Примеры для самостоятельного решения. Пример 1. 27 марта 2008 года в Бухаресте состоялся товарищеский матч Румыния – Россия
Пример 1. 27 марта 2008 года в Бухаресте состоялся товарищеский матч Румыния – Россия. По его итогам эксперты газеты «Спорт-Экспресс» поставили каждому игроку, участвовавшему в матче, оценки по 10-бальной системе, оценив уровень физической подготовки. Данные приведены в таблице 3.
Таблица 3
| № | Россия | Румыния |
| - |
Можно ли утверждать, что по уровню физической подготовки команда Румынии не превосходила команду России (α= 0,01)?
Ответ:Гипотеза 
об одинаковом уровне физической подготовки команд отвергается. 
=21, 
=9.
Пример 2. Обследовались 2 мусульманские республики с целью определить степень религиозности населения. В качестве признака религиозности выбрали количество людей, посетивших мечеть за 12 главных религиозных праздников мусульман.
Таблица 4
| Праздник | Республика А | Республика В |
| – |
Можно ли утверждать, что в республике А уровень религиозности населения превышает уровень религиозности в республике В? Уровень значимости α = 0,05. : уровень религиозности в республике А не превышает уровень религиозности в республике В.
Ответ: 
принимается. = 4, = 6.
Пример 3. Кандидат в депутаты Государственной Думы выступает перед двумя различными аудиториями. В первой половине дня – перед студентами вузов, после 18 часов – перед рабочими кондитерских фабрик. В каждой из этих аудиторий проводится опрос с предложением оценить свое впечатление от кандидата по 10-ти бальной шкале, число опрашиваемых в обеих аудиториях – 12 человек. Полученные оценки:
| студенты | ||||||||||||
| рабочие |
: оценка выступления депутата студентами не превышает оценки его выступления рабочими. Уровень значимости α = 0,05.
Ответ: отвергается. = 9, = 6.
Пример 4.Сравнивалась производительность труда по количеству выпущенных деталей в смену у двух групп рабочих. В первую группу вошли рабочие со стажем больше 5 лет, во вторую – менее 5 лет. Получены данные:
| 1 группа (13 человек) | 2 группа (13 чел.) |
: рабочие первой группы не превосходят вторую группу по производительности (α=0,05).
Ответ: отвергается. =11, =6.
Пример 5.Выборка А и выборка В сопоставляются по некоторому количественно измеренному признаку. Проверить гипотезу 
выборка А не превышает выборку В по уровню исследуемого признака.
1) α = 0,01
| А: | В: |
| 132, | 126, |
| 134, | 127, |
| 124, | 132, |
| 132, | 120, |
| 135, | 119, |
| 132, | 126, |
| 131, | 120, |
| 132, | 123, |
| 121, | 120, |
| 127, | 123, |
| 136, | 120, |
| 129, | 116, |
| 136. | 123. |
Ответ: отвергается. =10, =9.
2) α = 0,05
| А: | В: |
| 696, | 681, |
| 703, | 695, |
| 713, | 701, |
| 720, | 711, |
| 719, | 713, |
| 725, | 720, |
| 730, | 723, |
| 746, | 735, |
| 751, | 731, |
| 756, | 740, |
| 780, | 743, |
| 793. | 756. |
Ответ: принимается. =4, =6.
3) α = 0,05
| А: | В: |
| 150, | 138, |
| 147, | 137, |
| 147, | 133, |
| 142, | 130, |
| 141, | 130, |
| 140, | 130, |
| 140, | 127, |
| 137, | 125, |
| 136, | 121, |
| 132, | 119, |
| 130, | 119, |
| 125. | 115. |
Ответ: отвергается. =11, =6.
4) α = 0,01
| А: | В: |
| 928, | 800, |
| 915, | 815, |
| 930, | 825, |
| 1000, | 900, |
| 1020, | 887, |
| 1015, | 825, |
| 990, | 834, |
| 958, | 910, |
| 895, | 915, |
| 935, | 810, |
| 1005, | 928, |
| 1012. | 890. |
Ответ: отвергается. =17, =9.
5) α = 0,01
| А: | В: |
| 95, | 26, |
| 104, | 29, |
| 100, | 30, |
| 93, | 30, |
| 86, | 42, |
| 70, | 58, |
| 55, | 70, |
| 50, | 86, |
| 52, | 83, |
| 58, | 67, |
| 79, | 48, |
| 93. | 40. |
Ответ: отвергается. =13, =9.
U- критерий Манна-Уитни
Назначение критерия.U-критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. В отличие от Q – критерия Розенбаума позволяет выявлять различия между малыми выборками. Когда 
. U – более мощный, чем Q-критерий. Эмпирическое значение U-критерия отражает то, насколько велика зона совпадений между выборками. Чем меньше Uэмп, тем более вероятно, что различия значимы.
Ограничения критерия. В каждой выборке должно быть не больше 60 наблюдений.
Гипотезы:
уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.
уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.
Замечание. 1 группа считается та, в которой значение признака по предварительной оценке выше.
Алгоритм подсчета U- критерия Манна-Уитни.
1. Расположить все значения двух выборок в единый ряд по степени увеличения признака. При этом надо сохранить возможность различать в едином ряду значения признака 1 выборки от значений второй, например, записав их ручками двух различных цветов.
2. Проранжировать весь ряд значений по следующим правилам:
а) меньшему значению меньший ранг;
б) если несколько значений равны, им начисляется ранг, равный среднему арифметическому тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны;
в) подсчитать общую сумму рангов, сравнить с расчетной. Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая определяется по формуле: 
где N - общее количество ранжируемых наблюдений, N = n1 + n2.
3. Вновь расположить значения признака вместе с присвоенными им рангами: отдельно выборка 1 и выборка 2.
4. Подсчитать сумму рангов для каждой выборки отдельно; определить большую из ранговых сумм.
5. Определить эмпирическое значение U – критерия по формуле:
где 
объем выборки 1,
объем выборки 2,
большая из двух ранговых сумм,
объем выборки с большой суммой рангов.
6. Задается уровень значимости α.
7. Определить критические значения критерия 
из таблицы критических значений U – критерия Манна-Уитни (таблица II приложения) для известных значений 
, 
и заданного уровня значимости α.
8. Если 
> , принимается, если ≤ , отвергается.
Пример. За 6 месяцев было подсчитано количество ДТП в месяц, совершенных водителями частных автомобилей и водителями общественного транспорта в г. Москве.
Можно ли утверждать, что число нарушений правил дорожного движения водителями общественного транспорта не меньше, чем водителями частных автомобилей? Уровень значимости α = 0,05.
Таблица числа ДТП за 6 месяцев
| месяцы | Частные автомобили | Общественный транспорт |
Решение.Выполнив 1-3 шаг описанного выше алгоритма подсчета U – критерия, получим таблицу:
| Частные автомобили | Общественный транспорт | ||
| Число ДТП | ранг | Число ДТП | ранг |
| 8,5 | |||
| 6,5 | 8,5 | ||
| 6,5 | |||
| суммы | - |
Подсчитаем сумму рангов в таблице 
. Расчетная сумма рангов: 
.
Равенство реальной и расчетной сумм соблюдено.
Большая ранговая сумма у частных автомобилей. Сформулируем гипотезу : группа частных автомобилей не превосходит по числу ДТП группу общественного транспорта. 
: у частных водителей уровень ДТП выше. Определим .
.
Находим в таблице значений U – критерия при 
и α = 0,05. = 7. Делаем вывод: > , нулевая гипотеза принимается, т.е. количество ДТП у водителей общественного транспорта не меньше, чем у водителей частных автомобилей.