Преобразования, не изменяющие ранг матрицы

Следующие преобразования не изменяют ранг матрицы:

1) Транспонирование. ◀ При транспонировании определитель не меняется и поэтому, минорам равным нулю будет поставлено в соответствии миноры, равные нулю, а минорам не равным нулю будут соответствовать миноры, не равные нулю (0 « 0 и ù 0 «ù 0). ▶

2) Перестановка двух строк (столбцов). ◀ Любой минор – это полилинейный антисимметричный функционал j(а₁, а₂, …, a_k, …, a_j, …, a_r) = – j(а₁, а₂, …, a_k, …, a_j, …, a_r).

Отсюда ясно, что 0 « 0 и ù 0 « ù 0. ▶

3) Умножение всех элементов строки (столбца) на число C ≠ 0 .

◀ j(a₁, a₂,…, ca_k, …, a_r) = cj(a₁, a₂,…, a_k , …, a_r) Þ 0 « 0 и ù 0 « ù 0. ▶

4) Прибавление ко всем элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца). ◀ Не ограничивая общности, можно считать, что к элементам 1^й строки прибавляются элементы 2^й строки

j(a₁+ a₂, a₂, a₃ ,…,a_r) = j(a₁, a₂,…, a_r) + j(a₁ a₂, a₃,…, a_r) = j(a₁, a₂,…, a_r). ▶

5) Вычеркивание нулевой строки (столбца). ◀ Включение в систему векторов нулевого вектора или выбрасывание нулевого вектора не изменяет dimℒ(a₁, a₂,…, a_r). ▶

6) Вычеркивание строки (столбца), являющейся линейной комбинацией остальных.

◀ Достаточно воспользоваться свойствами 3), 4) и 5). ▶

Однородные системы

Рассматривается однородная система линейных уравнений с n-неизвестными:

Ах =0 х(х_1,x₂, …, x_n).

9°. Если rangA = n, то система имеет только тривиальное решение (х₁ = x₂ = …= x_n = 0);

Если rangA < n, то система кроме тривиальных имеет и не тривиальные решения.

◀ Запишем систему Ах = 0 как линейную комбинацию столбцов: x₁S₁+ x₂S₂+…+ x_nS_n =0 .

1) rangA = n Þ столбцы S₁, S₂, …, S_n линейно независимы х₁ = x₂ = …= x_n = 0 (как коэффициенты тривиальной линейной комбинации линейно независимых векторов).

2) rangA = r < n Þ S₁, S₂, …, S_n – линейно зависимы Þ $ ненулевой набор х₁, x₂,…, x_n,такой что x₁S₁+ x₂S₂+… + x_nS_n =0. ▶

10°. Если с⁽¹⁾ и с⁽²⁾ два различных решения однородной системы Ах = 0, то "a₁, a₂ÎК a₁с⁽¹⁾+ a₂с⁽²⁾тоже решение той же системы.

◀ Справедливость этого утверждения следует из известного свойства матриц

А(a₁ с⁽¹⁾+ a₂с⁽²⁾) = a₁А с⁽¹⁾+ a₂Ас ⁽²⁾= 0. ▶

По сути дела теперь можно утверждать, что множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное пространство L.

11°. Размерность пространства L решений линейной однородной системы уравнений Ах = 0 с n-неизвестными удовлетворяет соотношению: dimL = n – rangA.

◀ Пусть rangA = r и S₁, S_{2, …,} S_r – базисные столбцы матрицы А.

Записав систему Ах = 0в виде x₁S₁+ x₂S₂+…+ x_rS_r = –x_r+1S_r+1– x_r+2S_r+2–… – x_nS_n, отметим, что по набору x_r+1, x_r+2, …, x_n, всегда, и притом однозначно, находятся x₁, x₂, …, x_r (по теореме Крамера).

Пусть ( c₁, c₂, …, c_r, c_r+1, …, c_n) решение системы Ах = 0.Каждому такому вектору из L поставим в соответствие вектор (c_r+1, c_r+2,…, c_n) из К_n–r.Это соответствие взаимно однозначно в силу сделанного выше замечания. Соблюдается это соответствие и при сложении векторов, и при умножении вектора на скаляр. Таким образом пространства L и К_n–r изоморфны и, следовательно, dimL = dimК_n–r = n – r = n – rangA. ▶

Доказанная только что теорема дает и способ построения базиса в L .

