Идентификация и верификация моделей парной регрессии

На этапе идентификации полученных моделей парной регрессии рассчитываются показатели тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции (r_xy):

Корреляционная связь между переменными называется прямой, если r_xy > 0, и обратной, если r_xy < 0.

Коэффициент корреляции принимает значения от -1 до 1, т. е. -1 £ r_xy £ 1. Чем ближе коэффициент корреляции r_xy к единице, тем связь теснее. Для качественной характеристики силы связи используют шкалу Чеддока:

Показатель тесноты связи	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Характеристика силы связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

Связь между переменными х и у модели тесная (высокая), прямо пропорциональная.

x	y	yx	(y -`y)2	(yx-`y)2	(y - yx)2	(x -`x)2	x2
201,6	1011,3	1049,6		408537,6	1463,342		40642,56
242,6	1490,4	1101,5	39332,04	344788,1	151214,8	214486,5	58854,76
255,4	1024,5	1117,8	441192,3	325992,8	8698,412	202794,3	65229,16
323,7	559,9	1204,4		234606,6	415330,1	145944,6	104781,7
331,9	1195,1	1214,8	243663,7	224643,2	386,4227	139746,6	110157,6
384,6	1050,1	1281,6	407839,4	165769,9	53580,49	103122,5	147917,2
397,7	1482,8	1298,2	42404,31		34083,16	94880,59	158165,3
450,7	1151,7	1365,4	288393,8	104550,1	45659,6	65038,73	203130,5
457,6	1020,6	1374,1	446388,4	98969,18		61566,97	209397,8
515,3		1447,3	1658,369	58291,99	40286,22	36262,41	265534,1
533,8	2441,9	1470,7	567275,5	47516,01		29558,87	284942,4
587,8	1424,6	1539,2		22355,18	13134,67	13906,76	345508,8
614,9	1095,4	1573,6	352032,3	13261,16	228642,7	8249,53
655,1	1278,5	1624,5		4120,171	119739,9	2563,085
720,1	2091,4	1706,9	162148,7	332,0869	147804,6	206,5853
741,5	2403,5	1734,1		2057,144	448124,7	1279,713	549822,3
760,9		1758,7	103218,9	4893,354	63163,96	3044,068	578968,8
814,1	2042,3	1826,1	125016,6	18879,7	46730,99	11744,72	662758,8
859,2	1607,9	1883,3	6532,37	37863,14	75849,35	23553,99	738224,6
	1683,2	1974,3	30,50438	81577,57	84763,06	50747,96
953,8		2003,3	25511,46	98926,23	224911,6	61540,25	909734,4
1092,6	3063,9	2179,2		240596,4	782642,1	149670,8
1148,9	2048,4	2250,6	129367,5	315717,7	40889,17	196402,4
1247,5	2034,4	2375,6	119492,5	471831,6	116433,2	293518,1
1253,1	2435,9	2382,7	558273,4	481636,1	2827,775	299617,3
1873,5	3082,1	3169,3			7605,97
Сумма

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции r²_xy, который называется коэффициентом детерминации. Он характеризует долю результативного признака у, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

.

Величина 1 – r² характеризует долю дисперсия у, вызванную влиянием остальных не учтённых в модели факторов.

Для получения несмещённой оценки общей дисперсии на одну степень свободы, общую сумму квадратов отклонений делят не на число единиц совокупности, а на число степеней свободы

= 10374477 / (26 – 1) = 414979,1 ,

факторная дисперсия

= 6152378 / 1 = 6152378 ,

остаточная дисперсия

= 4222098 / (26 – 2) = 175920,8 ,

дисперсия факторной переменной

= 3827285 / (26 – 1) = 153091,4 ,

где n – число наблюдений, р – число оцениваемых параметров уравнения при независимых переменных, (р+1) – число оцениваемых параметров уравнения регрессии, включая константу b₀, y_i – наблюдаемые значения зависимой переменной (i = 1, … , n), или - расчётные значения зависимой переменной, x_i – наблюдаемые значения независимой переменной.

