Применение вероятностных схем. Вероятностные параметры оценки надежности и нарушения качества. Расчет последовательных, параллельных и комбинированных схем

В управлении качеством вероятностные схемы применяются для оценки надежности. Надежность – один из показателей качества, однако часто этот показатель является основным, определяющим качество и эффективность продукции, в первую очередь технических объектов. Иногда обеспечение надежности есть главное условие безопасности работы объекта. В соответствии со стандартом надежность – это свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки.

Состояние объекта, при котором он способен выполнять заданные функции, сохраняя значения основных параметров в пределах, установленных нормативно-технической документацией, называется работоспособностью. Состояние, при котором хотя бы один из указанных параметров не соответствует требованиям, – неработоспособность. Событие, состоящее в нарушении работоспособности, называется отказом. Предполагается, что отказ – событие случайное, поэтому время работы объекта до первого отказа – случайная величина.

Для оценки характеристик надежности по опытным данным проводятся специальные испытания. По результатам испытаний принимается решение о виде распределения времени до отказа, оцениваются вероятность безотказной работы (функция надежности), вероятность отказа, интенсивность отказов, средняя наработка до отказа и другие вероятностные параметры.

В производственных условиях используют несколько различных типов испытаний на надежность. В зависимости от целей это могут быть определительные испытания, цель которых – оценка показателей надежности, и контрольные испытания для оценки уровня надежности исследуемого объекта. Контрольные испытания проводятся методами выборочного контроля при приемке продукции. В частности, широко используются методы последовательного контроля.

Испытания могут проводиться в лабораторных условиях или в условиях эксплуатации, при нормальной нагрузке и в ужесточенном режиме. Важной проблемой является длительность испытаний, поэтому часто применяют ускоренные испытания. Испытания характеризуются тремя параметрами:

– числом испытываемых изделий (N); в частном случае может испытываться и только одно изделие (N = 1);

– наличием или отсутствием восстановления (замены) вышедших из строя изделий (условное обозначение: М – восстановление, R – замена, U – без восстановления и замены);

– длительностью испытаний (условное обозначение: r – испытание до r-го отказа ( ), T – испытание длительностью Т, ( ) – испытание длительностью, равной , где – момент r-го отказа, Т – заданный промежуток времени).

Соответствующие обозначения планов: [NMr], [NRr], [NUr], [NMT[, [NRT], [NUT], [NM(r, T)], и т.п.

Для оценки надежности объекта используются последовательные, параллельные и комбинированные вероятностные схемы.

Рассмотрим надежность объекта, полагая, что он представляет собой систему, состоящую из n элементов. Введем следующие предположения:

– отказы элементов независимы (отказ одного из элементов не влияет на надежность других);

– состояние элементов системы однозначно определяет надежность всей системы;

– после отказа элементы не восстанавливаются.

Введем обозначения событий: событие А = {система надежна}, событие {j-й элемент надежен}.

Надежность j-го элемента

– это вероятность безотказной работы элемента за время t.

Вероятность отказа j-го элемента

.

Интенсивность отказов j-го элемента обозначим .

Надежность системы (вероятность ее безотказной работы):

.

Цель расчета – определение именно этого показателя. Вероятность отказа системы

.

Рассмотрим последовательное соединение элементов (рис. 1). Очевидно, система такого вида надежна тогда и только тогда, когда надежны все элементы (часто это обстоятельство принимают за определение последовательного соединения элементов): .

Рис. 1. Последовательное соединение элементов

С учетом независимости отказов надежность системы

, (1)

а вероятность отказа

.

Найдем интенсивность отказов системы:

.

При последовательном соединении интенсивность отказов системы равна сумме интенсивностей отказов ее элементов. При одинаковых надежностях элементов

, , , , .

Очевидно, при заданных вероятностях чем больше количество элементов в системе, тем ниже ее надежность. Например, при надежность системы из двух элементов составит:

,

из трех элементов:

и т.п.

При параллельном соединении (рис. 2) отказ системы произойдет тогда и только тогда, когда откажут все элементы:

;

вероятность отказа:

.

Тогда надежность системы:

. (2)

Рис. 2. Параллельное соединение элементов

Это обстоятельство используется для резервирования, когда для работы необходим один элемент, но его могут заместить другие в случае выхода этого элемента из строя.

Пример.

Система состоит из двух последовательно соединенных элементов (рис. 3, а) с одинаковой надежностью . Сравнить надежность такой системы с надежностью резервированных систем: при общем резервировании (рис. 3, б) и поэлементном резервировании (комбинированная) (рис. 3, в).

Надежность системы по рис. 3, а найдена выше и составляет

.

Система по рис. 3, б – это параллельное соединение двух подсистем, каждая из которых состоит из двух последовательно соединенных элементов. Надежность каждой подсистемы равна , вероятность отказа , тогда в соответствии с формулой (2) получим

.

Вероятность безотказной работы системы по рис. 3, в найдем как надежность двух последовательно соединенных подсистем. Надежность каждой подсистемы из двух параллельно соединенных элементов равна , (здесь ); тогда надежность системы по формуле (1) составит:

.

Рис. 3. Расчет надежности систем при резервировании:

а – нерезервированная система;

б – система с общим резервированием;

в – система с поэлементным резервированием (комбинированная схема)

Резервные элементы могут быть постоянно нагружены, как и основной элемент; такой резерв называют нагруженным или горячим (именно такая ситуация рассмотрена в приведенном примере). Если же резервный элемент включается только при отказе основного элемента, то такой резерв называется холодным. Расчет холодного резервирования проводится с использованием аппарата теории марковских процессов.