Определение ошибки и необходимой численности выборки

Все ошибки выборочного наблюдения подразделяются на ошибки выборки (случайные); ошибки, вызванные отклонениями от схемы отбора (неслучайные); ошибки наблюдения (случайные и неслучайные).

Случайные ошибки – те, которые изменяются по вероятностным законам. К случайным относится ошибка выборки.

Ошибка выборки или ошибка репрезентативности – это разница между значением показателя, полученного по выборке, и генеральным параметром.

Средняя ошибка выборки зависит от объема выборки и степени вариации признака в генеральной совокупности. Уменьшение ошибки выборки, а следовательно, увеличение точности оценки, всегда связано с увеличением объема выборки. В этой связи уже на стадии организации выборочного наблюдения приходится решать вопрос о том, каков должен быть объем выборочной совокупности, чтобы была обеспечена требуемая точность результатов наблюдения.

Вид выборки также влияет на величину ошибки выборки. Формулы расчета средней ошибки и необходимой численности выборки при различных видах выборки представлены в табл. 6.2.

Предельная ошибка выборки связана с заданным уровнем вероятности. С учетом выбранного уровня вероятности и соответствующего ему значения t предельная ошибка выборки рассчитывается по формуле:

(6.1)

Тогда можно утверждать, что при заданной вероятности генеральная средняя будет находиться в следующих границах:

(6.2)

Таблица 6.2

Формулы расчета средней ошибки и объема выборки

Вид выборки	Средняя ошибка выборки ( )	Объем выборки (k)
повторной	бесповторной	повторной	бесповторной
Случайная (механическая)
– допустимая погрешность, которая задается исследователем исходя из требуемой точности результатов проектируемой выборки; – табличная величина, соответствующая заданной доверительной вероятности F(t), с которой будут гарантированы оценки генеральной совокупности по данным выборочного обследования; - генеральная дисперсия.
Типическая
– средняя из внутригрупповых дисперсий
Серийная
– число отобранных серий; – общее число серий – межгрупповая дисперсия: , – средняя i-й серии; x – общая средняя по всей выборочной совокупности

Пример 1.В результате выборочного обследования работников организации осуществленного на основе собственно-случайной повторной выборки, получен следующий ряд распределения (табл. 6.3).

Таблица 6.3. Результаты выборочного обследования работников организации

Возраст, лет	До 25	25 – 35	35 – 45	45 – 55	55 и более
Численность работников данного возраста

С вероятностью 0,954 определите границы среднего возраста работников организации.

Для определения средней ошибки выборки необходимо прежде всего рассчитать выборочную среднюю величину и дисперсию изучаемого признака. Информация для расчета данных показателей представлена в табл. 6.4

Таблица 6.4. Расчет среднего возраста работников организации и дисперсии

Возраст, лет	Численность лиц данного возраста	Середина интервала
До 25 25 – 35 35 – 45 45 – 55 55 и более
Итого		–

Среднюю ошибку выборки рассчитаем по формуле, представленной в табл. 6.1:

Определим по формуле (6.1) предельную ошибку выборки с вероятностью 0,954 (t = 2):

Установим границы генеральной средней, используя формулу (6.2):

или

Таким образом, на основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,954 можно заключить, что средний возраст работников организации лежит в пределах от 38 до 41 года.

Пример 2. Определите, сколько учащихся первых классов школ района необходимо отобрать в порядке собственно-случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,997 определить границы среднего роста первоклассников с предельной ошибкой 2 см. Известно, что всего в первых классах школ района обучается 1100 учеников, а дисперсия роста по результатам аналогичного обследования в другом районе составляет 24.

Для определения объема собственно-случайной бесповторной выборки будем использовать формулу, представленную в табл. 6.1. Необходимый объем выборки при уровне вероятности 0,997 (t = 3) составит:

Таким образом, для получения данных о среднем росте первоклассников с заданной точностью необходимо обследовать 52 школьника.

Пример 3. В целях изучения доходов населения по трем районам области сформирована 2%-ная выборка, пропорциональная численности населения этих районов. Полученные результаты представлены в табл. 6.5.

Таблица 6.5

Результаты выборочного обследования доходов населения

Район	Численность населения, чел.	Обследовано, чел.	Доход в расчете на 1 человека
средняя, тыс. р.	дисперсия
I II III			2,9 2,5 2,7	1,3 1,1 1,6

Определите границы среднедушевых доходов населения по области в целом при уровне вероятности 0,997.

Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

Рассчитаем среднюю ошибку типической бесповторной выборки по формуле, представленной в табл. 6.1:

Определим по формуле (6.1) предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997 (t = 3):

3*0,013 = 0,039

Рассчитаем выборочную среднюю:

В результате проведенных расчетов с вероятностью 0,997 можно сделать вывод, что среднедушевые доходы жителей данной области находятся в следующих границах (тыс. руб.)

Пример 4. В целях контроля качества комплектующих из партии изделий, упакованных в 50 ящиков по 20 изделий в каждом, была произведена 10%-ная серийная выборка. По попавшим в выборку ящикам среднее отклонение параметров изделия от нормы соответственно составило 9 мм, 11, 12, 8 м 14 мм. С вероятностью 0,954 определите среднее отклонение параметров по всей партии в целом.

Рассчитаем выборочную среднюю:

Определим величину межгрупповой дисперсии (формула представлена в табл. 6.1):

С учетом установленной вероятности Р = 0,954 (t = 2) средняя ошибка выборки составит (формула расчета средней ошибки серийной бесповторной выборки представлена в табл. 6.1):

,

а предельная ошибка выборки составит:

2*0,9 = 1,8 мм

Произведенные расчеты позволяют заключить, что среднее отклонение параметров всех изделий от нормы находятся в следующих границах:

Контрольные вопросы

1. Перечислите основные причины использования выборочного наблюдения.

2. В чем различие между генеральной и выборочной совокупностями?

3. Какие виды отбора единиц из генеральной совокупности вы знаете?

4. Напишите формулы расчета средней ошибки и объема бесповторной выборки.

5. Напишите формулы расчета средней ошибки и объема повторной выборки.