Показатели безотказности

Подробная версия.

Применение вероятностных схем. Вероятностные параметры оценки надежности и нарушения качества. Расчет последовательных, параллельных и комбинированных схем.

Основные понятия надежности

Надежность – один из показателей качества, однако часто этот показатель является основным, определяющим качество и эффективность продукции, в первую очередь технических объектов. Иногда обеспечение надежности есть главное условие безопасности работы объекта.

Под объектом понимается техническое изделие определенного назначения, например машины, сооружения, аппараты, приборы, их узлы и отдельные детали. Иногда в теории надежности объект рассматривается как система, состоящая из совокупности отдельных элементов, взаимодействующих между собой.

В соответствии со стандартом надежность – это свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки.

Состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров в пределах, установленных нормативно-технической документацией, называется работоспособностью. Состояние, при котором хотя бы один из указанных параметров не соответствует требованиям, – неработоспособность. Событие, состоящее в нарушении работоспособности, называется отказом. Процесс обнаружения и устранения отказа с целью перевода объекта из неработоспособного состояния в работоспособное называется восстановлением.

Иногда восстановление неработоспособного объекта невозможно или нецелесообразно. Предельное состояние объекта — это такое состояние, при котором дальнейшее применение объекта по назначению должно быть прекращено из-за неустранимого нарушения требований безопасности, неустранимого отклонения заданных параметров за установленные пределы, недопустимого увеличения эксплуатационных расходов или необходимости проведения капитального ремонта.

Продолжительность работы объекта называется наработкой. При работе объекта с перерывами учитывается суммарная наработка. Различают наработку до первого отказа, наработку между отказами и др. Наработка может измеряться как в единицах времени, так и в других единицах, например, циклах, километрах пробега и т.п. Наработка объекта от начала его эксплуатации до достижения предельного состояния называется техническим ресурсом. Срок службы объекта – это календарная продолжительность его эксплуатации от ее начала до наступления предельного состояния.

Надежность – комплексное свойство объекта, включающее его безотказность, ремонтопригодность, долговечность и сохраняемость.

Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторого времени или наработки. Основными показателями безотказности являются вероятность безотказной работы, интенсивность отказов, средняя наработка до первого отказа и другие.

Ремонтопригодность – приспособленность объекта к предупреждению и обнаружению отказов, к восстановлению работоспособного состояния путем технического обслуживания и ремонта. Основные показатели ремонтопригодности – вероятность восстановления, интенсивность восстановления, среднее время восстановления, средняя наработка на отказ (отношение наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа отказов в течение этой наработки), коэффициент готовности (отношение времени, в течение которого объект находится в работоспособном состоянии, к обшей длительности периода) и другие.

Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта. Основные показатели долговечности – средний ресурс, гамма-процентный ресурс (наработка, в течение которой объект не достигает предельного состояния с заданной вероятностью Показатели безотказности - student2.ru ), средний ресурс до капитального ремонта, средний срок службы и другие.

Сохраняемость – свойство объекта сохранять работоспособное состояние после хранения и (или) транспортировки. Основные показатели сохраняемости – средний срок сохраняемости и гамма-процентный срок сохраняемости.

Показатели безотказности

Предполагается, что отказ – событие случайное, поэтому время работы объекта до первого отказа Т – случайная величина.

Вероятностью безотказной работы (или функцией надежности) называется вероятность события, состоящего в том, что время до первого отказа окажется не ниже некоторой заданной величины t, называемой наработкой до отказа.

Показатели безотказности - student2.ru (1)

Естественно предположить, что в момент включения объект считается работоспособным: при t = 0 Показатели безотказности - student2.ru . С увеличением наработки t эта функция убывает до нуля (рис. 1).

Показатели безотказности - student2.ru

Рис. 1. Кривая вероятности безотказной работы

Вероятность того, что отказ произойдет до истечения заданного времени t называется вероятностью отказа. Отказ, очевидно, событие, противоположное работоспособности, поэтому вероятность отказа

Показатели безотказности - student2.ru . (2)

Нетрудно видеть, что вероятность отказа есть функция распределения случайной величины Т:

Показатели безотказности - student2.ru .

Если функция Показатели безотказности - student2.ru дифференцируема, то для характеристики безотказности может использоваться плотность распределения (рис. 1)

Показатели безотказности - student2.ru . (3)

Учитывая, что

Показатели безотказности - student2.ru ;

соответственно

Показатели безотказности - student2.ru ,

получим

Показатели безотказности - student2.ru . (4)

(использовано условие нормировки – площадь под кривой распределения равна единице).

