Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной

3.1. Вычислить предел Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru

3.2. Вычислить предел Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru .

3.3. Вычислить предел Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru .

3.4. В точках Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru и Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru для функции Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru установить непрерывность или определить характер точек разрыва.

3.5. Найти производную функции Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru .

3.6. Найти производную функции Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru

3.7. Найти производную функции Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru , применяя метод логарифмического дифференцирования.

3.8. Найти производную функции, заданной неявно: Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru .

3.9. Найти производную функции, заданной параметрически: Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru .

3.10. С помощью методов дифференциального исчисления исследовать и построить график функции Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru .

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 3 и решение типовых задач

3.1. Раскрытие неопределенности вида Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru .

Рассмотрим отношение функций Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru . Пусть Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru – бесконечно большие функции (б.б.ф.) при Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru , отношение Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru в этом случае называется неопределенным выражением вида Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru . Для нахождения предела неопределенного выражения нужно избавиться от неопределенности (или раскрыть неопределенность).

Чтобы раскрыть неопределенность вида Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на самую высокую входящую в них степень, а затем перейти к пределу.

Пример 1

Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru ,

так как при Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru каждая из дробей Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru стремится к нулю.

Пример 2

Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru .

Пример 3

Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru .

Замечание. Из рассмотренных примеров видно, что предел частного двух многочленов при Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени многочленов, стоящих в числителе и знаменателе, равны; равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя; равен ¥, если степень числителя больше степени знаменателя.

3.2. Раскрытие неопределенности вида Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru

Рассмотрим отношение функций Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru . Пусть Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru – бесконечно малые функции (б.м.ф.) при Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru , отношение Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru в этом случае называется неопределенным выражением вида Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru .

Чтобы раскрыть неопределенность вида Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru , заданную отношением двух многочленов, надо в числителе и знаменателе выделить критический множитель и сократить на него.

Чтобы раскрыть неопределенность вида Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует избавиться от иррациональности, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

Пример

Вычислить предел Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru .

Решение

При Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru . Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель дроби умножим на сопряженное знаменателю выражение, т.е. на сумму Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru , а квадратный трехчлен Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru разложим на множители, найдя для этого его корни:

Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru ,

тогда,

Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru .

Таким образом, получим:

Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru

Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru

Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru

Контрольная работа № 3. Предел и производная функции одной переменной - student2.ru .

Наши рекомендации