Умножение вектора на скаляр
Векторная алгебра. Векторы.
П.1 основные определения.
Существуют скалярные и векторные величины. Скалярные характеризуются своим численным значением (например, температура, работа, плотность,…), а векторные, кроме численного значения, обладают также направлением в пространстве (например, сила, скорость,…).
Определение 1. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной В.
Начало вектора называется его точкой приложения.
Определение 2. Длиной вектора называется длина отрезка . Число, равное длине вектора, измеренного выбранной масштабной единицей, называется модулем.
Задать вектор – это значит задать его модуль и направление в пространстве.
Определение 3. Вектор называется единичным, если =1. Вектор называется нулевым или нуль-вектором, если . Нулевой вектор имеет любое направление.
Определение 4. Векторы и называются сонаправленными, если они параллельны (лежат на одной или параллельных прямых) и имеют одинаковое направление, если при этом направление не совпадает, то векторы называются противоположно направленными.
– сонаправлены. – противоположно направлены.
Определение 5.Векторы и называются равными, если .
Определение 6. Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с вектором , называется ортом вектора и обозначается .
=1.
Определение 7. Вектор, выходящий из начала координат, называется радиус-вектором.
С помощью параллельного переноса векторы можно перемещать в любое место пространства.
П.2 Линейные действия над векторами.
Сложение векторов.
А) Правило треугольника: + = .
В) Правило параллелограмма: вектор направлен по диагонали параллелограмма, построенного на векторах и .
С) Для сложения трех векторов в пространстве существует правило параллелепипеда: + + = .
Свойства сложения: 1. + = +
2. + + = ( + )+ = + ( + )
3. + =
4. Если + + = , то
Вычитание векторов.
Определение 8.Противоположным вектором к вектору называется вектор , причем .
Вычесть вектор, значит прибавить противоположный (по правилу параллелограмма):
Или по правилу треугольника
Вывод из 1 и 2 :
векторы суммы и разности векторов направлены по диагоналям параллелограмма, построенного на векторах и .
Умножение вектора на скаляр.
Определение 9.Пусть λ – действительное число, тогда произведением числа λ на вектор называется вектор такой, что 1) 2) , если и , если .
, причем .
Умножение вектора на число – это растяжение или сжатие вектора с сохранением или с изменением на противоположное направления.
Свойства произведения: 1. 2. 3. 4.
5. λ ( + ) = λ + λ 6. 7. 8.
Определение 10. Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.
коллинеарен любому вектору.
Теорема 1(о необходимом и достаточном условии коллинеарности векторов). Равенство , где λ – действительное число, справедливо тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, при этом если , то , если , то , если λ = 0, то направление любое.
Доказательство.
Необходимость ( ). Пусть , тогда по определению 9 векторы и лежат на одной или параллельных прямых, совпадают или противоположны по направлению. Тогда. По определению 10, векторы и коллинеарны.
Достаточность ( ). Пусть векторы и коллинеарны, тогда по определению 10, они расположены на одной или параллельных прямых, при этом они совпадают или противоположны по направлению. Такие векторы можно получить, используя определение 9, т.е. , где λ – действительное число. (что и требовалось доказать)
Определение 11. Векторы, лежащие в одной плоскости, называются компланарными.