Вопрос 1. Кривые второго порядка

К кривым второго порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Кривыми второго порядка называются линии, уравнение которых могут быть записаны в виде Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru , где Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru некоторые действительные числа, называемые коэффициентами уравнения, и, по крайней мере, один из коэффициентов Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru или Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru .

1) ОКРУЖНОСТЬЮ называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.

а)Окружность с центром в начале координат.

По теореме Пифагора Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

б)Окружность с центром в произвольной точке A1 (x0, y0).

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

По теореме Пифагора получим уравнение окружности с центром в произвольной точке:

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

2) ЭЛЛИПСОМ называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, причем большая, чем расстояние между фокусами.

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Из определения эллипса следует:

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

– расстояние между точками.

Введем обозначения Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru – большая ось эллипса;

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru – малая ось эллипса,

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru – расстояние между фокусами,

где Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru .

Тогда получим координаты вершин и фокусов эллипса:

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru (‒a; 0) Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru (a; 0)

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru (0; b) Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru (0; ‒b)

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru (‒c; 0) Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru (c; 0)

Подставив полученные координаты в формулу Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru , и воспользовавшись формулой расстояния между точками Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru , и выполнив необходимые преобразования, получим каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат:

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Эксцентриситетом эллипса называется отношение половины расстояния до фокуса к половине большой оси, обозначается Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru :

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru <1;

У эллипса 0< Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru <1.

У окружности Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru = 0, поэтому эксцентриситет Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru .

3) ГИПЕРБОЛОЙ называется множество точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, причем меньшая, чем расстояние между фокусами.

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Из определения следует

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Введем обозначения Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru – действительная ось гиперболы;

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru – мнимая ось гиперболы;

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru – расстояние между фокусами,

где Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru .

Тогда получим координаты вершин и фокусов гиперболы:

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru (-a; 0) Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru (a; 0)

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru (0; b) Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru (0; -b)

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru (-c; 0) Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru (c; 0)

Преобразовав формулу Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru , получим (каноническое) уравнение гиперболы:

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Эксцентриситет гиперболы: Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru > 1.

Уравнения асимптот гиперболы (PL) и (NK):

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru .

4) ПАРАБОЛОЙ называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

1. Пусть Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru ‒ произвольная точка параболы.

Из определения следует, что расстояние Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Обозначим расстояние Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru – параметр параболы.

Тогда ось OYделит пополам, Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru ,

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Подставив в формулу Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru координаты точек и, воспользовавшись формулой расстояния между двумя точками,

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru , получим:

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Откуда получим уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви вправо):

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Аналогично выводятся уравнения параболы в остальных трех случаях.

2.Уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви влево).

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru – фокус

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru – уравнение директрисы.

3.Уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви вверх).

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru – фокус

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru – уравнение директрисы.

4. Уравнение параболы с вершиной в начале координат (ветви вниз).

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru – фокус

Вопрос 1. Кривые второго порядка - student2.ru – уравнение директрисы.

ЛЕКЦИЯ № 16

Наши рекомендации