Тема 12. Проверка значимости уравнения множественной регрессии

Индекс множественной корреляции оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат и может быть найден по формулам:

.

При этом значение индекса множественной корреляции будет не меньше чем максимальное значение коэффициента парной корреляции .

Для линейной множественной регрессии справедлива следующая формула:

, где

- стандартизованные коэффициенты линейного уравнения множественной регрессии;

.- коэффициенты парной корреляции результативного признака с каждым из факторов .

Коэффициент множественной корреляции, вычисляемый по следующим формулам, называется линейным (совокупным) коэффициентом корреляции. Если в общем виде задано уравнение линейной множественной регрессии , то индекс множественной корреляции может быть определен по формулам:

, где

определитель матрицы коэффициентов парной регрессии находится:

,

а определитель получаем из предыдущего определителя - вычеркиванием первого столбца и первой строки.

Индекс множественной корреляции равен совокупному коэффициенту корреляции не только при линейной зависимости рассматриваемых признаков, но и при нелинейной зависимости, являющейся нелинейной по переменным. В случае нелинейной регрессии, являющейся нелинейной по параметрам индекс детерминации принято обозначать как «квази - », при чем он может быть найден по формуле

.

При этом «квази - » не совпадает с совокупным коэффициентом детерминации.

При определении индекса и коэффициента множественной корреляции используется остаточная дисперсия, которая имеет систематическую ошибку в сторону приуменьшения, т.е. если число параметров при переменных стремится к объему выборки , то остаточная дисперсия будет близка 0, и значения коэффициента или индекса корреляции будут стремиться к 1, даже при слабой связи факторов с результатом. Для того, чтобы не допустить преувеличение тесноты связи используют скорректированный коэффициент или индекс детерминации.

,

- объем выборки,

- число параметров перед факторами .

В данном случае чем больше , тем сильнее различия между индексом детерминации и скорректированным индексом детерминации .

Величина коэффициента (индекса) множественной корреляции позволяет оценить качество регрессионной модели. Низкое значение данного показателя означает, что в модель не включены существенные факторы и данная форма связи не отражает реальные отношения между переменными моделями, поэтому в таких случаях требуются дальнейшие исследования по улучшению качества модели и увеличению ее практической значимости.