Записав систему Ах = 0в виде x₁S₁+ x₂S₂+ … + x_rS_r = – x_r+1S_r+1– x_r+2S_r+2 –… – x_nS_n.

1) Положим x_r+1 =1, x_r+2 = x_r+3=… = x_n = 0. Найдем (они существуют и единственны по теореме Крамера). Получим вектор – решение: е₁( ,1, 0, 0,…, 0).

2) Положим: x_r+1 =0, x_r+2 =1, x_r+3 = … = x_n = 0. Найдем . Получим:

е₂( ,0, 1, 0, …, 0).

3) Получим: .

4) Построенная система векторов линейно независима и образует базис в L.

Неоднородные системы

Рассматривается неоднородная система линейных уравнений Ах = b с n-неизвест-ными.

12°. (Кронекер-Капелли). Система Ах = b совместна тогда, и только тогда, когда ранг главной матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы rangA =rangà (à = (A|b)).

◀ 1) Пусть система Ах = b – совместна Þ $с такой, что Ас = b т.е. c₁S₁ + c₂S₂ +…+ c_nS_n=b. Таким образом, последний столбец матрицы à является линейной комбинацией столбцов матрицы А Þ rangA = rangà .

2). Пусть rangA = Ã . Тогда базисные столбцы общие, т.е. являются столбцами матрицы А Þ столбец b является линейной комбинацией столбцов s_1, s_2, … , s_n Þ$c₁, c_2, …, c_n такие, что c₁S₁ + c₂S₂ +…+ c_nS_n = b т.е. Аc = b. Система совместна.▶

13°. Если неоднородная система линейных уравнений совместна и rangA = rangà = n,то она имеет единственное решение (по теореме Крамера).

Пусть теперь rangA = rangà = r ≤ n.

14°. Разность двух различных решений неоднородной системы линейных уравнений является решением соответствующей однородной системы, т.е. если c⁽²⁾ и c⁽¹⁾ два решения неоднородной системы Ах = b, то c⁽²⁾ – c⁽¹⁾ решением однородной системы Ах = 0.

◀ А(c⁽²⁾ – c⁽¹⁾) = Аc⁽²⁾ – Аc⁽¹⁾ = b – b = 0,т.е. c⁽²⁾ – c⁽¹⁾ = c⁽⁰⁾. Здесь через c⁽⁰⁾ обозначено некоторое решение однородной системы. ▶

15°. Сумма любого решения однородной системы c⁽⁰⁾ и некоторого решения неоднородной системы c⁽¹⁾ есть решение неоднородной системы.

◀ А(c⁽⁰⁾ – c⁽¹⁾) = Аc⁽⁰⁾ + Аc⁽¹⁾ = 0 + b = b.▶

Предыдущие два утверждения доказывают теорему об общем виде решения неоднородной системы и линейных уравнений.

16°. Общее решение неоднородной системы уравнений есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы. Эту фразу можно записать с помощью легко запоминающейся аббревиатуры:

О. Р. Н. С. = О. Р. О. С. + Ч. Р. Н. С.

Способ решения неоднородных систем линейных уравнений таков:

1). Если rangA = rangà = n, то решение единственно и может быть найдено по Крамеру;

2). ЕслиrangA = rangà = r < n то, записав систему в виде

x₁S₁ + x₂S₂ +…+ x_rS_r = b – x_r+1S_r+1 –…– x_nS_n.

а) положив x_r+1, x_{r+2, …,} x_n равными любим фиксированным значениям, получим систему неоднородную (r- уравнений с r-неизвестными) имеющей единственное решение, ибо ее определитель не равен 0. Тем самым будет найдено частное решение неоднородной системы.

b) выбросив вектор b: x₁S₁ + x₂S₂ +…+ x_rS_r = – x_r+1 S_r+1 –…– x_nS_n и применяя процедуру, описанную в предыдущем параграфе, построим базис в пространстве L решений однородной системы уравнений {e₁, e₂, ..., e_n–r}.

с). Тогда x^{(неодн.)} = x^{(частн.)} +

Система векторов {e₁, e₂, ..., e_n–r} называется фундаментальной системой решений для системы уравнений Ах = 0.

Если М – множество решений неоднородной системы уравнений, x^(r)– некоторое частное решение неоднородной системы уравнений, L– пространство решений соответствующей линейной однородной системы, то M = x^(r)+ L, т.е. М – есть линейное многообразие размерности n – r.