Среднеквадратические отклонения:

общее S_y = 644,1887 , факторное Sy_x= 2480,399 , остаточное S_e = =419,4291 , независимой переменной S_x= 391,269 .

Вычисляя отношение факторной и остаточной дисперсии в расчете на одну степень свободы, получают величину F-критерия Фишера. Если нулевая гипотеза справедлива, то факторная и остаточная дисперсии не отличаются друг от друга. Для Н₀ необходимо опровержение, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз, т.е. выполнялась бы гипотеза .

Значение F-критерия Фишера для парной линейной регрессии:

34,95.

Вычисленное значение F-критерия признается достоверным (отличающимся от единицы), если оно больше табличного. Табличное значение F-критерия это максимальная величина отношения дисперсий, которая имеет место при случайном их расхождении для данного уровня вероятности наличия нулевой гипотезы. В этом случае нулевая гипотеза (Н₀) отвергается и делается вывод о существенности изучаемой связи: F_факт > F_табл.

Если величина F_факт оказывается меньше F_табл , то вероятность нулевой гипотезы выше заданного уровня (a = 0,05 или 0,01) и она не может быть отклонена без риска неверного вывода о наличии связи. В этом случае уравнение регрессии признается статистически незначимым.

Полученное значение F_факт = 34,95 сравниваем с табличным критическим значением, которое при уровне значимости a = 0,05 и числе степеней свободы k₁ = р = 1 (регрессионном) и k₂ = n – р – 1 = = 26 – 1 – 1 = 24 (остаточном) составит F_табл= = 4,259677. Так как F_факт > F_табл , то делаем вывод о существенности изучаемой связи по линейной модели, т.е. о статистической значимости модели в целом.

Критическое (табличное) значение F-критерия Фишера можно определить с помощью функции Excel FРАСПОБР из категории Статистические.

В линейной регрессии обычно оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров.

Процедура оценивания существенности параметров b₀ и b₁ базируется на расчете фактических значений t-критерия Стьюдента:

4,435949

= 5,838067 ,

которые затем сравниваются с табличным (критическим) значением для заданного уровня значимости a = 0,05 и числа степеней свободы (n–р–1) = (n– 2). Если фактическое значение t-критерия Стьюдента (по модулю) превышает табличное (t_крит), то гипотезу о несущественности коэффициента регрессии можно отклонить.

Критическое (табличное) значение t-критерия Стьюдента можно определить с помощью функции Excel СТЬЮДРАСПОБР из категории Статистические.

Поскольку t_{a; n-m-1} = t _{0,05; 24} = t_кр = t_табл = 2,063899 , то в обоих случаях | t_факт | > t_табл , делаем вывод, что значения параметров b₀ и b₁ не случайно отклоняются от нуля, т.е. статистически значимы и отражают реальную природу взаимосвязей между рассматриваемыми переменными в рамках разработанной модели парной линейной регрессии.

Значимость коэффициента корреляции проверяется также на основе расчета фактического значения t-критерия Стьюдента:

5,9.

В парной линейной регрессии , следовательно, оба способа проверки значимости модели (с помощью t и F-критерия) для линейной парной регрессии равносильны. Кроме того, .

Для проверки нулевой гипотезы Н₀ необходимо сравнить фактическое значение t_r (по модулю) с табличным значением (при заданном уровне значимости a), если | t_r | > t_крит, то коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.

Оценить качество синтезированной модели в целом можно основываясь на минимальности отклонения фактических значений результативного признака от теоретических, рассчитанных по уравнению регрессии. Величина отклонений эмпирических и расчетных значений (у–у_x) по каждому наблюдению представляет собой абсолютную ошибку аппроксимации. Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднюю ошибку аппроксимации, как среднюю арифметическую простую из относительных ошибок аппроксимации:

= 21,9 %.

Полученное значение ошибки может быть использовано для сравнения моделей различных форм зависимостей.

