Оценка достоверности коэффициента корреляции

Коэффициент парной корреляции, рассчитанный по выборочным данным, является случайной величиной. С уменьшением числа наблюдений надежность коэффициента корреляции падает. С увеличением числа наблюдений (свыше 500) распределение коэффициента корреляции r (не превышающее 0,9) стремится к нормальному.

Определенный по выборке коэффициент корреляции г является оценкой коэффициента корреляции r генеральной совокупности.

Доверительный интервал для оценки истинного значения коэффициента корреляции в генеральной совокупности (r) имеет вид:

r – tтабл sr £ r £ r + tтабл sr, ( 5 )

где sr — средняя квадратическая ошибка выборочного коэффициента парной корреляции; tтабл — параметр распределения Стьюдента с числом степеней свободы k = п - 2 и уровнем значимости а.

Оценка достоверности коэффициента корреляции - student2.ru

Если коэффициент корреляции меньше 0,9 или выборка мала, среднеквадратическая ошибка выборочного коэффициента корреляцииsr рассчитывается по формуле

Оценка достоверности коэффициента корреляции - student2.ru

Значимость коэффициента корреляции можно проверить с помощью статистики t, распределения Стьюдента с n - 2 степенями свободы.

Наблюдаемое значение t (tнабл) вычисляется как

Оценка достоверности коэффициента корреляции - student2.ru

Критическое значение (tтабл) определяется по таблице распределения Стьюдента (приложение ) по уровню значимости а и числу степеней свободы k=п-2.

По общему правилу проверки статистических гипотез:

— если tнабл < tтабл, принимается нулевая гипотеза Н0: r = 0 т.е. между Х и Y отсутствует корреляционная связь (при заданном уровне значимости);

— если tнабл ³ tтабл, принимается альтернативная гипотеза Н1: r ¹ 0, т.е. коэффициент корреляции значимо отличается от нуля и можно говорить о наличии корреляционной зависимости между Yи Х.

Критерий t подчиняется закону распределения Стьюдента с п - 2 степенями свободы.

Для оценки значимости r при малом объеме выборки целесообразно использовать z-преобразование Фишера. Для этого применяется статистика z:

Оценка достоверности коэффициента корреляции - student2.ru , (6)

Оценка достоверности коэффициента корреляции - student2.ru Оценка достоверности коэффициента корреляции - student2.ru Распределение z асимптотически приближается к нормальному. Вариация z выражается формулой, которая распределена по нормальному закону со средним mz и дисперсией sz2:

Область принятия гипотезы о нулевой корреляции имеет вид:

Оценка достоверности коэффициента корреляции - student2.ru , (7)

где z – стандартная, нормально распределенная случайная величина. Если расчетное значение окажется вне этого интервала, то это будет признаком наличия статистической корреляции с уровнем значимости a.

Для a = 0,05 za/2 = 1,96; a = 0,02 za/2 = 2,32;

a = 0,01 za/2 = 2,58; a = 0,1 za/2 = 1,64.

Пример 1. Менеджера туристической ком­пании интересует, насколько возрастает привлека­тельность гостиницы в зависимости от ее расстоя­ния до пляжа. С этой целью по 14 гостиницам горо­да была выяснена среднегодовая наполняемость но­меров и расстояние в километрах от пляжа. Статистические данные приведены в таблице 2

Таблица 2 - Данные к примеру 1

Расстояние, км 0,1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,4 0,5 0,6 0,7 0,7 0,8 0,8 0,9 0,9
Наполняемость, %                            

На рисунке видно, что связь между исследуемыми факторами обратно пропорциональная, т. е. с увеличением расстояния гостиницы от пляжа ее наполняемость ее уменьшается.

Оценка достоверности коэффициента корреляции - student2.ru

Рисунок 4 – Поле корреляции для примера 1

Оценим силу связи между исследуемыми факторами с помощью коэф-фициента корреляции. Значение коэффициента корреляции r = 0,94 говорит о наличии достаточно сильной обратно пропорциональной зависимости между данными факторами. Так как выборка мала (n < 30), то целесообразно произвести проверку значимости коэффициента корреляции с помощью z-преоб-разования Фишера. Расчеты показали, что zрасч.=5,87 > z табл.= 1,96 при уровне значимости a=0,05. Таким образом, нет оснований, сомневаться в присутствии связи между исследуемыми факторами.

Наши рекомендации