Операции над случайными величинами

Прерывные случайные величины X и Y называются независимыми, если не зависимы при любых i и j, события X=xi и Y=yj.

Пусть случайная величина X принимает x1, x2, x3, …, xn с вероятностями p1, p2, p3 ,…, pn, соответственно, а Y-значения y1, y2, y3, …, ym, с вероятностями q1, q2, q3, …, qm.

а) Суммой случайных величин X и Y называется новая случайная величина Z=X+Y, которая принимает все значения вида zij=xi+yj(i=1,2,..n; j=1,2,...,m) с вероятностями pij, причем pij=P(X=xi;Y=yj)=P(X=xi)*PX=xi(Y=yj).

Если случайные величины X и Y независимые, то pij= pi+ qj.

Аналогично определяется разность и произведение случайных величин.

б) Разностью ( произведением) случайных величин X и Y называется новая случайная величина Z=X-Y (Z=XY), которая принимает все значения вида zij=xi-yj (zij=xiyj) с такими же вероятностями, с какими случайная величина Z=X+Y принимает соответствующие значения, т.е. pij= pi+ qj.

в) Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется новая случайная величина Z=kX, которая с теми же вероятностями, что и Х, принимает значения, равные произведениям значений случайной величины Х на k, т.е. =xi2.

г) Квадратом случайной величины Х, т.е. Х2, называется новая случайная величина Z=X2, которая с теми же вероятностями, что и Х, принимает значения, равные квадратам значений случайной величины Х, т.е. zi=xi2

Математическое ожидание. Свойства

Математи́ческое ожида́ние — среднее значение случайной величины, это распределение вероятностей случайной величины рассматривается в теории вероятностей[1]. В англоязычной литературе обозначается через Операции над случайными величинами - student2.ru [2] в русской — Операции над случайными величинами - student2.ru (возможно, от англ. Mean value или нем. Mittelwert, а возможно от «Математическое ожидание»). В статистике часто используют обозначение Операции над случайными величинами - student2.ru .

Пусть задано вероятностное пространство Операции над случайными величинами - student2.ru и определённая на нём случайная величина Операции над случайными величинами - student2.ru . То есть, по определению, Операции над случайными величинами - student2.ru — измеримая функция. Если существует интеграл Лебега от Операции над случайными величинами - student2.ru по пространству Операции над случайными величинами - student2.ru , то он называется математическим ожиданием, или средним (ожидаемым) значением и обозначается Операции над случайными величинами - student2.ru или Операции над случайными величинами - student2.ru .

Операции над случайными величинами - student2.ru

Дисперсия. Свойство.

Дисперсия (от лат. dispersio — рассеяние), в математической статистике и теории вероятностей, наиболее употребительная мера рассеивания, т. е. отклонения от среднего. В статистическом понимании Д.

Операции над случайными величинами - student2.ru

есть среднее арифметическое из квадратов отклонений величин xi от их среднего арифметического

Операции над случайными величинами - student2.ru

В теории вероятностей Д. случайной величины Х называется математическое ожидание Е (Хmх)2квадрата отклонения Х от её математического ожидания mх= Е (Х). Д. случайной величины Хобозначается через D (X) или через s2X. Квадратный корень из Д. (т. е. s, если Д. есть s2) называется средним квадратичным отклонением (см. Квадратичное отклонение).

Для случайной величины Х с непрерывным распределением вероятностей, характеризуемымплотностью вероятности р(х), Д. вычисляется по формуле

Операции над случайными величинами - student2.ru

где

Операции над случайными величинами - student2.ru

Наши рекомендации