Бальные оценки эффективности работы рабочих на станках

	Станок
1	2	3	4	5
Рабочий	1			–
2
3				–
4

Задача №4.8* (модель производства с запасами)

Некоторая фабрика производит рюкзаки для путешественников. Спрос на эту продукцию есть только в марте–июне и составляет помесячно 100, 200, 180 и 300 шт. Объем производства рюкзаков меняется от месяца к месяцу в зависимости от выпуска других изделий. В течение рассматриваемых четырех месяцев фабрика может выпустить 50, 180, 280 и 270 рюкзаков соответственно. В каждый месяц спрос можно удовлетворить за счет

1) производства рюкзаков в течение текущего месяца;

2) избытка рюкзаков, произведенных в прошлом месяце;

3) избытка рюкзаков, произведенных в следующем месяце в счет невыполненных заказов.

В первом случае стоимость одного рюкзака составляет 700 руб. Во втором случае возникают дополнительные расходы в расчете 10 руб. на один рюкзак за хранение в течение месяца. В третьем случае за просроченные заказы начисляются штрафы в размере 40 руб. на один рюкзак за каждый просроченный месяц.

Постройте транспортную модель, позволяющую фабрике разработать оптимальный план производства на эти четыре месяца.

Рекомендация. Чтобы производственную задачу сформулировать как транспортную, необходимо установить соответствие между элементами этих задач (табл. 4.10).

Таблица 4.10

Соответствие между элементами задачи №4.8

Транспортная система	Производственная система
1. Пункт отправления i	1. Период производства i
2. Пункт назначения j	2. Период потребления j
3. Предложение в пункте отправления i	3. Объем производства за период i
4. Спрос в пункте назначения j	4. Реализация за период j
5. Стоимость перевозки из i в j	5. Стоимость единицы продукции (производство + хранение + штрафы за период от i до j)

МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ ОПОРНЫХ ПЛАНОВ

Теоретическое введение

Опорный планявляется допустимым решением ТЗ и используется в качестве начального базисного решения при нахождении оптимального решения методом потенциалов. Существует три метода нахождения опорных планов: метод северо-западного угла, метод минимального элемента и метод Фогеля. "Качество" опорных планов, полученных этими методами, различается: в общем случае метод Фогеля дает наилучшее решение (зачастую оптимальное), а метод северо-западного угла – наихудшее.

Все существующие методы нахождения опорных планов отличаются только способом выбора клеткидля заполнения. Само заполнение происходит одинаково независимо от используемого метода. Следует помнить, что перед нахождением опорного плана транспортная задача должна быть сбалансирована.

Метод северо-западного угла

На каждом шаге метода северо-западного угла из всех не вычеркнутых клеток выбирается самая левая и верхняя (северо-западная) клетка. Другими словами, на каждом шаге выбирается первая из оставшихся не вычеркнутых строк и первый из оставшихся не вычеркнутых столбцов.

Для того, чтобы заполнить клетку (i,j), необходимо сравнить текущий запас товара в рассматриваемой i-й строке с текущей потребностью в рассматриваемом j-м столбце .

Если существующий запас позволяет перевезти всю потребность, то

· в клетку (i,j) в качестве перевозки вписывается значение потребности ;

· j-й столбец вычеркивается, поскольку его потребность уже исчерпана;

· от существующего запаса в i-й строке отнимается величина сделанной перевозки, прежний запас зачеркивается, а вместо него записывается остаток, т.е. .

Если существующий запас не позволяет перевезти всю потребность, то

· в клетку (i,j) в качестве перевозки вписывается значение запаса ;

· i-я строка вычеркивается, поскольку ее запас уже исчерпан;

· от существующей потребности в j-й строке отнимается величина сделанной перевозки, прежняя потребность зачеркивается, а вместо нее записывается остаток, т.е. .

Нахождение опорного плана продолжается до тех пор, пока не будут вычеркнуты все строки и столбцы.

