Примеры для самостоятельного решения. Пример 1. В продовольственном магазине проведены контрольные взвешивания проданной колбасы

Пример 1. В продовольственном магазине проведены контрольные взвешивания проданной колбасы. Полученные данные указаны в таблице:

недовес, г
частота

Определить с помощью λ – критерия Колмогорова-Смирнова на уровне значимости α = 0,05, согласуются ли данные выборки с равномерным распределением на отрезке [0,10].

Ответ:данные выборки согласуются с равномерным распределением на отрезке [0,10].

Пример 2. В таблице указаны результаты проверки по недовесам покупателям одного вида овощей:

Интервалы недовесов, г	Частота (выборка 1)	Частота (выборка 2)
0 – 10
10 – 20
20 – 30
30 – 40
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90

Уровень значимости α = 0,05. Проверить гипотезу о том, что недовесы овощей определяются одним и тем же законом распределения.

Ответ: λ_эмп =0,559; λ_кр=1,358. принимается.

Пример 3. В таблице указаны результаты проверки по недовесам покупателям одного вида овощей:

Интервалы недовесов, г	Частота (выборка 1)	Частота (выборка 2)
0 – 10
10 – 20
20 – 30
30 – 40
40 – 50
50 – 60
60 – 70
70 – 80
80 – 90

Уровень значимости α = 0,05. Проверить гипотезу о том, что недовесы овощей определяются одним и тем же законом распределения.

Ответ: принимается.

Пример 4. 100 избирателям предложили распределить 9 кандидатов в депутаты по 9 позициям в порядке предпочтения. Эмпирические частоты попадания депутата Иванова на каждую из 9 позиций представлены в таблице:

Эмпирические частоты	Позиции депутата Иванова

Можно ли утверждать, что распределение голосов за депутата Иванова по 9 позициям не отличается от равномерного распределения ( ). Уровень значимости α=0,05.

Ответ:λ_эмп = 1,8; λ_кр = 1,358. отвергается.

Пример 5. 2 группы студентов сдают зачет по 10-ти балльной системе. 1 группа готовилась к зачету по лекциям, 2 группа – по учебникам. Проверить гипотезу о том, что распределение оценок в 1 и 2 группах одинаково. Уровень значимости α=0,05.

1).

оценки
гр 1
гр 2

Ответ:λ_эмп = 1,4; λ_кр = 1,358. отвергается.

2).

оценки
гр 1
гр 2

Ответ:λ_эмп =0,7; λ_кр = 1,358. принимается.

3).

оценки
гр 1
гр 2

Ответ:λ_эмп =0,6; λ_кр = 1,358. принимается.

4).

оценки
гр 1
гр 2

Ответ:λ_эмп =0,4; λ_кр = 1,358. принимается.

5).

оценки
гр 1
гр 2

Ответ:λ_эмп =0,4; λ_кр = 1,358. принимается.

Критерий Пирсона

Назначение критерия. Критерий χ² применяется в двух случаях:

1) при сопоставлении эмпирического распределения признака с теоретическим, чаще всего с нормальным распределением;

2) при сопоставлении двух, трех и более эмпирических распределений одного и того же признака.

В настоящем пособии мы рассматриваем применение χ² – критерия для второго из перечисленных выше случаев, т.к. пособие посвящено непараметрическим критериям, а их применение не требует распределение признака по нормальному закону.

Ограничения критерия.

Объем выборки должен быть достаточно большим – n ≥ 30. При n < 30 критерий χ² дает приближенные значения. Точность критерия повышается при больших n.

Гипотезы. Возможны несколько вариантов гипотез в зависимости от задач, которые решает исследователь.

1) : эмпирическое распределение 1 не отличается от эмпирического распределения 2; : эмпирическое распределение 1 отличается от эмпирического распределения 2.

2) : нет связи между значениями двух признаков; : есть связь между значениями двух признаков.

Описание подсчета χ² – критерия.

Будем проверять гипотезу о наличии связи между значениями двух величин. : нет связи между значениями двух величин. : есть связь между значениями двух величин.

Описание подсчета χ² – критерия приведем на примере.

Пример. Студенты сдавали экзамены по математике и физике. Есть ли связь между результатами экзаменов? Ниже представлена таблица наблюдаемых частот f_о.