При подстановке в уравнение регрессии у = b₀ + b₁х соответствующего значения х можно определить предсказываемое (прогнозируемое) значение у_р, как вариант точечного прогноза. Примем х_p равным медиане (среднему значению из двух чисел, стоящих в центре ранжированного ряда величины х) х_p = 635. Тогда

у_р = 793,95 + 1,27 * 635 = 1599,05.

Поскольку точечный прогноз является усреднённой оценкой, то вероятные значения прогнозируемой величины будут находиться в некотором интервале. Поэтому точечный прогноз необходимо дополнить расчетом стандартной ошибки S_yx и соответственно оценкой доверительного интервала теоретических значений результативного признака у:

.

Средняя стандартная ошибка расчетного значения результативного признака по уравнению регрессии:

;

где - остаточная дисперсия результативного признака в расчете на одну степень свободы, - остаточное среднеквадратическое отклонение результативного признака.

; млн.руб.

83,64

С надёжностью a = 0,05 (табличное значение t_k = 2,0639) доверительный интервал для y_p при заданном х_р = 635 составит

y_p(min) = 1426,42 y_p(max) = 1771,68 млн. руб.

Средняя ошибка предсказанного индивидуального значения у при х_р = х_k составит:

.

Средняя ошибка прогнозируемого индивидуального значения у

427,7

Тогда при заданном уровне значимости доверительный интервал для у_р при х_р = х_k составит:

,

где t_k - критическое (табличное) значение t-критерия Стьюдента для соответствующего уровня значимости и числа степеней свободы (n - 2), t_kS – предельная ошибка прогнозируемой величины.

Доверительный интервал для индивидуальных значений результативного признака

y_p(min) = 716,346 y_p(max) =2481,755

x	y	yx	yp(min)	yp(max)	yp(min)	yp(max)
201,6	1011,3	1049,554	769,2288	1329,879	139,6373	1959,47
242,6	1490,4	1101,536	835,4213	1367,652	195,897	2007,176
255,4	1024,5	1117,765	855,9867	1379,544	213,3905	2022,14
323,7	559,9	1204,361	964,7842	1443,938	306,1613	2102,561
331,9	1195,1	1214,758	977,727	1451,788	317,2337	2112,282
384,6	1050,1	1281,575	1060,186	1502,963	388,0544	2175,095
397,7	1482,8	1298,184	1080,471	1515,897	405,567	2190,8
450,7	1151,7	1365,381	1161,528	1569,234	476,0433	2254,719
457,6	1020,6	1374,129	1171,951	1576,308	485,1738	2263,085
515,3		1447,286	1257,755	1636,816	561,1213	2333,45
533,8	2441,9	1470,741	1284,706	1656,777	585,3178	2356,165
587,8	1424,6	1539,207	1361,598	1716,815	655,5153	2422,898
614,9	1095,4	1573,566	1399,104	1748,028	690,5016	2456,63
655,1	1278,5	1624,535	1453,293	1795,776	742,1008	2506,968
720,1	2091,4	1706,946	1537,058	1876,835	824,7741	2589,119
741,5	2403,5	1734,079	1563,573	1904,585	851,7875	2616,37
760,9		1758,676	1587,159	1930,192	876,1885	2641,163
814,1	2042,3	1826,126	1649,714	2002,539	942,6747	2709,578
859,2	1607,9	1883,308	1700,459	2066,156	998,5482	2768,067
	1683,2	1974,341	1777,47	2171,211	1086,578	2862,104
953,8		2003,248	1801,083	2205,414	1114,296	2892,201
1092,6	3063,9	2179,229	1938,135	2420,324	1280,624	3077,835
1148,9	2048,4	2250,611	1991,234	2509,988	1346,928	3154,293
1247,5	2034,4	2375,623	2081,869	2669,377	1461,48	3289,766
1253,1	2435,9	2382,723	2086,944	2678,503	1467,927	3297,519
1873,5	3082,1	3169,312	2625,412	3713,212	2146,966	4191,659

Графически доверительные границы для у представляют собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии (рис.6).

