Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы)

Если X1, X2, . . . , Xn−r — любая фундаментальная система приведенной системы (3), а Сn — любое частное решение неоднородной системы (3), то сумма X = Cn + Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru 1 X1 + Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru 2 X2 + . . . + Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru n−r Xn−r (6) при любых произвольных постоянных Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru j, Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , является общим решением неоднородной системы (1).

Доказательство. Пусть С – общее решение неоднородной системы (1), Сn – любое частное решение неоднородной системы (1). Тогда ( С – Сn ) – решения неоднородной системы (3). По теореме о структуре общего решения однородной системы С

С – Сn = Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru 1 X1 + Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru 2 X2 + . . . + Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru n−r Xn−r ,

где Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru 1, .., Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru n - r - произвольные постоянные.

X1, .. , Xnr - ФСР приведенной системы (3)

C = Cn + Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru 1 X1 + Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru 2 X2 + . . . + Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru n−r Xn−r .

Билет № 16

Векторная ортогональная проекция напр. Отрезка АВ на ось l называется напр отрезок А’B’, где А’иB’- проекции точек А и В на ось l.

Теорема 1. 1. Ортогональная проекция вектора a на направление ненулевого вектора l равна длине |a|, умноженной на косинус угла φ между векторами a и l, т. е. где (a, l) — угол между векторами a и l. Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

◄ Пусть вектор l лежит на прямой L, а его началом является точка A. Совместим начало вектора a с точкой A, и пусть его концом будет точка B (рис. 1. 10). Построим ортогональную проекцию C точки B на прямую L. Тогда вектор AC является ортогональной проекцией вектора a=AB на прямую L.

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

Если угол φ между векторами a и l острый (как это показано на рис. 1. 10, а), то конец вектора l и точка C лежат по одну сторону от точки A. В этом случае проекция a на направление вектора l равна длине |AC | = |AB| cos φ катета AC треугольника ABC.

Если угол φ тупой (см. рис. 1. 10, б), то конец вектора l и точка C лежат по разные cтоpоны от точки A. Это значит, что векторы AC и l имеют противоположные направления, а проекция вектора a равна - |AC|. В треугольнике ABC угол ψ, прилежащий к катету AC, равен π - φ, поэтому |AC | = |AB | cos(π - φ) = - |AB| cos φ.

Если же φ = π/2 или a = 0, то точка C совпадает с точкой A и вектор AC является нyлевым вектором. Однако cos π/2 = 0, следовательно, и в этом случае утверждение теоремы справедливо. ►

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

Теорема 1. 2. Ортогональная проекция cyммывeктopoв на направление ненулевого вектора равна сумме их ортогональных проекций на направление этого вектора, а при умножении вектора на число его ортогональная проекция на направление ненулевого вектора умножается на то же число:

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

◄ Доказательство следует из рис. 1. 11. В случае, изображенном на рис. 1. 11, а, имеем прl a = |AB|, пpl b = -|BC|, пpl(a + b) = |AC| = |AB| - |BC|. В случае, изображенном на рис. 1. 11, б, пpl a = |AB| и, если λ > 0, пpl(λa) = |AE| = λ|AB|. Оcтальные варианты (точка C не принадлежит отрезку AB в случае а, λ ≤ 0 в случае б) рассматриваются аналогично. ►

Билет №17

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

Билет №24

Опр:Непустое множество M векторов линейного пространства L называется

подпространством, если

I. для любых Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru ∈M Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru + Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru ∈M;

II. для любого Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru ∈M и любого α ∈ K α Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru ∈M.

Подпространство M обладает следующими свойствами:

1) если Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru ... Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru - вектора линейного подпространства М, то любая их комбинация α Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru …α Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru тоже лежит в подпространстве М

2) Линейное подпространство М само является линейным пространством

Д: 1) Основываясь на условия, соответствующие линейному подпространству (для любых Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru ∈M Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru + Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru ∈M;для любого Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru ∈M и любого α ∈ K α Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru ∈M.), можно сделать вывод, что линейная комбинация векторов Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru ... Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru тоже лежит в этом подпространстве.

2) Для любого Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru : Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

Доказать, что 1) множество всех решений однородной системы АХ=0 с n неизвестными является линейным подпространством арифметического пространства Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

2) размерность пространства решений однородной системы АХ=0 с n неизвестными равна n-r где r=rangA

Д:1) Пусть Х1 Х2 – частные решения однородной СЛАУ, Х – общее решение однородной СЛАУ, тогда для Х, Х1, Х2 выполняются следующие условия:

Х=Х12

Х=Х2

Х=α1Х1+…+αmХm

Таким образом Х линейное подпространство арифметического пространства

2) Т.к. однородная СЛАУ имеет n-rрешений, то есть Х=Х1+…Хn-rа Х является линейным подпространством М, то размерность М равна количеству решений однородной СЛАУ, значит dimM=n-r (dim– размерность)

Билет №28

Коллинеарные прямые

Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают.

