Основы построения тарифов по страхованию жизни

Статистические и математические методы, применяемые в страховании жизни для определения финансовых обязательств страхова­теля и страховщика, имеют два специфических проявления.

Первый аспект. Предметом страхования в этом виде страхования является жизнь человека или его смерть, а точнее — дожитие до окончания срока страхования или смерть в течение этого времени. Кроме того, могут быть произведены страховые выплаты в связи с потерей здоровья в результате несчастного случая.

Продолжительность жизни отдельно взятого человека является случайной величиной и колеблется в достаточно широких пределах. Анализ данных демографической статистики позволил вывести зави­симость вероятности реализации риска дожития или смерти от воз­раста и пола человека. Показатели, характеризующие доживаемость и смертность при переходе от одного возраста к другому, сведены в таблице смертности.

Таблица смертности — упорядоченный ряд взаимосвязанных ве­личин, показывающих уменьшение с возрастом некоторой совокуп­ности родившихся людей вследствие их смертности. Показатели таб­лиц смертности построены как описание процесса дожития и вымирания некоторого поколения с фиксированной начальной чис­ленностью. В самой простой таблице смертности содержатся данные, которые для любого возраста х лет (от 0 до w лет, где w — предельный возраст) показывают число 1_Х доживающих до этого возраста лиц из первоначальной совокупности, состоящей из /₀ = 100 000 новорож­денных, а также число умирающих d_x= l_x - 1_х+п при переходе от воз­раста х к возрасту х+п лет. Такие таблицы могут быть как общими, так и раздельными по половой принадлежности населения.

Помимо этой информации таблицы смертности могут содержать сведения о средней продолжительности оставшейся жизни, а также два расчетных показателя.

Во-первых, вероятность смерти q_х при переходе от возраста х лет к возрасту х+1 год:

(6.7)

Во-вторых, вероятность р_х дожития лица в возрасте х лет до воз­раста х+1 год:

(6.8)

Располагая даже простой таблицей смертности, страховые компа­нии могут рассчитать ряд показателей, напрямую связанных с тари­фами по страхованию жизни:

• вероятность дожития (_nр_х) лица в возрасте х лет с момента за­ключения договора до его окончания через п лет:

(6.9)

• вероятность умереть (_п q_x) в течение предстоящих п лет:

(6.10)

• вероятность умереть (п\д_х) на и-м году действия договора.

(6..11)

Второй аспект. Страхователь уплачивает взносы в момент заклю­чения договора, а страховщик производит страховую выплату по окончании срока страхования. В течение этого периода страховщик инвестирует временно свободные средства и получает на них опреде­ленный доход. Величина такого дохода за год с единицы денежной суммы называется нормой доходности, или нормой процента, выра­жается в процентах и обозначается через i.

Если норма составляет i процентов в год, то через год каждая еди­ница денежной суммы превратится в (1+i). К концу второго года эта сумма составит (1+i)(1+i) = (1+i)². Если есть определенный денеж­ный фонд (его величина на настоящий момент времени составляет современную стоимость этого фонда), то в общем случае начисление сложных процентов за п лет может быть произведено по формуле:

Будущая стоимость = Современная стоимость (1 + i)". (6.12)

Под будущей стоимостью в данном случае понимается величина этого фонда через п лет.

При страховании жизни страховщику, исходя из величины пред­стоящих через п лет выплат, необходимо определить будущую через п лет стоимость страхового фонда. Поэтому требуется рассчитать, какой размер взноса на момент заключения договора должен уплатить стра­хователь, чтобы к концу срока страхования страховщик имел достаточ­ную сумму средств. Другими словами, необходимо найти современную стоимость будущей выплаты. Процесс определения современной стои­мости будущих доходов и расходов называется дисконтированием и вы­ражается формулой:

Современная стоимость = Будущая стоимость

(6.13)

Выражение обозначается буквой v и называется дисконтирующим множителем (дисконтом). Возведенный в степень и, он будет дисконтом (дисконтирующим множителем) за п лет.

(6.14)

Для того чтобы определить современную стоимость фонда, вели­чина которого через п лет должна составлять S руб., необходимо эту сумму умножить на дисконтирующий множитель:

Современная стоимость =-S *vⁿ (6.15)

Таким образом, дисконтирующий множитель показывает, какую долю от величины фонда S, предусмотренного к получению через п лет при норме доходности i, необходимо уплатить страхователю в виде нетто-премии в начале страхования.

В практике расчетов страховых тарифов используют специальную таблицу, содержащую значения дисконтирующих множителей при различных нормах доходности и количестве лет страхования жизни (табл. 6.2).

Т а б л и ц а 6.2. Значения дисконтирующих множителей

Таким образом, если срок действия договора страхования жизни п = 10 лет, страховая сумма 5=40 000 руб., норма доходности i=0,005, дисконтирующий множитель v¹⁰ = 0,61391, то нетто-премия будет составлять 40 000 0,61391 = 24 556 руб. Соответственно, чем выше норма доходности, тем меньший страховой взнос должен упла­тить страхователь.

При проведении страхования жизни страховыми случаями явля­ются дожитие застрахованного до оговоренного договором срока или возраста, его смерть во время действия договора, а также утрата за­страхованным здоровья в связи с несчастным случаем. Договор может предусматривать осуществление страховой выплаты в связи с реализацией только одного из перечисленных рисков или их одно-, временное покрытие. В последнем случае речь идет о смешанном страховании.

Для выплат по каждому виду страхования страховщик создает со­ответствующий страховой фонд. Источником формирования этих фондов являются страховые взносы страхователей, величина которых определяется на основании страховых тарифов. Структура брутто-ставки по смешанному страхованию жизни имеет следующий вид (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Структура брутто-ставки по смешанному страхованию

Уплата страховых взносов может осуществляться единовременно при заключении договора или в рассрочку в течение всего срока страхования.

