Выборочное уравнение прямой линии регрессии

Рассмотрим выборочное уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии Y на X в виде

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru , (7.3)

где Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru – угловой коэффициент прямой линии регрессии, который называют выборочным коэффициентом регрессии Y на X; он является оценкой коэффициента регрессии (раздел 4.4).

Подберём параметры Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru и b таким образом, чтобы точки Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru , Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru ,…, Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru , построенные на плоскости XоY, лежали как можно ближе к прямой (7.3).

При использовании метода наименьших квадратов (МНК) смысл этого требования интерпретируется так: сумма квадратов отклонений должна быть минимальной. Под отклонением понимают разность Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru , Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru , где Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru – вычисленная по уравнению (7.3) ордината наблюдаемого значения Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru ; Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru – наблюдаемая ордината, соответствующая Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru .

Запишем это требование в виде функции:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru

или

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru .

Для отыскания минимума функции Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru приравняем нулю соответствующие частные производные

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru ;

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru .

Выполнив преобразования, получим систему

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru

Решив данную систему, найдём искомые параметры

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru ;

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru . (7.4)

Аналогично можно найти выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru . (7.5)

Пример. Найти уравнение прямой линии регрессии по данным наблюдений:

X 1,00 1,50 3,00 4,50 5,00
Y 1,25 1,40 1,50 1,75 2,25

Составляем расчётную таблицу:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru
1,00 1,25 1,00 1,250
1,50 1,40 2,25 2,100
3,00 1,50 9,00 4,500
4,50 1,75 20,25 4,875
5,00 2,25 25,00 11,250
Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru

Находим неизвестные параметры из уравнения прямой линии регрессии:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru ;

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru .

Записываем искомое уравнение:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru .

Если данные наблюдений представлены в виде корреляционнной таблицы 6.1, то Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru можно вычислить по формуле

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru . (7.6)

Умножим обе части равенства (7.6) на дробь Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru , получим формулу (6.3) для вычисления rв.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru . (7.7)

Отсюда уравнение (7.3) можно записать через rв:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru . (7.8)

Аналогично уравнение (7.5) примет вид

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru . (7.9)

Выборочное уравнение нелинейной регрессии

Функции регрессии Y на X могут иметь вид, например, параболической корреляции второго порядка

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru , (7.10)

параболической корреляции третьего порядка

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru ,

где A, B, C, D – неизвествные параметры.

Определить неизвестные параметры можно МНК. Для уравнения (7.9) неизвестные параметры A, B, C находят из решения системы линейных уравнений:

Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru

Пример. В. Е. Гмурман «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике», стр. 276.

Элементы дисперсионного анализа

Общие сведения

Дисперсионный анализ применяют, чтобы установить:

- оказывает ли существенное влияние некоторый качественный фактор Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru , который имеет Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru уровней Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru на изучаемую величину Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru ;

- являются ли однородными несколько совокупностей, т.к. однородные совокупности можно объединить в одну и тем самым получить о ней более полную информацию.

Суть дисперсионного анализасостоит в сравнении «факторной дисперсии» (т.е. межгрупповой), обусловленной воздействием фактора, и «остаточной дисперсии» (т.е. внутригрупповой), порождаемой случайными причинами по критерию Фишера-Снедекора.

Различают дисперсионный анализ:

- однофакторный, если исследуется влияние одного фактора на изучаемую СВ;

- многофакторный, если исследуется воздействие нескольких факторов.

Рассмотрим случай однофакторного дисперсионного анализа, когда на изучаемую величину Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru влияет только один фактор, который имеет Выборочное уравнение прямой линии регрессии - student2.ru постоянных уровней.

Наши рекомендации