Пример решения задачи на тему «растяжение и сжатие»
ВВЕДЕНИЕ
В сопротивлении материалов рассматривают типичные элементы конструкций: брус, пластинка, оболочка. Внешние нагрузки, действующие на элементы сооружений, подразделяют на сосредоточенные и распределенные, статические и динамические. Все реальные силы - это силы, распределенные по некоторой площади или объему. Однако распределенную нагрузку на небольшой площади, размеры которой очень малы по сравнению с размерами всего элемента, можно заменить сосредоточенной равнодействующей, силой, что упростит расчет. Распределенные нагрузки имеют единицы силы, отнесенной к единице длины, или к единице поверхности или объема.
При воздействии статических нагрузок на конструкцию все ее части находятся в равновесии; ускорения элементов конструкции отсутствуют или настолько малы, что ими можно пренебречь. Если же эти ускорения значительны, т. е. изменение скорости элементов машины происходит за сравнительно небольшой период времени, то мы имеем дело с приложением динамических нагрузок. Примерами таких нагрузок могут служить внезапно приложенные нагрузки, ударные и повторно-переменные. Действие таких нагрузок сопровождается возникновением колебаний конструкций или сооружений. Вследствие изменения скорости колеблющихся масс возникают силы инерции, пропорциональные (согласно второму закону Ньютона) колеблющимся массам и ускорениям.
Методы расчета элементов конструкций излагаются на основе следующих упрощений и допущений: материал тела имеет сплошное (непрерывное) строение, т. е. не принимается во внимание дискретная атомистическая структура вещества; материал тела однороден, т. е. обладает во всех точках одинаковыми свойствами; материал тела изотропен, т. е. обладает во всех направлениях одинаковыми свойствами; в теле до приложения нагрузки нет внутренних (начальных) усилий; результат воздействия на тело системы сил равен сумме результатов воздействия тех же сил, прилагаемых к телу последовательно и в любом порядке.
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
В природе различают упругое, упругопластичное и вязкопластичное твердые тела. Упругое тело после снятия внешней нагрузки восстанавливает свои первоначальные размеры и форму. В этом случае деформация тела называется упругой. Упругопластичное тело восстанавливает свои первоначальные размеры и форму неполностью, т. е. имеет место остаточная деформация. В инженерных сооружениях и механических машинах не допустимо появление остаточных деформаций.
От действия внешних нагрузок в поперечных сечениях возникают внутренние силовые факторы, которые определяют, используя метод сечений. Твердое тело, находящееся под действием внешних нагрузок мысленно рассекают на две части и рассматривают равновесие одной из частей. Действие отброшенной части на оставшуюся заменяют внутренними нагрузками, приложенными в рассматриваемом сечении. Составляя уравнения равновесия оставшейся части от действия внешних и внутренних силовых факторов, находят последние.
Важнейшими понятиями являются напряжения и деформации.
При нагружении тела растягивающими или сжимающими силами определяются напряжения, деформации и удлинения. Внутренняя сила взаимодействия, отнесенная к единице площади, выделенной в окрестности какой-либо точки поперечного сечения тела, называется напряжением в этой точке. Таким образом величина напряжений в каждой точке сечения является мерой внутренних сил, которые возникают в материале в результате воздействия внешних нагрузок. Нормальные напряжения σ при растяжении-сжатии в поперечных сечениях тела определяются из соотношения σ = N/S, где N - действующее в сечении внутренняя продольная (нормальная) сила; S - площадь поперечного сечения. Напряжения и деформации в пределах упругой деформации связаны между собой законом Гука, т. е. σ =εЕ , где Е - модуль упругости материала (модуль Юнга), ε – относительная продольная деформация.
Расчетные значения напряжений сравнивают с допускаемыми [σ], которые определяют путем деления некоторых предельных значений на коэффициент запаса прочности s ([σ]=σпр/s). За предельные значения напряжений принимают предел прочности (для хрупких материалов) или предел текучести (для пластичных материалов), которые получают при испытаниях стандартных образцов на разрывных машинах. При этом строят в координатах напряжение-деформация условную диаграмму растяжения. Условной диаграмму называют потому, что напряжения и деформации вычисляют соответственно по отношению к первоначальной площади сечений и длине образца. Используя условную диаграмму растяжения, необходимо уметь определять механические характеристики материала: предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести и предел прочности и относительное остаточное удлинение при разрыве.
Иногда для изучения значительных пластических деформаций необходимо знать истинную диаграмму растяжения, получаемую путем деления растягивающей силы на истинную площадь поперечного сечения образца (с учетом уменьшения поперечных размеров сечения при растяжении).
Необходимо обратить внимание, что закон Гука, связывающий напряжения и деформации через модуль упругости материала, справедлив только до предела пропорциональности. Продольные деформации при растяжении связаны с поперечными деформациями с помощью коэффициента Пуассона.
При определении напряжений и деформаций в статически неопределимых системах необходимо учитывать, что возникающие при этом в стержнях силы зависят от жесткости стержня, т.е. от площадей поперечных сечений и модулей упругости материала.
ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ НА ТЕМУ «РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ»
Построить по длине бруса, согласно схеме нагружения (рис. 1.1), эпюры продольных сил N, нормальных напряжений 
и перемещений поперечных сечений. Сделать вывод о прочности бруса, сравнив значения нормальных напряжений в опасном сечении с допустимым, если материал бруса — сталь 3 ( 
МПа, 
МПа).
Рисунок 1.1
Дано: F1 =10 кН; F2 =12 кН; F3 =30 кН; S1 = 200 мм2; S2 = 300 мм2;
а = 0,3 м, b = 0,4 м.
Решение:
Имеем четыре участка нагружения (АВ, ВС, СD, DK), в пределах которых напряжения будут иметь постоянные значения.
Участок 1 (АВ). Рассечём, мысленно, стержень в местах, где необходимо определить значения внутренних усилий и внутренних напряжений. Одну из частей (левую) отбросим (рис. 1.2), а для оставшейся составим уравнение равновесия 
, заменив при этом действие отброшенной части на оставшуюся неизвестной внутренней силой N1.
,
Рисунок 1.2
Тогда, 
кН.
Значение напряжений на участке: 
МПа.
Абсолютная деформация участка (относительные перемещения концов участка): 
мм.
Участок 2 (ВС).
,
кН.
МПа.
мм.
Участок 3 (DС).
,
кН.
МПа.
мм.
Участок 4 (KD).
,
кН.
МПа.
мм.
Для построения эпюры перемещений поперечных сечений, определим расстояния, на которые переместятся концы участков нагружения относительно жестко заделанного левого конца стержня (точки К).
Перемещение точки D относительно точки К:
dDK=DlKD=0,07 мм.
Тогда, перемещение точки С относительно точки К составит:
dСK=dDK +DlKD=0,07+0,18=0,25 мм.
Аналогично определим перемещения остальных концов участков:
dВK=dСK +DlВС=0,25+0,22= 0,47 мм,
dАK=dВK +DlАВ=0,47+0,45= 0,92 мм.
Построив и проанализировав эпюры продольных сил N, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений (рис. 1.3), делаем вывод, что опасным участком вала является участок ВС с σmax= 150 МПа.
Т.к. σmax < [σ], то условие прочности выполняется.
Определим степень загруженности стержня:
.
Стержень нагружен на 62,5 %.
Рисунок 1.3