Результаты экзаменов по математике	Результаты экзаменов по физике
Пять	Четыре	Три	Два
Пять
Четыре
Три
Два

Решение. В клетке 1,1 (первая строка, первый столбец) стоит число 25, т.е. 25 студентов получили и по физике и по математике одинаковые оценки. В клетке 4,2 (4 строка, 2 столбец) указано число 10, т.е. 10 студентов получили хорошие оценки по физике и неудовлетворительные по математике, и т.д.

: нет связи между оценками по физике и математике;

: есть связь между оценками по физике и математике.

Построим таблицу ожидаемых частот f_e. Сначала суммируем числа по строкам и столбцам предыдущей таблицы:

Результаты экзаменов по математике	Результаты экзаменов по физике	Сумма
Пять	Четыре	Три	Два
Пять
Четыре
Три
Два
Сумма

Получены результаты экзаменов у 225 студентов (n=225). Отличный результат по математике показали 58 студентов, т.е. доля тех, кто получил отличные оценки по математике, равна 58/225. Если верна гипотеза , то можно ожидать, что 58/225 из 68 студентов, получивших отличные оценки по физике, показали отличные знания и по математике. Аналогично можно рассчитать и другие ожидаемые частоты:

Результаты	Результаты экзаменов по физике	Сумма
Пять	Четыре	Три	Два
Пять	68∙58/225	64∙58/225	54∙58/225	39∙58/225
Четыре	68∙57/225	64∙57/225	54∙57/225	39∙57/225
Три	68∙70/225	64∙70/225	54∙70/225	39∙70/225
Два	68∙40/225	64∙40/225	54∙40/225	39∙40/225
Сумма

Если в какой-то клетке получилось значение меньше 5, то нужно объединить какие-то строки или столбцы. Ожидаемые частоты нельзя округлять до целого значения.

Итак, получена таблица:

Результаты экзаменов по математике	Результаты экзаменов по физике	Сумма
Пять	Четыре	Три	Два
Пять	17,5	16,5	13,9	10,1
Четыре	17,2	16,2	13,7	9,9
Три	21,2	19,9	16,8	12,1
Два	12,1	11,4	9,6	6,9
Сумма

Уровень значимости α=0,05, m=[(число строк таблицы – 1)∙(число столбцов таблицы –1)]=(4-1)∙(4-1) = 9. Для α и m по таблице χ² – распределения (таблица VI приложения) найдем χ²_кр = 16,92.

Замечание 1. Для нахождения χ²_кр можно также воспользоваться статистической функцией ХИ20БР(α; m) мастера функций f_x пакета Excel.

Теперь найдем значение статистического критерия χ². Для этого заполним таблицу А, поясним, как это сделать. Наблюдаемые частоты f_о пишем в первом столбце, а соответствующие им ожидаемые частоты f_е – во втором столбце. Третий столбец таблицы заполняется разностями (f_о - f_е), четвертый – квадратами этих разностей. В пятом столбце – значения, вычисленные по формуле . Последняя строка таблицы – сумма чисел в каждом столбце. Сумма чисел пятого столбца – это и есть эмпирическое значение χ² – критерия:

χ²_эмп = ∑ = 24,40.

Если χ²_эмп > χ²_теор, то гипотеза отклоняется. Есть связь между оценками по математике и физике.

Таблица А

fo	fe	fo - fe	(fo - fe)2	(fo - fe)2 ∕ fe
	17,5	7,5	56,25	3,21
	17,2	2,8	7,84	0,46
	21,2	-6,2	38,44	1,81
	12,1	-4,1	16,81	1,39
	16,5	1,5	2,25	0,14
	16,2	-0,2	0,04	0,00
	19,9	0,1	0,01	0,00
	11,4	-1,4	1,96	0,17
	13,9	-3,9	15,21	1,09
	13,7	1,3	1,69	0,12
	16,8	5,2	27,04	1,61
	9,6	-2,6	6,76	0,70
	10,1	-5,1	26,01	2,58
	9,9	-3,9	15,21	1,54
	12,1	0,9	0,81	0,07
	6,9	8,1	65,61	9,51
Сумма	-		-	24,40

Замечание 2. Вместо заполнения последней таблицы можно воспользоваться статистической функцией ХИ2ТЕСТ мастера функций пакета Excel. f_x → статистические → Х2ТЕСТ → о^,к. Появляется диалоговое окно. В графе «фактический интервал» указывается ссылка на ячейки, в которых хранятся наблюдаемые частоты. В графе «ожидаемый интервал» указывается ссылка на ячейки, в которых хранятся ожидаемые частоты. О^,к. Если полученное значение превышает заданный уровень значимости α, то гипотеза отклоняется.