Графическое решение матричной игры 2х2.

Поставленную выше задачу можно решить и графически на плоскости p0ν, где оптимальные значения (p*, ν) являются координатами точки пересечения двух прямых.

Алгоритм графического решения игры (2х2):

1) на оси абсцисс Op откладываем отрезок единичной длины;

2) на оси ординат (р=0) откладываем выигрыши при стратегии А1, а на вертикальной линии (р=1) выигрыши при стратегии А2;

3) строим стратегии B1, B2, проходящие через точки:

(0,a11) и (1,а21), а также (0,a12) и (1,а22);

4) находим точку N пересечения прямых, которая и будет решением матричной игры. Ордината точки N цена игры – ν, а абсцисса – p*2

Графическое решение матричной игры в постановке приведенной выше задачипредставлено на рис.1

H
p
p1=0,375
p2=0,625
A2
A1
a11=0,3
a12=0,8
a21=0,7==
a22=0,4
v=0,55
N
B2
B1
B`1
B`2

Рис.1

Матричные игры 2xn.

Рассмотрим матричную игру размерности (2´n) с платежной матрицей

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru

Положим, что решение этой матричной игры в чистых стратегиях отсутствует, седловой точки – нет. Пусть смешанные стратегии игроков заданы

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru , Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru

Тогда, следуя теореме, решение игры находится из первого уравнения (1.4):

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru

где j=1,…,n.

Для определения максимума по p функции

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru ,

построим ее график состоящий из n прямых вида

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru ,

на плоскости p0ν по следующему алгоритму:

1) на оси абсцисс Op откладываем отрезок единичной длины;

2) на оси ординат (р=0) откладываем выигрыши при стратегии А1 (a1j), а на вертикальной линии (р=1) выигрыши при стратегии А2 (a2j) ;

3) строим линии стратегий B1, B2,…, Bn проходящие через точки:

(0,a1j) и (1,а2j), при j=1,…,n ;

4) затем строим полигональную линию огибающую пучок этих линий снизу;

5) наогибающей находим вершину с максимальной ординатой;

6) абсцисса этой вершины есть вероятность p2* выбора оптимальной смешанной стратегии А2 , тогда для стратегии А1 имеем p1*=1- p2*, а

ордината этой вершины определяет цену игры-ν*.

Задача

Дана конечная матричная игра с платежной матрицей вида:

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru .

Определить оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Решение.

1) Упростим платежную матрицу, проведя процедуру доминирования – стратегия B4 доминирует B3, следовательно, B3 выводится из матрицы.

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru

2) Решение в чистых стратегия

  B1 B2 B4 B5 B6 αi
Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru
Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru
βj  

Имеем, Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru , Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru . Так как α< β, седловой точки нет иигра не имеет решения в чистых стратегиях

3) Решение в смешанных стратегиях.

Смешанные стратегии игроков

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru , Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru

Строим график в системе координат pOν в соответствии с описанным выше алгоритмом.

ν
p
p1*
p2*
1 A2
A10
a21=1
V*
D
А
С
B
E
a22=2
a24=3
a26=6
a25=12
a11=10
a15=2
a16=3
a14=4
a12=8

Решение для игрока А.

Полигональная линия ABCDE – нижняя огибающая, соответствующая нижней границе цены игры, т. е. наихудшим ситуациям для игрока А. Максимальное значение достигается в точкеС, которая образуется пересечением линий, соответствующих стратегиям Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru и Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru игрока В. Абсцисса точки С соответствует вероятности p20 применения игроком А чистой стратегии A2, аp1*=1-p2*– вероятности применения игроком А чистой стратегии A2. Ордината точки С – цена игры ν*. Оптимальное решение для игрока А, следующее:

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru , ν* = 15/4.

Оптимальное решение можно получить аналитически из решения системы двух линейных уравнений воспользовавшись формулами (1.5) заменяя в них элементы матрицы, соответственно: a11,a12,a21,a22 на a14,a16,a24,a26

Решение для игрока B.

