Анализ надежности систем при множественных отказах

Рассмотрим метод анализа надежности нагруженных элементов в случае статистически независимых и зависимых (множественных) отказов. Следует заметить, что этот метод может быть применен и в случае других моделей и распределений вероятностей. При разработке этого метода предполагается, что для каждого элемента системы существует некоторая вероятность появления множественных отказов.

Как известно, множественные отказы действительно существуют, и для их учета в соответствующие формулы вводится параметр α. Этот параметр может быть определен на основе опыта эксплуатации резервированных систем или оборудования и представляет собой долю отказов, вызываемых общей причиной. Другими словами, параметр α можно рассматривать как точечную оценку вероятности того, что отказ некоторого элемента относится к числу множественных отказов. При этом можно считать, что интенсивность отказов элемента имеет две взаимоисключающие составляющие, т. е. λ=λ12, где λ1 - постоянная интенсивность статистически независимых отказов элемента, λ2 - интенсивность множественных отказов резервированной системы или элемента. Поскольку α=λ2/λ, то λ2=α/λ, и следовательно, λ1 =(1-α)λ.

Приведем формулы и зависимости для вероятности безотказной работы, интенсивности отказов и средней наработки на отказ в случае систем с параллельным и последовательным соединением элементов, а также систем с k исправными элементами из п и систем, элементы которых соединены по мостиковой схеме.

Система с параллельным соединением элементов (рис. 4.5.13) - обычная параллельная схема, к которой последовательно подсоединен один элемент. Параллельная часть (I) схемы отображает независимые отказы в любой системе из n элементов, а последовательно соединенный элемент (II) - все множественные отказы системы.

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru

Рис. 4.5.13. Модифицированная система с параллельным соединением одинаковых элементов

Гипотетический элемент, характеризуемый определенной вероятностью появления множественного отказа, последовательно соединен с элементами, которые характеризуются независимыми отказами. Отказ гипотетического последовательно соединенного элемента (т.е. множественный отказ) приводит к отказу всей системы. Предполагается, что все множественные отказы полностью взаимосвязаны. Вероятность безотказной работы такой системы определяется как Rр={1-(1-R1)n}R2, где n - число одинаковых элементов; R1 - вероятность безотказной работы элементов, обусловленная независимыми отказами; R2 - вероятность безотказной работы системы, обусловленная множественными отказами.

При постоянных интенсивностях отказов λ1 и λ2 выражение для вероятности безотказной работы принимает вид

Rр(t)={1-(1-e-(1-α) λt)n}e-α λt, (4.5.28)

где t - время.

Влияние множественных отказов на надежность системы с параллельным соединением элементов наглядно демонстрируется с помощью рис. 4.5.14 – 4.5.16; при увеличении значения параметра α вероятность безотказной работы такой системы уменьшается.

Параметр α принимает значения от 0 до 1. При α=0 модифицированная параллельная схема ведет себя как обычная параллельная схема, а при α=1 она действует как один элемент, т. е. все отказы системы являются множественными.

Поскольку интенсивность отказов и среднее время наработки на отказ любой системы можно определить с помощью (4.3.7) и формул

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru ,

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru ,

с учетом выражения для Rр(t) получаем, что интенсивность отказов (рис. 4.5.17) и средняя наработка на отказ модифицированной системы соответственно равны

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru , (4.5.29)

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru , где Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru . (4.5.30)

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru

Рис. 4.5.14. Зависимость вероятности безотказной работы системы с параллельным соединением двух элементов от параметра α

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru

Рис. 4.5.15. Зависимость вероятности безотказной работы системы с параллельным соединением трех элементов от параметра α

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru

Рис. 4.5.16. Зависимость вероятности безотказной работы системы с параллельным соединением четырех элементов от параметра α

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru

Рис. 4.5.17. Зависимость интенсивности отказов системы с параллельным соединением четырех элементов от параметра α

Пример 4.5.12. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из двух одинаковых параллельно соединенных элементов, если λ=0,001 ч-1; α=0,071; t=200 ч.

Вероятность безотказной работы системы, состоящей из двух одинаковых параллельно соединенных элементов, для которой характерны множественные отказы, равна 0,95769. Вероятность безотказной работы системы, состоящей из двух параллельно соединенных элементов и характеризуемой только независимыми отказами, равна 0,96714.