Рис. 6. Доверительный интервал линии регрессии:

а - линия регрессия у_х = b₀ + b₁х;

b, c - верхняя и нижняя границы доверительного интервала для у_р ;

d, e - доверительный интервал для индивидуальных значений у

Индивидуальное задание № 1 для контрольной работы

Парный регрессионный анализ

Построить диаграммы рассеяния. Определить выборочную ковариацию, среднее квадратическое отклонение для величин X и Y, выборочную дисперсию переменной Х, коэффициенты уравнения регрессии, коэффициент корреляции, выборочную остаточную дисперсию, 95% доверительный интервал для функции регрессии, 95% доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной (значение из середины таблицы – 6-я сторока), 95% доверительный интервал для параметров регрессионной модели (для коэффициента регрессии, для дисперсии и для среднего квадратического отклонения случайной составляющей), коэффициент детерминации. Оценить значимость уравнения регрессии, значимость коэффициентов регрессии, значимость коэффициента корреляции. Принять уровень значимости а = 0,05.

Вариант 1.

Имеются данные о количестве слесарей-ремонтников на предприятиях области и данные о количестве станко-смен:

количество слесарей-ремонтников	количество станко-смен
	0,8
	0,5
	0,8
	0,8
	0,8
	2,2
	1,4
	2,3
	6,4
	1,1
	6,3

Вариант 2.

Имеются данные о количестве слесарей-ремонтников на предприятиях области и данные о количестве единиц ремонтной сложности:

количество слесарей-ремонтников	количество единиц ремонтной сложности
	6,1
	4,4
	3,5
	3,1
	3,5
	4,9
	6,8
	18,4
	19,6
	5,8
	10,4

Вариант 3.

Имеются данные об объеме выпускаемой продукции и ее себестоимости:

объем выпускаемой продукции, тыс.шт	Себестоимость, ден.ед.
	3,9
	2,8
	4,8
	3,1
	3,2
	3,3
	3,4
	3,5
	3,7

Вариант 4.

Имеются данные о среднемесячной производительности рабочего на шахте в метрах и себестоимости угля в ден.ед за тонну:

производительность рабочего	себестоимость
	1,3
	1,2
	1,3
	1,1
	1,1
	1,1
	1,4
	1,7

Вариант 5.

Имеются данные о среднегодовой численности работников и сумме производственных затрат на предприятиях:

численность работников	производственные затраты

Вариант 6.

Имеются данные о выработке на одного работающего и фондовооруженности:

выработка	фондовооруженность
3,3	1,9
4,6
3,4	2,2
5,5	2,3
	2,4
5,1	2,4
	2,6
4,2	2,6
3,8	2,6
5,1	2,7
4,8	2,8

Вариант 7.

Имеются данные об уровне издержек обращения и грузообороте предприятия:

Уровень издержек обращения, руб/т	Грузооборот, тыс. т
2,72 3,04 2,84 2,74 2,72 2,64 2,52 2,75 2,63 2,62 2,62	15,6 13,5 15,3 14,9 15,1 16,1 16,7 15,4 17,1 16,8 16,9

Вариант 8.

Имеются данные о браке литья (в %) и себестоимости одной тонны литья (в ден.ед.) по заводам:

брак	себестоимость
4,2 6,7 5,5 7,7 1,2 2,2 8,4 1,4 4,2 0,9 1,3

Вариант 9.

Имеются данные о товарообороте (в ден. ед.) и среднем числе потребителей в день (в тыс. чел.):

Годовой товарооборот	Среднее число посетителей в день
19,76 38,09 40,95 41,08 56,29 68,51 75,01 89,05 91,13 91,26 99,84	8,25 10,24 9,31 11,01 8,54 7,51 12,36 10,81 9,89 13,72 12,27

Вариант 10.

Имеются данные о выработке продукции на одного работника (тыс, руб.) и удельном весе рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%).

выработка	рабочие
3,9 3,9 3,7 4,0 3,8 4,8 5,4 4,4 5,3 6,8 6,0	7,0 7,0 7,0 7,0 7,0 7,0 8,0 8,0 8,0 10,0 9,0