Преобразования графика функции

Пусть задан график функции Преобразования графика функции - student2.ru . Тогда справедливы следующие утверждения.

1. График функции Преобразования графика функции - student2.ru есть график функции Преобразования графика функции - student2.ru , сдвинутый (при Преобразования графика функции - student2.ru влево, при Преобразования графика функции - student2.ru вправо) на Преобразования графика функции - student2.ru единиц параллельно вдоль оси Преобразования графика функции - student2.ru .

2. График функции Преобразования графика функции - student2.ru есть график функции Преобразования графика функции - student2.ru , сдвинутый (при Преобразования графика функции - student2.ru вверх, при Преобразования графика функции - student2.ru вниз) на Преобразования графика функции - student2.ru единиц параллельно вдоль оси Преобразования графика функции - student2.ru .

3. График функции Преобразования графика функции - student2.ru есть график функции Преобразования графика функции - student2.ru , растянутый (при Преобразования графика функции - student2.ru ) в Преобразования графика функции - student2.ru раз или сжатый (при Преобразования графика функции - student2.ru ) вдоль оси Преобразования графика функции - student2.ru . При Преобразования графика функции - student2.ru график функции Преобразования графика функции - student2.ru есть зеркальное отражение графика функции Преобразования графика функции - student2.ru относительно оси Преобразования графика функции - student2.ru .

4. График функции Преобразования графика функции - student2.ru ( Преобразования графика функции - student2.ru ) есть график функции Преобразования графика функции - student2.ru , сжатый (при Преобразования графика функции - student2.ru ) или растянутый (при Преобразования графика функции - student2.ru ) вдоль оси Преобразования графика функции - student2.ru . При Преобразования графика функции - student2.ru график функции Преобразования графика функции - student2.ru есть зеркальное отражение графика функции Преобразования графика функции - student2.ru относительно оси Преобразования графика функции - student2.ru .

Непрерывность функции

Определение 7.Функция Преобразования графика функции - student2.ru называется непрерывной в точке Преобразования графика функции - student2.ru из области определения, если она определена в этой точке и существует Преобразования графика функции - student2.ru .

Определение 8. Приращением аргумента называется величина Преобразования графика функции - student2.ru .

Определение 9. Приращением функции в точке Преобразования графика функции - student2.ru называется величина

Преобразования графика функции - student2.ru .

Определение 10.Функция Преобразования графика функции - student2.ru называется непрерывной в точке Преобразования графика функции - student2.ru , если Преобразования графика функции - student2.ru .

Определение 11. Если функция Преобразования графика функции - student2.ru непрерывна в каждой точке промежутка Преобразования графика функции - student2.ru , то она называется непрерывной на промежутке Преобразования графика функции - student2.ru .

Пример 1. Доказать, что функция Преобразования графика функции - student2.ru непрерывна в точке Преобразования графика функции - student2.ru .

Решение. 1) Вычислим Преобразования графика функции - student2.ru : Преобразования графика функции - student2.ru .

2) Вычислим Преобразования графика функции - student2.ru : Преобразования графика функции - student2.ru .

3) Составим приращение Преобразования графика функции - student2.ru : Преобразования графика функции - student2.ru .

4) Вычислим Преобразования графика функции - student2.ru : Преобразования графика функции - student2.ru .

Следовательно, функция Преобразования графика функции - student2.ru непрерывна в точке Преобразования графика функции - student2.ru по определению 9.

Свойства функций, непрерывных в точке

1. Если функции Преобразования графика функции - student2.ru , Преобразования графика функции - student2.ru непрерывны в точке Преобразования графика функции - student2.ru , то сумма (разность), произведение и частное (при условии, что Преобразования графика функции - student2.ru в окрестности точки Преобразования графика функции - student2.ru ) этих функций также непрерывны в точке Преобразования графика функции - student2.ru .

2. Пусть у функции Преобразования графика функции - student2.ru существует предел при Преобразования графика функции - student2.ru , Преобразования графика функции - student2.ru , а функция Преобразования графика функции - student2.ru непрерывна в точке Преобразования графика функции - student2.ru . Тогда у сложной функции Преобразования графика функции - student2.ru существует предел при Преобразования графика функции - student2.ru , причем Преобразования графика функции - student2.ru .

3. Пусть функция Преобразования графика функции - student2.ru непрерывна в точке Преобразования графика функции - student2.ru , а функция Преобразования графика функции - student2.ru непрерывна в точке Преобразования графика функции - student2.ru . Тогда сложная функция Преобразования графика функции - student2.ru непрерывна в точке Преобразования графика функции - student2.ru , причем Преобразования графика функции - student2.ru .

Свойства функций, непрерывных на промежутке

1. Если функция Преобразования графика функции - student2.ru непрерывна на отрезке Преобразования графика функции - student2.ru , то она ограничена на этом отрезке и достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений.

2. Если функция Преобразования графика функции - student2.ru определена и непрерывна на отрезке Преобразования графика функции - student2.ru , то множество её значений является отрезком.

3. Если функция Преобразования графика функции - student2.ru непрерывна на отрезке Преобразования графика функции - student2.ru и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то существует хотя бы одна точка Преобразования графика функции - student2.ru такая, что Преобразования графика функции - student2.ru .

4. Если функция Преобразования графика функции - student2.ru определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке Преобразования графика функции - student2.ru , то у нее существует обратная функция Преобразования графика функции - student2.ru , определённая, непрерывная и строго монотонная того же знака на отрезке Преобразования графика функции - student2.ru .

Точки разрыва функции

Определение 12.Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.

Определение 13. Точка Преобразования графика функции - student2.ru называется точкой устранимого разрыва функции Преобразования графика функции - student2.ru , если Преобразования графика функции - student2.ru .

Определение 14.Точка Преобразования графика функции - student2.ru называется точкой разрыва первого рода функции Преобразования графика функции - student2.ru , если Преобразования графика функции - student2.ru .

Определение 15.Точка Преобразования графика функции - student2.ru называется точкой разрыва второго рода функции Преобразования графика функции - student2.ru , если хотя бы один из её односторонних пределов в точке Преобразования графика функции - student2.ru бесконечен или не существует.

Наши рекомендации