ТочкаС является пересечением пары чистых стратегий Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru и Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru Следовательно, вероятности использования других стратегий равны нулю: q1= q2= q5 = 0. На графике q4* и q6* равны долям, на которые проекция точкиС на ось ординат Oν делит отрезок (a16 a14). Оптимальное решение для игрока В, следующее:

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru , ν* = 15/4.

Оптимальное решение можно получить аналитически из решения системы двух линейных уравнений воспользовавшись формулами (1.6) заменяя в них элементы матрицы, соответственно: a11,a12,a21,a22 на a14,a16,a24,a26

Матричные игры mx2.

Рассмотрим матричную игру размерности (m´2) с платежной матрицей

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru

Положим, что эта матричная игра в чистых стратегиях решения не имеет, седловой точки – нет. Пусть смешанные стратегии игроков заданы

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru , Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru

Тогда, следуя теореме, решение игры находится из второго уравнения (1.4):

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru

где i=1,…,m.

Для определения минимума по q функции

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru

построим ее график состоящий из m прямых вида

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru ,

на плоскости q0ν по следующему алгоритму:

1) на оси абсцисс Oq откладываем отрезок единичной длины;

2) на оси ординат (q=0) откладываем проигрыши при стратегии В1 (ai1), а на вертикальной линии (q=1) проигрыши при стратегии B2 (ai2) ;

3) строим линии стратегий A1, A2,…, Am проходящие через точки:

(0,ai1) и (1,аi2), при i=1,…,m;

4) затем строим полигональную линию огибающую пучок этих линий сверху;

5) наогибающей находим вершину с минимальной ординатой;

6) абсцисса этой вершины есть вероятность q2* выбора оптимальной смешанной стратегии B2 , тогда для стратегии B1 имеем q1*=1- q2*, а

ордината этой вершины определяет цену игрыν*.

Задача

Дана конечная матричная игра с платежной матрицей вида:

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru .

Определить оптимальные стратегии игроков и цену игры.

Решение.

1) Решение в чистых стратегиях

  B1 B2 αi
A1
A2
A3
βj  

Имеем, Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru , Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru . Так как α< β, игра не имеет решения в чистых стратегиях, т.к. седловой точки нет.

2) Решение в смешанных стратегиях.

Смешанные стратегии игроков

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru , Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru

Строим график в системе координат qOν в соответствии с описанным выше алгоритмом.

ν
q
q1*
q2*
V0
M
С
N
1 B2
B10
a12=2
a32=3
a22=4
a21=2
a31=6
a11=4

Решение для игрока В.

Полигональная линия МNC– верхняя огибающая, соответствующая верхней границе цены игры, т. е. наилучшим ситуациям для игрока В. Минимальное значение достигается в точке N, которая образуется пересечением линий, соответствующих стратегиям А3 и А2игрока А. Абсцисса точки N соответствует вероятности q2* применения игроком B чистой стратегии B2, аq1*=1-q2*– вероятности применения игроком B чистой стратегии B2. Ордината точки С – цена игры ν*. Оптимальное решение для игрока А, следующее:

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru , ν* = 18/5.

Оптимальное решение можно получить аналитически из решения системы двух линейных уравнений воспользовавшись формулами (1.6) заменяя в них элементы матрицы, соответственно: a11,a12,a21,a22 на a21,a22,a31,a32

Решение для игрока А.

Точка N является пересечением пары чистых стратегий A2 и A3. Следовательно, вероятности использования других стратегий равны нулю: p1= 0. На графике p2* и p3* равны долям, на которые проекция точки N на ось ординат Oν делит отрезок ( a31 a21). Можно найти точные значения p2* и p3* из решения системы двух линейных уравнений соответствующих стратегиям A2 и A3.

Оптимальное решение для игрока A, следующее:

Графическое решение матричной игры 2х2. - student2.ru , ν* = 15/4.

Оптимальное решение можно получить аналитически из решения системы двух линейных уравнений воспользовавшись формулами (1.5) заменяя в них элементы матрицы, соответственно: a11,a12,a21,a22 на a21,a22,a31,a32.

Наши рекомендации