Из формулы (4) следует, что вероятность безотказной работы соответствует площади под кривой распределения от заданного момента t до ∞ (на рис.2, б заштрихована). Элемент вероятности Показатели безотказности - student2.ru – это вероятность того, что случайная величина T примет значение, лежащее в пределах малого участка Показатели безотказности - student2.ru .

Средняя наработка до отказа есть математическое ожидание времени безотказной работы. Учитывая, что математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле

Показатели безотказности - student2.ru

Показатели безотказности - student2.ru

Рис. 2. Функция (а) и плотность распределения (б)

получим

Показатели безотказности - student2.ru ,

но

Показатели безотказности - student2.ru ,

тогда

Показатели безотказности - student2.ru , (5)

таким образом, средняя наработка на отказ численно равна площади под кривой вероятности безотказной работы Показатели безотказности - student2.ru .

Используя формулы для дисперсии непрерывной случайной величины

Показатели безотказности - student2.ru ,

можно по аналогии с (5) получить зависимость для дисперсии времени безотказной работы:

Показатели безотказности - student2.ru ,

откуда

Показатели безотказности - student2.ru . (6)

Предположим, что событие А = {отказ объекта при Показатели безотказности - student2.ru }, а событие В = {отказ объекта при Показатели безотказности - student2.ru }. Вероятность

Показатели безотказности - student2.ru

– это вероятность безотказной работы объекта. Тогда произведение этих событий АВ = {отказ в промежутке Показатели безотказности - student2.ru }, вероятность этого события

Показатели безотказности - student2.ru

(использовано свойство функции распределения и определение плотности распределения). По формуле умножения вероятностей

Показатели безотказности - student2.ru ,

здесь Показатели безотказности - student2.ru – вероятность отказа объекта в промежутке Показатели безотказности - student2.ru при условии, что он не отказал до момента t:

Показатели безотказности - student2.ru ;

эта вероятность пропорциональна отрезку времени dt, а коэффициент пропорциональности

Показатели безотказности - student2.ru (7)

называется интенсивностью отказов. Отметим, что при Показатели безотказности - student2.ru Показатели безотказности - student2.ru , поэтому Показатели безотказности - student2.ru .

Пример 1

Вероятность безотказной работы изменяется по линейному закону, показанному на графике (рис. 3, а). Найти интенсивность отказов.

Показатели безотказности - student2.ru

Рис. 3. Графики показателей надежности:

а – вероятность безотказной работы; б – плотность распределения;

в – интенсивность отказов

Уравнение прямой вероятности безотказной работы

Показатели безотказности - student2.ru ,

тогда по формуле (3) плотность распределения

Показатели безотказности - student2.ru ,

т.е. постоянна (рис. 3, б).

Интенсивность отказов

Показатели безотказности - student2.ru ;

соответствующая кривая – гипербола, при Показатели безотказности - student2.ru Показатели безотказности - student2.ru , при Показатели безотказности - student2.ru Показатели безотказности - student2.ru (рис. 3, в).

Выразим надежность через интенсивность отказов

Показатели безотказности - student2.ru ,

Показатели безотказности - student2.ru .

Интегрируя в пределах от 0 до t и учитывая, что Показатели безотказности - student2.ru , получим

Показатели безотказности - student2.ru ,

или

Показатели безотказности - student2.ru , (8)

т.е. получили зависимость вероятности безотказной работы от интенсивности отказов.

В общем случае, как показывает опыт, график зависимости интенсивности отказов от времени (рис. 4) приближенно может быть представлен состоящим из трех участков: при Показатели безотказности - student2.ru интенсивность отказов монотонно убывает – это период приработки, когда проявляются дефекты, обусловленные главным образом технологией изготовления объекта, при Показатели безотказности - student2.ru интенсивность постоянна ( Показатели безотказности - student2.ru )– это период нормальной эксплуатации объекта; при Показатели безотказности - student2.ru значения интенсивности снова возрастают – имеют место процессы старения.

Показатели безотказности - student2.ru

Рис. 4. Кривая интенсивности отказов

Кривую интенсивности отказов можно моделировать, используя различные виды распределения наработки до отказа. Наиболее распространенными являются экспоненциальное (рис. 5), нормальное и распределение Вейбулла.

