На данной сети дорог указаны стоимости доставки единицы груза из пункта в пункт. Найти наиболее экономичный маршрут перевозки груза из пункта 1 в пункт 13

№39

6

1 4

2 4

6 5 2

9 5

8 7 3

3 6

2 8 3 9

9 8

6 4

Ответ: 1-3-4-8-11-13; 15.

№4

Производственное объединение выделяет четырем входящим в него предприятиям кредит в сумме 100 млн.ден.ед. для расширения производства и увеличения выпуска продукции. По каждому предприятию известен возможный прирост выпуска продукции (в денежном выражении) в зависимости от выделенной суммы . Для упрощения вычислений выделяемые суммы кратны 20 млн ден.ед. (таблица). При этом предполагаем, что прирост выпуска продукции на i- м предприятии не зависит от суммы средств, вложенных в другие предприятия, а общий прирост выпуска в производственном объединении равен сумме приростов, полученных на каждом предприятии объединения.

Выделяемые средства , млн.ден.ед	Предприятие
№1	№2	№3	№4
Прирост выпуска продукции на предприятиях , млн. ден.ед.

Ответ: 85 (0; 20; 40; 40).

№5

Производственному объединению из трех предприятий выделяется банковский кредит в сумме 60 млн.ден.ед. для увеличения выпуска продукции. Значения дополнительного дохода, получаемого на предприятиях объединения в зависимости от выделенной суммы , приведены в таблице. Распределить выделенный кредит между предприятиями так, чтобы дополнительный доход объединения был максимальным.

Выделяемые средства , млн.ден.ед	Предприятие
№1	№2	№3
Прирост выпуска продукции на предприятиях , млн. ден.ед.

Ответ: 47 (0,40,20).

№6

Производственному объединению из четырех предприятий выделяется банковский кредит в сумме 60 млн.ден.ед. для увеличения выпуска продукции. Значения дополнительного дохода, получаемого на предприятиях объединения в зависимости от выделенной суммы , приведены в таблице. Распределить выделенный кредит между предприятиями так, чтобы дополнительный доход объединения был максимальным.

Выделяемые средства , млн.ден.ед	Предприятие
№1	№2	№3	№4
Прирост выпуска продукции на предприятиях , млн. ден.ед.

Ответ: 45 (0,0,40,20).

Практическое занятие № 16

Тема «Марковские процессы»

№1Рассмотрим состояние банка, характеризующееся одной из процентных ставок: 2%, 3%, 4%, которые устанавливаются в начале каждого квартала и фиксированы на всем его протяжении. Таким образом, если за систему S принять рассматриваемый банк, то она в каждый момент времени может находится только в одном из следующих трех состояний: - процентная ставка 2%, - процентная ставка 3%, - процентная ставка 4%. Анализ работы банка в предшествующие годы показал, что изменение переходных вероятностей с течением времени пренебрежимо мало.

Определить вероятности указанных состояний банка в конце года, если в конце предыдущего года процентная ставка банка составляла 3%, а размеченный граф состояний банка представлен на рисунке.

S3

S2

S1

0,4 0,3

0,2 0,3

0,2

0,1

№2 Предположим, что в условиях примера №1 переходные вероятности зависят от моментов установления процентных ставок. Матрицы переходных вероятностей задаются следующим образом:

. Построить размеченные графы состояний, соответствующие моментам времени - начало i-го квартала, i=1,2,3,4 и найти вероятности состояний банка в конце года, если в конце предшествующего года процентная ставка была 4%.

№3Инвестиционный фонд размещает средства предприятий в наиболее ликвидные на рынке активы по одной из следующих годовых процентных ставок: 25%, 30%, 35%, которые устанавливаются фондом в начале каждого из рассматриваемых трех месяцев и остаются неизменными на всем его протяжении. Матрицы переходных вероятностей задаются следующим образом: . Построить размеченные графы состояний инвестиционного фонда, соответствующие рассматриваемым месяцам. Определить вероятности данных процентных ставок на третьем месяце, если в месяце, предшествующем первому из рассматриваемых месяцев, инвестиционный фонд мог разместить средства предприятий под 30% годовых.

№4Рассмотрим состояние банка , , , характеризующееся соответственно процентными ставками 3%, 5%, 7%, 10%, которые устанавливаются в начале каждого месяца и фиксированы на всем его протяжении. Наблюдение за работой банка в предшествующий период показало, что переходные вероятности состояний в течение квартала остаются неизменными.