Система с k исправными элементами из п одинаковых элементов включает в себя гипотетический элемент, соответствующий множественным отказам и соединенный последовательно с обычной системой типа k из n, для которой характерны независимые отказы. Отказ, отображаемый этим гипотетическим элементом, вызывает отказ всей системы. Вероятность безотказной работы модифицированной системы с k исправными элементами из n можно вычислить по формуле

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru , (4.5.31)

где R1 - вероятность безотказной работы элемента, для которого характерны независимые отказы; R2 - вероятность безотказной работы системы с k исправными элементами из n, для которой характерны множественные отказы.

При постоянных интенсивностях λ1 и λ2 полученное выражение принимает вид

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru . (4.5.32)

Зависимость вероятности безотказной работы от параметра α для систем с двумя исправными элементами из трех и двумя и тремя исправными элементами из четырех показаны на рис. 4.5.18 - 4.5.20. При увеличении параметра α вероятность безотказной работы системы уменьшается на небольшую величину (λt).

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru

Рис. 4.5.18. Вероятность безотказной работы системы, сохраняющей работоспособность при отказе двух из n элементов

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru

Рис. 4.5.19. Вероятность безотказной работы системы, сохраняющей работоспособность при отказе двух из четырех элементов

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru

Рис. 4.5.20. Вероятность безотказной работы системы, сохраняющей работоспособность при отказе трех из четырех элементов

Интенсивность отказов системы с k исправными элементами из n и средняя наработка на отказ могут быть определены следующим образом:

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru , (4.5.33)

где η= {1-e-(1-β)λt},

θ= e(-r-σ)λt

и

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru . (4.5.34)

Пример 4.5.13. Требуется определить вероятность безотказной работы системы с двумя исправными элементами из трех, если λ=0,0005 ч-1; α=0,3; t=200 ч.

С помощью выражения для Rkn находим, что вероятность безотказной работы системы, в которой происходили множественные отказы, составляет 0,95772. Отметим, что для системы с независимыми отказами эта вероятность равна 0,97455.

Система с параллельно-последовательным соединением элементов соответствует системе, состоящей из одинаковых элементов, для которых характерны независимые отказы, и ряда ветвей, содержащих воображаемые элементы, для которых характерны множественные отказы. Вероятность безотказной работы модифицированной системы с параллельно-последовательным (смешанным) соединением элементов можно определить с помощью формулы Rps={1-(1- Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru )n}R2, где m - число одинаковых элементов в ответвлении, n - число одинаковых ответвлений.

При постоянных интенсивностях отказов λ1 и λ2 это выражение принимает вид

Rрs (t) = [1-(1-e-n(1-σ)λt)m}e-σλt. (4.5.35)

Интенсивность отказов системы с параллельно-последовательным соединением элементов и средняя наработка на отказ могут быть определены следующим образом:

λps(t)=αλ+mn(1-α)λ Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru , (4.5.36)

где λ=1/[1-e-n(1-γ)λt] и

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru . (4.5.37)

Система, элементы которой соединены по мостиковой схеме,соответствует схеме, состоящей из одинаковых элементов, для которых характерны независимые отказы, и последовательно подсоединенного к ним воображаемого элемента, для которого характерны множественные отказы. При множественном отказе гипотетического элемента вся система выходит из строя. Вероятность безотказной работы модифицированной системы с элементами, соединенными по мостиковой схеме, можно вычислить по формуле

Rb={1-2(1-R1)5+5(1-R1)4-2(1-R1)3-2(1-R1)2}R2 (4.5.38)

(здесь Rb - вероятность безотказной работы мостиковой схемы, для которой характерны множественные отказы). Эта формула при постоянных интенсивностях λ1 и λ2 принимает вид

Rb(t)=[1-2(1-e-At)5+5(1- e-At)4-2(1- e-At)3-2(1- e-At)2] e-βλt. (4.5.39)

(здесь А=(1-α)λ). Зависимость безотказной работы системы Rb(t) для различных параметров α показана на рис. 4.5.21. При малых значениях λt вероятность безотказной работы системы с элементами, соединенными по мостиковой схеме, убывает с увеличением параметра α.

Анализ надежности систем при множественных отказах - student2.ru

Рис. 4.5.21. Зависимость вероятности безотказной работы системы, элементы которой соединены по мостиковой схеме, от параметра α

Интенсивность отказов рассматриваемой системы и средняя наработка на отказ могут быть определены следующим образом:

λkn(t)=βλ+A(-8π5+25π4-24<span lang="EN-US" style="

Наши рекомендации