Диаграммы с причинными петлями

Если некоторая переменная не просто пассивно зависит от своих причин, но в свою очередь влияет на одну или несколько из них, то появляется причинная петля. Если пара переменных образует петлю, то они связываются двумя противоположно направленными стрелками.

Переменная может входить в петлю обратной связи, даже если в эту петлю никакая другая переменная не входит.

Определение. (Графа с петлями). Цепочка стрелок, исходящая из некоторой переменной и возвращающаяся сразу или через другие переменные к этой же переменной, называется петлей, если вдоль всего пути ни разу не происходит изменение направления стрелок на обратное, и весь путь не проходит ни через одну промежуточную переменную более одного раза.

Для идентификации петель одна переменная принимается за начальную и от нее последовательно перечисляют переменные, через которые проходит петля. Эти обозначения называются идентификаторами петель (Z).

Пример:

Для измерения влияния обратной связи петли на изменения переменных вводится «эффект обратной связи» Z, равный произведению структурных коэффициентов вдоль цепи, указывающий, на сколько единиц изменится переменная петли в течение 1-го цикла после начального изменения переменной на одну единицу.

Две петли соприкасаются, если их идентификаторы содержат один или несколько общих символов. Петля касается открытого пути, если какой-нибудь из идентификаторов открытого пути, не считая самого первого, присутствует также в идентификаторе петли.

Например:

vwxy – идентификатор открытого пути;

wxy – идентификатор открытой петли.

Эти пути касаются, т.к. их идентификаторы имеют 3 общих символа.

На следующем примере открытый путь wz не касается ни петли wx, ни петли xy, т.к. он не имеет с ними общего символа (не считая первого). Напротив, петли wx и xy соприкасаются.

С помощью введенных понятий можно определить релевантную обратную связь. Пусть x – вход для y, а y не воздействует на x ни прямо, ни косвенно. Очевидно, что от x к y должен быть один или несколько открытых путей. Если в этой системе содержатся также петли, то релевантная обратная связь для x – y есть множество всех петель, касающихся хотя бы одного из открытых путей от x к y , а также петли, касающиеся первого множества, плюс новые петли, касающиеся предыдущих, и т.д. На предыдущем рисунке петли wx и xy образуют релевантную обратную связь, т.к. петля wx касается открытого пути vwx,
а петля xy касается пути wx.

Приведем пример причинной диаграммы эконометрической (структурной) модели, состоящей из 2 уравнений:

где – денежная масса; – оборачиваемость денег; – фиктивная переменная; – денежные доходы населения; – размер вкладов в сбербанках. Тогда отражает зависимость денежной массы от оборачиваемости и дохода , а – зависимость денежной оборачиваемости от и , т.е. между и существуют одновременные отношения.

Построим диаграмму причинных связей модели , в предположении линейной системы, т.е.

Заметим, что эндогенные переменные заключаются в кружки, а экзогенные – в квадраты.

Задача 7.1. Рассмотрим последовательное применение методов оценивания совместной системы уравнений монетарной модели:

(7.15)

где эндогенные переменные обозначают: – денежная масса; – оборачиваемость денег; экзогенные переменные: – совокупный денежный доход населения; – размер вкладов в системе банков.

Наблюдения, проведенные за период Т=10 месяцам, помещены в следующую таблицу:

t
y1t	-10	-7	-6	-4
y2t							-2	-4	-5	-4
x1t	-5	-2	-3	-1
x2t						-2	-5	-3	-8	-10

Требуется определить оценки неизвестных параметров по наблюдениям таблицы.

1. Воспользуемся «классическим» МНК для каждого уравнения системы в отдельности.

Рассмотрим процедуру применения МНК для первого уравнения системы (7.10):

(7.16)

где X=(y₂ ¦ x₂)_Tx2,

Результаты промежуточных вычислений имеют вид

Тогда, применяя формулу (7.16), получим:

Следовательно, оценка зависимости по МНК равна:

(7.17)

Аналогичные расчеты дают оценку для второго уравнения системы (7.15):

(7.18)

Однако оценки (7.17) и (7.18) не учитывают одновременную системную связь между и , а также результаты оценивания подвержены эффекту смещения из-за корреляции и .

2. Воспользуемся косвенным МНК, предварительно преобразовав структурную форму (7.15) к приведенной форме:

(7.19)

или в матричном виде:

Тогда

или

(7.20)

Сравнение матричных коэффициентов при (x_2t¦x_3t)^T дает соотношения, позволяющие определить параметры структурной формы по параметрам приведенной формы :

(7.21)

Проверяем систему (7.19) на идентифицируемость, воспользовавшись порядковым критерием:

Для первого уравнения ( ) имеет место точная идентифицируемость.

Второе уравнение ( ) также точно идентифицировано.

Проведем подробные расчеты косвенного МНК для первого уравнения системы (7.20):

X=(x₂¦x₃)_Tx2,

Тогда, подставляя компоненты в (7.11), будем иметь:

В силу точной идентифицируемости оценки параметров структурной формы единственным образом находятся по полученным оценкам параметров приведенной формы из системы уравнения (7.21). Действительно:

Следовательно:

Окончательно:

Таким образом, оценка структурной формы имеет вид:

Приведем таблицу сравнения оценок «классического» и косвенного МНК:

Параметры	МНК-оценки	Оценки косвенного МНК
b21	-0,444	-1,665
b12	-0,374	-0,472
c21	1,669	0,260
c32	0,143	0,055

Результаты таблицы дают вывод полного различия оценок по их величине.

3. Проведем расчет первого уравнения системы по двухшаговому МНК. Вначале конкретизируем для полной модели матричную форму ( ):

где X = (x₂ ¦ x₃).

Явный вид оценок параметров и получим из (7.14):

По исходным данным получим промежуточные результаты:

.