Определить вероятности состояний банка в конце квартала, если в конце предшествующего квартала процентная ставка составляла 55, а размеченный граф состояний банка имеет следующий вид:

0,6

0,2 0,1

S3

S2

0,3

0,4

S4

0,3

0,3 0,4

№5Допустим, что в условиях задачи №4 переходные вероятности зависят от моментов установления процентных ставок. Матрицы переходных вероятностей задаются следующим образом:

, , .

Постройте размеченные графы состояний, соответствующие началам каждого месяца в квартале, и найдите вероятности состояний банка в конце квартала, если в конце предшествующего квартала процентная ставка составляла 3%.

Практическое занятие №17

В приведенных ниже примерах СМО выделите их основные элементы: входящий поток заявок, каналы обслуживания, выходящий поток заявок.

№1. На таможенном посту работают три инспектора, занимающиеся досмотром транспорта, пересекающего границу. Машины, подъезжающие к посту, становятся в очередь и ожидают досмотра.

№2. В одном из отделений сбербанка работают два кассира, принимающие коммунальные платежи. Каждый кассир одновременно может обслужить только одного клиента. Если клиент заходит в отделение, когда кассиры заняты обслуживанием, он может не ожидать обслуживания и зайти в другое отделение.

№3. На одну телефонную линию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью λ=0,9 вызовов в минуту. Производительность телефонной линии μ=0,7 вызовов в минуту (поток обслуживаний - простейший). Вызов, поступивший в момент занятости телефонной линии, получает отказ. Определить предельные значения относительной пропускной способности Q, абсолютной пропускной способности А и вероятности отказа , среднее время обслуживания одного вызова, вероятность того, что канал свободен, вероятность того, что канал занят.

№4Телефонная АТС имеет одну линию, на которую в среднем приходит 0,8 вызова в минуту. Средне время разговора 1,5 мин. Вызов, пришедший во время разговора, не обслуживается. Считая потоки вызовов пуассоновскими, найти абсолютную и относительную пропускную способности станции и вероятность отказа абоненту.

№5 На вокзале, в мастерской бытового обслуживания работают 3 мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 час, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин. Определить основные характеристики эффективности функционирования данной мастерской в предельном режиме:

1) вероятность того, что клиент получит отказ;

2) вероятность того, что клиент будет обслужен;

3) среднее число клиентов, обслуживаемых мастерской в течение 1 часа;

4) среднее число занятых мастеров.

№6В отделении банка на обслуживании клиентов работают 3 оператора. Среднее время обслуживания одного клиента оператором 12 минут. В среднем за час в банк обращается 15 клиентов. Если все операторы заняты, клиенты не обслуживаются банком. Найти основные средние характеристики работы банка, а также вероятность того, что не менее двух каналов простаивают.

№7Один наладчик обслуживает 6 автоматов. Интенсивность поломок каждого автомата λ=1 (поломка в час). Среднее время, которое тратит наладчик на ремонт одного автомата равно 0,1 ч. Определить предельные вероятности состояний данной СМО и найти среднее число неисправных автоматов, т.е. находящихся в ремонте и ожидающих ремонта. Также определить:

1) вероятность того, что наладчик занят ремонтом автоматов;

2) абсолютную пропускную способность СМО;

3) относительную пропускную способность СМО;

4) среднее число неисправных автоматов;

5) среднее число автоматов, ожидающих в очереди ремонта;

6) среднее число автоматов в ремонте.

№8Бригада из трех человек обслуживает 20 автоматов. Интенсивность поломки каждого автомата λ=1 (поломка в час). Среднее время, которое тратит один наладчик на ремонт одного автомата, равно 0,1 ч. Определить предельные вероятности состояний данной СМО и найти среднее число неисправных автоматов (т.е. находящихся в ремонте и ожидающих ремонта), среднее число автоматов в очереди, ожидающих ремонта, среднее число свободных наладчиков. Также определить:

1) среднее число занятых каналов (среднее число автоматов под обслуживанием);

2) абсолютную пропускную способность СМО;

3) относительную пропускную способность СМО;

4) среднее число автоматов в системе (под обслуживанием и в очереди);

5) среднее число автоматов в очереди.