Биномиальное распределение

Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если при каждом испытании имеется только два возможных исхода и вероятности этих исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Пространство элементарных событий для каждого отдельного испытания состоит из двух точек, которые принято называть «успехом» (У) и «неудачей» (Н), а их вероятности обозначать соответственно через р и q, p+q=1. Для n испытаний Бернулли пространство элементарных событий содержит 2ⁿ точек или последовательностей из n символов У и Н, где каждая точка представляет возможный исход составного опыта. Можно подсчитать вероятность появления какой-то определенной последовательности. Так как опыты независимы, то такая вероятность получается перемножением вероятностей элементарных событий У и Н, составляющих данную последовательность.

Рассмотрим следующий пример. Пусть пол новорожденного не зависит от пола детей, родившихся в семье до него. Примем для простоты, что соотношение полов 1 : 1, а это значит, что вероятности рождения мальчика или девочки одинаково равны ½. Если в семье двое детей, то можно оценить вероятность и того, что оба ребенка мальчики или девочки или один — мальчик, а другой — девочка. При принятом упрощении вероятности рождения двух мальчиков или двух девочек равны ½*½ =¼, а вероятности рождения сначала девочки, а потом мальчика и наоборот также равны ¼.

Усложним задачу. Пусть в семье пятеро детей и нас интересует вероятность того, что трое из них — мальчики, а двое — девочки, и при этом последовательность, в которой рождались эти дети, неважна. Тогда, исходя из тех же предположений, что и в предыдущем параграфе, вероятность рождения трех мальчиков будет равна (½)³, a девочек— (½)², а общая вероятность в семье с пятью детьми иметь трех мальчиков и двух девочек равна (½)³(½)²n₅, где n₅ —число различных последовательностей рождений трех мальчиков и двух девочек в рассматриваемой семье. Чему же равно это число? Очевидно, что оно равно числу сочетаний из пяти по два или по три т.е.

Таким образом, интересующая нас вероятность равна 5/16. Этот результат может быть записан в виде

Как в этой, так и в большом числе других задач представляет интерес лишь число успехов или неудач, достигнутых в последовательности из n испытаний Бернулли, независимо от порядка их следования. В общем случае, если производится серия из n зависимых испытаний, в каждом из которых возможны два исхода с вероятностями p и q=1-p, не меняющимися от испытания к испытанию, и при этом k раз имел место успех, а (n — k) раз — неудача (0 < k < n), то вероятность

Пусть в аудитории имеется 6 светильников и каждый из при включении может перегореть с вероятностью 1/4. Считается, что аудитория непригодна для занятий, если горят меньше чем четыре лампочки. Интерес представляет определение вероятности того, что после включения освещения аудитория будет непригодна для занятий.

Событие, означающее пригодность светильника при включении, обозначим через А. Тогда р(А) = 3/4, a q(A) = 1/4. Аудитория будет пригодна для занятий, если в ней будет гореть 4, 5 или 6 светильников. Вероятность сложного события, состоящего в том, что не менее 4 лампочек будет исправно, может быть подсчитана следующим образом:

Представим себе, что некоторое редкое заболевание встречается у 0,1% данной большой популяции. Из этой популяции случайно выбирают 5000 человек и проверяют на это заболевание. Интерес представляет определение того, каково наиболее вероятное число людей, имеющих это заболевание, и какова вероятность, что оно будет обнаружено именно у этого количества людей.

Условия задачи полностью соответствуют схеме Бернулли, поэтому наиболее вероятное число людей, у которых будет обнаружено заболевание при обследовании 5000 людей, равно n*р= 5000*0,001 = 5. Вероятность того, что именно у 5 человек будет найдено это заболевание, может быть найдена из распределения Бернулли:

Даже на непросвещенный взгляд вычисление интересующего нас результата таких параметрах получить довольно сложно. Мы отложим получение численного значения интересующей нас вероятности и перейдем к рассмотрению нового распределения, которое может быть представлено как приближение биномиального

Распределение Пуассона

Пусть в нашем распоряжении имеется биномиальная случайная величина с параметрами n и р, распределение вероятностей которой задается формулой биноминального распределения. Предположим, что n неограниченно увеличивается, а параметр р стремится к нулю таким образом, что произведение n*p=λ остается постоянным. Тогда,

Теперь вернемся к численной оценке вероятности обнаружения в случайной популяции из 5000 людей ровно пяти человек, страдающих неким заболеванием, встречающимся с частотой 0,001. Используя пуассоновское приближение биномиального распределения, имеем (λ=n*p=5):