Опираясь на полученные промежуточные результаты, получим:

В итоге уравнения, оцененные по косвенному и двухшаговому МНК, совпадают, что характерно для выполнения условия точной идентифицируемости уравнения.

Пример 7.2 (Исследование спроса на фрукты) [18].

Рассмотрим простейшую модель равновесия на рынке продажи фруктов:

а) кривая спроса:

где (7.22)

б) кривая предложения:

где (7.23)

Здесь – логарифм индекса цен на фрукты в периоде t;

– логарифмы индексов спроса и предложения в периоде t соответственно.

Переменные и описывают влияние других факторов на динамику спроса и предложения.

Проверим уравнения а) и б) на состоятельность МНК-оценок параметров.

Уравнение рыночного равновесия:

Рыночная цена

(7.24)

тогда

(7.25)

Применив к уравнению спроса МНК, получим:

. (7.26)

Подставив в (7.26), получим:

Аналогично

(7.27)

Следовательно, оценка эластичности спроса и предложения по цене зависит от дисперсий и :

1) если (или ), тогда

2) если или , тогда .

Следовательно, возникает проблема состоятельного оценивания эластичности спроса по цене. В соответствии с условием 1), если мы найдем переменную, которая изменяет кривую предложения и не влияет на линию спроса, то нам удастся найти состоятельную МНК оценку параметра .

С этой целью введем переменную – число холодных дней в период созревания фруктов, причем

причем (7.28)

Кроме того, мы сохраним предположение, что спрос зависит в основном от цены и не зависит от погоды.

Тогда корреляция и равна нулю и, подставляя (7.28) в соотношение (7.24), имеем:

или

где .

Далее

Тогда МНК-оценка соответствует двухшаговому МНК:

,

т.к.

Если удастся оценить уравнение:

где

тогда

Задача 7.1. Поясните смысл следующих понятий: предетерминированные переменные; структурная и приведенная формы системы одновременных уравнений, идентифицируемость; порядковый и ранговый критерии идентифицируемости; косвенный МНК, двухшаговый МНК (2МНК).

Задача 7.2. Следующие неявные системы эконометрических уравнений классифицируйте по двум признакам:

1) совместные системы или последовательно определенные (рекурсивные);

2) какие переменные эндогенные, а какие предетерминированные:

а) б)

в)

Задача 7.3. Рассмотрим простейшую макроэкономическую модель Дж. М. Кейнса:

где

– валовое личное потребление в постоянных ценах за период t;

– национальный доход (реальный) на конец времени t;

– чистые инвестиции (внешние и внутренние) в постоянных ценах за период t.

1. Выведите приведенную форму системы двумя способами:

а) матричным; б) последовательной подстановки одного уравнения в правую часть другого.

2. Можно ли восстановить параметры структурной формы по параметрам приведенной формы. Если ответ положительный, укажите формулы расчета структурных коэффициентов по приведенным.

Задача 7.4. Дана простейшая модель равновесия спроса и предложения:

1. Укажите эндогенные и экзогенные переменные модели. Найдите приведенную форму.

2. Можно ли восстановить параметры структурной (исходной) формы по параметрам полученной в п.1) приведенной формы?

Задача 7.5. В следующих совместных (неявно заданных) одновременных уравнениях проведите проверку на идентифицируемость системы по порядковому критерию:

а)

б)

в)

Задача 7.6. Рассмотрим простейшую модель равновесия на оптовом рынке продажи зерновых культур:

где

– объем спроса на зерно к моменту времени t;

– объем предложения;

– цена на зерно;

– располагаемый доход.

1. На основе следующих условных данных, собранных за 10 отрезков времени, оцените параметры модели классическим и двухшаговым МНК. Сравните полученные результаты с вашими априорными ожиданиями.

Год (t)

Задача 7.7. Лаговая система макроравновесия закрытой экономики имеет вид:

где переменные C, I и Y – эндогенные, подлежащие расчету по модели, переменные W, G, X – экзогенные.

1. Постройте приведенную форму системы.

2. Проверьте уравнения системы на идентифицируемость исходной системы и с учетом априорной информации: .

Задача 7.8. Совместная система эконометрических уравнений имеет вид:

1. Укажите эндогенные и экзогенные переменные системы и их экономическое содержание.

2. Постройте причинную диаграмму структурной формы.

3. Проверьте уравнение приведения системы на идентифицируемость.

4. Преобразуйте систему к приведенной форме. Изобразите ее причинную диаграмму.

Задача 7.9. Пусть совместная модель представлена в следующем матричном виде:

1. Проведите анализ идентифицируемости каждого уравнения модели по порядковому критерию и ранговому критерию.

2. Для каждого идентифицируемого уравнения укажите формулу расчета параметров структурного уравнения на основе параметров приведенного уравнения.

Задача 7.10. Рассмотрим систему совместных уравнений

в которой и – эндогенные переменные; – экзогенная переменная,

1. Представьте систему в матричном виде и проведите проверку идентифицируемости каждого уравнения по порядковому критерию.

2. Запишите в явном матричном виде приведенную форму исходной системы (7.29), (7.30).

3. Пусть собраны следующие данные наблюдений над переменными модели:

t
y1t
y2t
x2t

Оцените (косвенным МНК) параметры уравнения (7.29).

4. Пусть априорно известно, что . Как изменится вывод об идентифицируемости этого уравнения?

5. Используйте двухшаговый МНК для оценивания параметра первого уравнения системы.

Задача 7.11. Рассмотрим модель из двух совместных уравнений:

в которой и – эндогенные переменные, – экзогенная. Результаты наблюдения над переменными модели представлены в таблице:

y2
y1
x2

Проверьте идентифицируемость и оцените 3 МНК значения параметра .