Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского

Мы видели, что интегрирование некоторых рациональных дробей часто связано с утомительными выкладками.

Метод Остроградского значительно сокращает и упрощает интегрирование этих дробей, что делает этот метод ценным.

В основе указанного метода лежит следующая формула Остроградского:

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ,

Где Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru - правильная несократимая рациональная дробь;

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru - общий наибольший делитель многочлена Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru его производной Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ;

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru - частное от деления Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru на Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ;

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru - неизвестные многочлены, степень каждого из которых по крайней мере на единицу ниже соответствующего знаменателя; при этом Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru называется рациональной частью интеграла.

Как практически выполняется интегрирование правильных рациональных дробей с помощью метода Остроградского, покажем на примере:

Пример6.6.60. Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ;

Применяем метод Остроградского. Здесь Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ;

Поэтому наибольший общий делитель: Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru и Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru есть Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ;

Тогда Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ;

Следовательно, согласно формуле Остроградского, мы будем иметь:

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru где Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru и Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru - многочлены степени не выше второй.

Напишем их с неопределенным коэффициентом

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Дифференцируя обе части этого равенства найдем:

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ;

Освобождаясь от знаменателя, получим тождество:

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левых частях этого тождества, получим систему уравнений:

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru , Решая ее, найдем:

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru , Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ,

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ,

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ,

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru . Следовательно

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru .

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ; Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ; Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru и т.д.

Подстановки Эйлера

Интегралы вида Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Где Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru - рациональная относительно Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru и Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru функция;

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ; могут быть вычислены с помощью специальных рационализирующих подстановок, называемых подстановками Эйлера.

Вообще, для вычисления интегралов этого вида существует много различных приемов, например, тригонометрические подстановки и другие, о которых шла речь выше.

Рассмотрим эти подстановки:

1-я подстановка Эйлера.

Так называется подстановка Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Она применяется, если Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Обе указанные разновидности этой подстановки (со знаком «+» и со знаком «-») однотипны (вопрос о том, какая из них удобнее, решается в каждом отдельном случае по-своему).

Рассмотрим одну из них: Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ; возводя обе части в получим:

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

видим, что член Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru уничтожается – в этом “соль” данной подстановки

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru .

Тогда Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ;

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru .

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru т.е. вопрос свелся к интегрированию рациональной функции

Пример6.6.61. Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru .

Где, Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru .

2-я подстановка Эйлера:

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru ;

Она применяется, когда Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Пусть Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru , Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Откуда видно, что Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru рационально выражаются через t и dt.

Пример6.6.62. Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru где Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

3 -я подстановка Эйлера:

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Пусть Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru , но корни трехчлена Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru действительны (если корни мнимые, то трехчлен при любом значении Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru – при Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru - отрицателен).

Пусть Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru и Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru - корни трехчлена, кроме того, пусть Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru .

Пример6.6.63. Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Где, Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского - student2.ru

Определенные интегралы

Наши рекомендации