Показатели безотказности - student2.ru

Рис. 5. Показатели надежности при экспоненциальном распределении:

а – вероятность безотказной работы; б – функция распределения;

в – плотность распределения; г – интенсивность отказов

В период нормальной эксплуатации интенсивность отказов практически постоянна: Показатели безотказности - student2.ru . Подставляя это соотношение в (8), найдем вероятность безотказной работы

Показатели безотказности - student2.ru ;

тогда функция распределения (или вероятность отказов)

Показатели безотказности - student2.ru

– это экспоненциальное распределение; плотность распределения

Показатели безотказности - student2.ru ,

средняя наработка до отказа:

Показатели безотказности - student2.ru ,

дисперсия наработки:

Показатели безотказности - student2.ru ,

с учетом зависимости для средней наработки до отказа вероятность безотказной работы может быть найдена по формуле

Показатели безотказности - student2.ru . (9)

При использовании нормального распределения для моделирования отказов следует иметь в виду, что в обычном нормальном распределении случайная величина может меняться в промежутке от –∞ до ∞. Наработка до отказа – величина неотрицательная, поэтому используется усеченное нормальное распределение с плотностью

Показатели безотказности - student2.ru ,

где постоянная с определяется из условия нормировки:

Показатели безотказности - student2.ru .

На практике обычно Показатели безотказности - student2.ru , тогда Показатели безотказности - student2.ru , в этом случае Показатели безотказности - student2.ru – средняя наработка до отказа, Показатели безотказности - student2.ru – дисперсия наработки. Имеем обычное нормальное распределение с плотностью

Показатели безотказности - student2.ru .

Функция нормального распределения может быть выражена через табулированную функцию стандартного нормального распределения

Показатели безотказности - student2.ru .

Вероятность безотказной работы:

Показатели безотказности - student2.ru . (10)

Используя полученные зависимости, можно выразить и интенсивность отказов (рис. 6). Из графиков видно, что нормальным распределением можно моделировать процессы старения, так как интенсивность отказов возрастает.

Показатели безотказности - student2.ru

Рис. 6. Показатели надежности при нормальном распределении:

а – вероятность безотказной работы; б – функция распределения;

в – плотность распределения; г – интенсивность отказов

В практических расчетах для моделирования процессов старения иногда используется логнормальное распределение, в котором нормально распределенным предполагается логарифм случайной величины Т.

Более универсальным при моделировании отказов различных объектов является распределение Вейбулла (рис. 7). Это распределение можно рассматривать как обобщение экспоненциального распределения: функция распределения Вейбулла

Показатели безотказности - student2.ru (11)

здесь Показатели безотказности - student2.ru и Показатели безотказности - student2.ru – параметры распределения, подбирая которые можно моделировать любой участок кривой интенсивности отказов.

Вероятность безотказной работы:

Показатели безотказности - student2.ru ; (12)

плотность распределения:

Показатели безотказности - student2.ru (13)

интенсивность отказов:

Показатели безотказности - student2.ru (14)

Показатели безотказности - student2.ru

Рис. 7. Интенсивность отказов при распределении Вейбулла:

а – вероятность безотказной работы; б – функция распределения;

в – плотность распределения; г – интенсивность отказов

В частности при m = 1 имеем экспоненциальное распределение, при m = 2 – распределение Рэлея ( Показатели безотказности - student2.ru – наклонная прямая), при m < 1 моделируется участок приработки, при m > 2 – процессы старения.

Пример 2

Наработка изделия до отказа имеет распределение Вейбулла с параметрами Показатели безотказности - student2.ru и m = 3. Найти вероятность безотказной работы в течение t = 102 ч.

Имеем:

Показатели безотказности - student2.ru .

Для оценки характеристик надежности по опытным данным проводятся специальные испытания. По результатам испытаний принимается решение о виде распределения времени до отказа, оцениваются вероятность безотказной работы, интенсивность отказов, средняя наработка до отказа и другие характеристики.

