте полученные результаты и сделайте выводы.