Получим условие коллинеарности двух прямых Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru и Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , заданных общими уравнениями:

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru (1)

 

Необходимым и достаточным условием коллинеарности прямых (1) является условие коллинеарности их нормалей Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru и Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru . Следовательно, если прямые (1) коллинеарны, то Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , т.е. существует такое число Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , что

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru и наоборот.

Прямые совпадают, если помимо этих условий справедливо Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru . Тогда первое уравнение в (1) имеет вид Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , т.е. равносильно второму, поскольку Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru .

Таким образом, прямые (1) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , что Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , но Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru . Прямые (1) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны:

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru


Условия параллельности или совпадения прямых (1) можно записать в виде

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru


Условие коллинеарности двух прямых (1) можно записать в виде

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

Пересекающиеся прямые

Необходимым и достаточным условием пересечения двух прямых (1) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru (2)


При этом условии система уравнений

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

имеет единственное решение Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , которое определяет точку Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru пересечения прямых (1).

Угол между прямыми.Пусть две прямые ℓ1 и ℓ2 с направляющими векторами Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru = (m1, n1) и Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru = (m2, n2) заданы своими каноническими уравнениями:

1 : Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru ;

2 : Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru .

Угол ϕ между прямыми ℓ1 и ℓ2 равен углу между их направляющими векторами Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru и Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , если ( Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru ) > 0, и дополняет этот угол до π, если ( Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru ) < 0.

Следовательно,

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru .

Если прямые заданы общими уравнениями

A1x + B1y + C1 = 0,

A2x + B2y + C2 = 0, то,

учитывая связь между координатами направляющих векторов Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru = (m1, n1) и Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru = (m2, n2) и их нормалями Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru = (A1, B1) и Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru = (A2, B2):

A1 = n1, B1 = −m1; A2 = n2, B2 = −m2,

из можно получить еще одну формулу:

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru .

· Углом от прямой ℓ1 до прямой ℓ2 называется угол от направляющего вектора Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru = (m1,n1) прямой ℓ1 до направляющего вектора Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru = (m2,n2) прямой ℓ2. Его обозначают ∠(ℓ1 Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru2).

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

Определенный таким образом угол, вообще говоря, зависит от ориентации направляющих векторов Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru и Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru прямых ℓ1 и ℓ2. Если направляющие векторы выбраны так, как показано на рис. a, то

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru (положительным считается направление вращения против часовой стрелки).

Если же направляющие векторы выбраны так, как показано на рис.б, то

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , где ϕ — угол между векторами Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru и Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , показанный на рис. a.

Таким образом запишем

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru .

можно эту формулу переписать через координаты нормалей Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru = (A1,B1) и Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru = (A2,B2) к прямым:

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru .

Перейдя от общих уравнений прямых к уравнениям с угловыми коэффициентами

y = k1x + b1, y = k2x + b2, найдем связь между координатами нормалей и угловыми коэффициентами: k1 = − Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru , k2 = − Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru .

Теперь, разделив числитель и знаменатель правой части на B1B2, получим

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

Это соотношение запишется в виде tg[∠(ℓ1 7→ ℓ2)] = k2 − k1 1 + k1k2 . Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

Прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны, если угол между ними равен нулю. Условия параллельности двух прямых:

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru k1 = k2

Прямые ℓ1 и ℓ2 будут перпендикулярны, если угол между ними будет равен π/2. Это возможно при выполнении условий

m1m2 + n1n2 = 0, A1A2 + B1B2 = 0, k1 = − 1 /k2 (tg π /2 → ∞, 1 + k1k2 = 0)

Формулы определяют условия перпендикулярности двух прямых.

Если угол между прямыми отличен от нуля, т.е.

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru k1 ≠k2

то они пересекаются в единственной точке x0, y0, которую можно найти, например, из системы

A1x + B1y = −D1,

A2x + B2y = −D2.

Единственность решения x0, y0 системы и, следовательно, точки пересечения гарантирована условием Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

Для параллельных прямых из системы следует, что они либо совпадают, и в этом случае Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru ,

либо вообще не пересекаются, и в этом случае

Теорема 3. (о структуре общего решения неоднородной системы) - student2.ru

В первом случае система не определена и имеет бесконечное множество решений, а во втором система несовместна.

Наши рекомендации