Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля

Рассмотрим сначала некоторые свойства волнового движения. Плоская монохроматическая волна с частотой Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru и волновым вектором Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru описывается формулой:

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.40)

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru – амплитуда волны, Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru – фаза. Формула (1.40) - решение волнового уравнения

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru , (1.41)

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru – фазовая скорость волны, Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru – оператор Лапласа. Уравнение (1.41) линейное, обладает свойствомсуперпозиции(сложения) решений. Линейная комбинация плоских волн, распространяющихся, например, вдоль оси x, и имеющих волновые числа (длины волн), непрерывно распределенные в интервале значений волнового числа шириной Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru около некоторого фиксированного значения Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru :

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.42)

Частота и волновое число связаны друг с другом дисперсионным уравнением: Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . Если интервал Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru достаточно мал, то:

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru (1.43)

Ограничимся первыми двумя членами этого разложения. Тогда:

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.44)

Здесь: Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . Согласно (1.44) при суперпозиции плоских волн с волновыми числами, непрерывно распределенными в некотором интервале, возникает волновой процесс, который можно характеризовать «средним» волновым числом Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru и частотой Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . Амплитуда этого процесса зависит от времени и координаты. Такое волновое образование - волновой пакет. Его фазовая скорость Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru , групповая скорость Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . Изменение амплитуды пакета со временем и вдоль направления распространения определяется множителем Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru , где Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . Этот множитель равен 1 при Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . При изменении Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru он осциллирует с быстро уменьшающейся амплитудой, обращаясь в нуль при Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru Рассмотрим «моментальный снимок» волнового пакета при t =0 В этом случае Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . Разность Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru соответствует области, в которой максимальная амплитуда волнового пакета уменьшается до нуля. Эту область принимают за характеристику ширины волнового пакета. Пространственная протяженность волнового пакета определяется как Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . Это - ширина волнового пакета.Таким образом, Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . Если определять ширину волнового пакета не по первому обращению в нуль амплитудного множителя, а по второму, третьему и т.д., то

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.45)

Аналогично:

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.45a)

электромагнитное излучение наряду с волновыми свойствами обладает корпускулярными свойствами.

Согласно волновой теории закон преломления света определяется формулой Снеллиуса(1621) (рис.1.20):

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.46)

Здесь Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru – фазовая скорость волны в «верхней» и «нижней» средах, Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru – длины волн в этих средах.

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru С корпускулярной точки зрения частицы света изменяют свой импульс при переходе через границу раздела обеих сред (рис.1.21). Вектор импульса частицы Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru разложим на две составляющие: Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru – вдоль границы раздела, Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru – перпендикулярно этой границе. Аналогично раскладывается вектор импульса Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru во второй среде. Импульсы Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru относятся к одной и той же частице, переходящей из одной среды в другую. Поэтому тангенциальная составляющая вектора импульса должна оставаться непрерывной на границе раздела:

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.47)

Тогда

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.48)

Здесь Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru означают модули векторов Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . Ньютон считал, что корпускулы света являются классическими частицами Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . В таком случае формула (1.48) противоречит закону Снеллиуса (1.46). Для согласования корпускулярных представлений с законом Снеллиуса согласно (1.48), (1.46) необходимо считать, что Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru , т.е. Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . Произведение Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru имеет размерность действия (энергия Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru время). Единственной постоянной с такой размерностью является постоянная Планка.

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru , (1.49a)

или в векторном виде:

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.49)

Это соотношение, а также формула для энергии фотона

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru (1.50)

отображают корпускулярно–волновой дуализмсвета. Идею о двойственной природе света впервые высказал Эйнштейн(1905).

Фотоэффект(внешний фотоэффект) - явление освобождения электронов с поверхности металлов под действием электромагнитного излучения.

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru , (1.51)

где Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru – энергия фотона, Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru – энергия отрыва электрона от атома (энергия ионизации), Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru – работа выхода электрона за пределы поверхности освещаемого тела, Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru – кинетическая энергия фотоэлектрона. Для металлов Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . Из (1.51) следует существование низкочастотного (красного) порога, или границы фотоэффекта, которая определяется из условия Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru :

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.51a)

При частоте освещающего фотона Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru фотоэффект невозможен.

Опыты Комптона(1922) непосредственно доказали существование фотона, как корпускулы света. В этих опытах исследовалось рассеяние рентгеновского излучения веществом, состоящим из легких атомов . наряду с исходной длиной волны Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru возникает смещенная линия с длиной волны Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . В этом смещении состоит эффект Комптона:

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.52)

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru (1.52а)

комптоновская длина электрона. Комптоновская длина также Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . Объяснение этого эффекта (А. Комптон, П. Дебай, 1923), основывается на том, что рассеяние фотона представляет собой результат его столкновения с отдельным электроном (рис.1.22), при этом в каждом акте соударения предполагаются справедливыми релятивистские законы сохранения энергии и импульса:

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru (1.53)

Таким образом, многочисленные опытные факты показывают, что электромагнитное излучение обладает корпускулярными свойствами. Эти свойства связывают с квантами излучения – фотонами. Фотон невозможно расщепить. Вместе с тем фотон – это не обычная частица в классическом понимании. Фотон не является пространственно локализованным объектом и нельзя определить его положение в пространстве. Фотон движется со скоростью света, поэтому он не может находиться в состоянии покоя.

В 1924–1925 годах представления о том, что электромагнитное излучение обладает и волновыми и корпускулярными свойствами, получили общее признание в физике. В это время Луи де Бройль (1923) высказал гипотезу о том, что корпускулярно-волновой дуализм является общим свойством материи.Де Бройль предположил, что корпускулярно–волновой дуализм имеет универсальный характер. Тогда частице с импульсом p приписывается некоторая волна, длина волны которой определяется обращенной формулой (1.49а):

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.54)

Такая волна называется волной де Бройля.Плоская волна де Бройля

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.55)

По общему определению, фазовая скорость волны де Бройля равна:

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.56)

Используются релятивистские соотношения для энергии и импульса, Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru , Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru – скорость частицы. Групповая скорость волны де Бройля определяется формулой:

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.57)

Видно, что групповая скорость волны де Бройля совпадает со скоростью частицы. Из выписанных формул следует также, что для волн де Бройля, как и для световых волн, справедливо соотношение Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru .

По правилу квантования Бора (1.17) с учетом (1.54):

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.58)

Отсюда следует: длина окружности боровской орбиты кратна длине волны де Бройля.

Для экспериментального обнаружения волн де Бройля необходимо оценить порядок их длин волн. При прохождении ускоряющей разности потенциалов V(В), электрон приобретает энергию Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . Тогда для длины волны де Бройля следует формула:

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.59)

При релятивистских скоростях электронов длина волны де Бройля определяется приближенной формулой:

Лекция 5. Корпускулярно-волновой дуализм. Гипотеза де Бройля - student2.ru . (1.59a

Наши рекомендации