Расчет единовременной нетто-премии на дожитие осуществляется по формуле

(6.16)

При расчете единовременной нетто-премии по страхованию на случай смерти используется следующая формула:

(6.17)

Расчеты страховых тарифов без использования вычислительной техники достаточно трудоемки, поэтому была разработана система коммутационных чисел. Коммутационные числа — это специальные технические показатели, сведенные в таблицы, которые позволяют сократить объем ручных вычислений. Чаще всего используются сле­дующие коммутационные числа:

(6.18) (6.19) (6.20) (6.21)

Коммутационные числа зависят от следующих параметров: вы­бранной таблицы смертности, т.е. показателей l_Х и d_x, и нормы доход­ности i (табл. 6.3).

Таблица 6.3. Извлечение из таблицы коммутационных чисел (норма доходности 5%)

Используя коммутационные числа, получаем следующие фор­мулы:

• для расчета единовременной нетто-премии на дожитие:

(6.22)

• для расчета единовременной нетто-премии по страхованию на случай смерти:

(6.23)

При единовременном покрытии договора риска смерти и риска дожития нетто-ставка (Т_н) может быть рассчитана по формуле

(6.24)

Единовременная уплата взносов производится редко. Большинст­ву страхователей удобней платить взносы в рассрочку в течение всего срока страхования. Для этого исчисляются годичные нетто-ставки. Чтобы определить их размер, нельзя разделить единовременную та­рифную ставку на число лет действия договора, поскольку часть за­страхованных не доживает до окончания срока договора и не выпла­чивает полную сумму причитающихся взносов. Поэтому годичные взносы должны компенсировать эту недостачу. Кроме того, страховая компания несет убыток, теряя часть дохода от процентов, что также приводит к необходимости повышения тарифа.

Для исчисления годичных ставок применяют специальные коэф­фициенты рассрочки. В коммутационных числах формула для исчис­ления коэффициента рассрочки имеет вид:

(6.25)

В табл. 6.4 приведены коэффициенты рассрочки, исчисленные на основании таблицы коммутационных чисел.

Таблицаб.4. Коэффициенты рассрочки

Зная коэффициент рассрочки, можно рассчитать годичные став­ки. Для этого единовременную нетто-ставку нужно разделить на ко­эффициент рассрочки.

Разделив единовременные нетто-ставки на дожитие и на случай смерти на коэффициент рассрочки, получим формулы для исчисле­ния годичных нетто-ставок:

• по дожитию:

(6.26)

• на случай смерти:

(6.27)

• по дожитию и на случай смерти:

(6.28)

Расчет нетто-ставки на случай утраты трудоспособности (У) осу­ществляется по формулам рискового страхования. В итоге суммарная нетто-ставка по смешанному страхованию имеет следующий вид:

(6-29)

Анализ нетто-ставок по смешанному страхованию жизни позво­ляет сделать следующие выводы.

1. Нетто-ставка по смешанному страхованию жизни тем ниже, чем моложе застрахованное лицо и чем длиннее срок страхования. Сумма годичных нетто-ставок выше единовременной ставки, причем разница тем больше, чем длиннее срок страхования. При одинаковом сроке страхования она выше для лиц, заключивших договор в более зрелом возрасте.

2. С увеличением возраста застрахованного вероятность дожития до определенного срока уменьшается, а вероятность умереть в течение того же срока увеличивается. Поэтому Нетто-ставка на дожитие в связи с увеличением возраста постепенно понижается, а на случай смерти — увеличивается. Возрастает и удельный вес нетто-ставки на случай смерти.

3. В нетто-ставке по смешанному страхованию жизни, а следова­тельно, и в страховом фонде по этому виду страхования преобладаю­щий удельный вес имеет фонд на дожитие. Это понятно, поскольку вероятность дожить до конца срока страхования неизмеримо выше вероятности умереть и утратить трудоспособность в течение этого срока.

Полную тарифную ставку (брутто-ставку), учитывающую в своем составе нагрузку (Н), можно определить по формуле

Годичные брутто-ставки, деленные на 12, представляют собой ме­сячные страховые взносы. Страховые компании часто приводят таб­лицы месячных взносов в Правилах страхования.

Выводы

1. Актуарные расчеты — система математических и статистических мето­дов, используемых в процессе исчисления страховых тарифов. Методология актуарных расчетов основывается на теории вероятности, демографии, фи­нансовой математике.

2.Использование актуарных расчетов позволяет исчислять математичес­кую вероятность наступления страхового случая, определить частоту и степень тяжести потерь, обосновать величину страхового тарифа и резервов страховщика.

3. Для практических расчетов страховые компании используют разраба­тываемые Департаментом страхового надзора методики расчета страховых тарифов по рисковым видам страхования и по страхованию жизни.

Вопросы для самопроверки

1. В чем состоит сущность актуарных расчетов? Какие задачи они ре­шают?

2. Как рассчитывается брутто-ставка по рисковым видам страхования?

3. В чем заключаются особенности расчета нетто-ставок по страхованию жизни?

4. В чем суть таблиц смертности? Какие показатели по ним можно рас­считать?

5. В чем заключается сущность дисконтирования?

6. Для чего используется дисконтирующий множитель?

7. Какова структура брутто-ставки по смешанному страхованию жизни?

8. Каково назначение коммутационных чисел?

9. Чем различаются единовременные и годичные ставки премий?

10. Как рассчитываются единовременные нетто-ставки без использования и с использованием коммутационных чисел?

11. Для чего предназначен и как рассчитывается коэффициент рассрочки?