Предположим, что наблюдается работа N однородных объектов, каждое изделие работает до отказа, регистрируются значения времени до отказа Показатели безотказности - student2.ru . Полученные значения разбиваются на интервалы длиной Показатели безотказности - student2.ru . Обозначим через Показатели безотказности - student2.ru количество изделий, отказавших на участке времени Показатели безотказности - student2.ru , а через Показатели безотказности - student2.ru – количество изделий, оставшихся работоспособными к моменту времени t. Тогда оценка вероятности безотказной работы:

Показатели безотказности - student2.ru , (15)

оценка плотности распределения (по гистограмме относительных частот):

Показатели безотказности - student2.ru , (16)

оценка интенсивности отказов:

Показатели безотказности - student2.ru (17)

оценка средней наработки до отказа:

Показатели безотказности - student2.ru

Пример 3

Испытано 100 лампочек. 42 перегорели в первые 50 ч. работы, 28 проработали от 50 до 100 ч., 16 – от 100 до 150, 10 – от 150 до 200, 4 – от 200 до 250 ч. Найти оценки характеристик надежности (табл. 2).

Taблица 2

Наработка, ч. 0 – 50 50 – 100 100 – 150 150 – 200 200 – 250
Показатели безотказности - student2.ru
Показатели безотказности - student2.ru
Показатели безотказности - student2.ru 0,58 0,30 0,14 0,04
Показатели безотказности - student2.ru 0,0084 0,0056 0,0032 0,0020 0,0008
Показатели безотказности - student2.ru 0,0084 0,00965 0,01067 0,01429 0,02

Показатели безотказности - student2.ru ч.

Графики характеристик надежности показаны на рис. 8.

Показатели безотказности - student2.ru

X(t)

Рис. 8. Статистическая оценка показателей надежности:

а – вероятность безотказной работы; б – плотность распределения;

в – интенсивность отказов

По виду гистограммы относительных частот выдвигается гипотеза о виде распределения, проверяемая по одному из критериев согласия. Например, по критерию хи-квадрат вычисляется статистика

Показатели безотказности - student2.ru ,

где k – количество интервалов, Показатели безотказности - student2.ru – расчетная вероятность попадания случайной величины в данный интервал:

Показатели безотказности - student2.ru ,

где функция распределения Показатели безотказности - student2.ru вычисляется в соответствии с предполагаемым распределением.

При экспоненциальном распределении

Показатели безотказности - student2.ru

Для оценки параметра Показатели безотказности - student2.ru учитывается, что для экспоненциального распределения математическое ожидание – величина, обратная параметру Показатели безотказности - student2.ru , т.е.

Показатели безотказности - student2.ru .

При нормальном распределении

Показатели безотказности - student2.ru ,

где в качестве оценки дисперсии наработки используется

Показатели безотказности - student2.ru .

Гипотеза о предполагаемом распределении согласуется с опытом, если вычисленное значение Показатели безотказности - student2.ru окажется меньше квантили, которое находится по таблице: Показатели безотказности - student2.ru , где Показатели безотказности - student2.ru – уровень значимости, а l – количество неизвестных параметров, оцениваемых по выборке (для экспоненциального распределения Показатели безотказности - student2.ru , для нормального Показатели безотказности - student2.ru ).

В производственных условиях используют несколько различных типов испытаний на надежность. В зависимости от целей это могут быть определительные испытания, цель которых – оценка показателей надежности, и контрольные испытания для оценки уровня надежности исследуемого объекта. Контрольные испытания проводятся методами выборочного контроля при приемке продукции. В частности, широко используются методы последовательного контроля.

Испытания могут проводиться в лабораторных условиях или в условиях эксплуатации, при нормальной нагрузке и в ужесточенном режиме. Важной проблемой является длительность испытаний, поэтому часто применяют ускоренные испытания. Испытания характеризуются тремя параметрами:

– числом испытываемых изделий (N); в частном случае может испытываться и только одно изделие (N = 1);

– наличием или отсутствием восстановления (замены) вышедших из строя изделий (условное обозначение: М – восстановление, R – замена, U – без восстановления и замены);

– длительностью испытаний (условное обозначение: r – испытание до r-го отказа ( Показатели безотказности - student2.ru ), T – испытание длительностью Т, ( Показатели безотказности - student2.ru ) – испытание длительностью, равной Показатели безотказности - student2.ru , где Показатели безотказности - student2.ru – момент r-го отказа, Т – заданный промежуток времени.

Соответствующие обозначения планов: [NMr], [NRr], [NUr], [NMT[, [NRT], [NUT], [NM(r, T)], и т.п. В частности, условное обозначение плана испытаний в приведенном выше примере: (N, U, r) при Показатели безотказности - student2.ru .

Наши рекомендации