Метод минимального элемента

На каждом шаге метода минимального элемента из всехне вычеркнутых клеток транспортной матрицы выбирается клетка с минимальной стоимостью перевозки . Заполнение выбранной клетки производится по правилам, описанным выше.

Метод Фогеля

На каждом шаге методаФогеля для каждой i-й строки вычисляются штрафы как разность между двумя наименьшими тарифами строки. Таким же образом вычисляются штрафы для каждого j-го столбца. После чего выбирается максимальный штраф из всех штрафов строк и столбцов. В строке или столбце, соответствующем выбранному штрафу, для заполнения выбирается не вычеркнутая клетка с минимальным тарифом .

Если существует несколько одинаковых по величине максимальных штрафов в матрице, то в соответствующих строках или столбцах выбирается одна не вычеркнутая клетка с минимальным тарифом .

Если клеток с минимальным тарифом также несколько, то из них выбирается клетка (i,j) с максимальным суммарным штрафом, т.е. суммой штрафов по i-й строке и j-му столбцу.

5.2. Методические рекомендации

Формально и реальные и фиктивные столбцы и строки в транспортной матрице абсолютно равноправны. Поэтому при нахождении опорных планов фиктивные строки, столбцы и тарифы необходимо анализировать и использовать точно так же как и реальные. Но при вычислении значения ЦФ фиктивные перевозкине учитываются, поскольку они реально не были выполнены и оплачены.

Если величина фиктивных тарифов превышает максимальный из реальных тарифов задачи [ ], то методы минимального элемента и Фогеля позволяют получить более дешевые планы перевозок, чем в случае с нулевыми фиктивными тарифами.

Задача №5.01

Найти тремя методами опорный план ТЗ, в которой запасы на трех складах равны 210, 170, 65 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 125, 90, 130, 100 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие:

.

Решение

Проверка сбалансированности задачи показывает, что суммарный объем запасов равен суммарному объему потребностей, т.е. введение фиктивных столбцов или строк не потребуется

.

Результаты нахождения опорного плана различными методами представлены в табл.5.1, 5.2 и 5.3.

Таблица 5.1

Транспортная таблица с опорным планом северо-западного угла

Пункты отправления,	Пункты потребления,	Запасы, ед. продукции
					210/85/0
					170/165/35/0
					65/0
Потребность, ед. продукции	125/0	90/5/0	130/0	100/65/0

Опорный план , найденный методом северо-западного угла

[ед.товара].

Соответствующая ЦФ (общие затраты на перевозку)

[руб.].

Таблица 5.2

Транспортная таблица с опорным планом минимального элемента

Пункты отправления,	Пункты потребления,	Запасы, ед. продукции
					210/80/45/0
					170/45/0
					65/0
Потребность, ед. продукции	125/0	90/45/0	130/0	100/35/0

Опорный план , найденный методом минимального элемента

[ед.товара], [руб.].

Таблица 5.3

Транспортная таблица с опорным планом Фогеля

						Штрафы строк,
					210/110/0
					170/45/25/0
					65/0			–	–
	125/0	90/25/0	130/20/0	100/0
Штрафы столбцов,
–
–
–			–

На первом шаге нахождения опорного плана методом Фогеля возникает ситуация равенства значений максимальных штрафов транспортной матрицы (см. табл. 5.3)

.

Минимальные тарифы в этих столбцах также совпадают

.

Поэтому необходимо сравнить суммарные штрафы клеток (2,1) и (3,2)

;

.

Т.к. , то выбираем на первом шаге для заполнения клетку (2,1).

Опорный план , найденный методом Фогеля

[ед.товара], [руб.].

5.3. Варианты задач для самостоятельного решения

Задача №5.1

Найти тремя методами опорный план транспортной задачи, в которой запасы на трех складах равны 160, 140, 170 ед. продукции, потребности четырех магазинов равны 120, 50, 200, 110 ед. продукции, тарифы перевозки в рублях за единицу продукции следующие

.

Решите задачу для следующих случаев:

· фиктивные тарифы нулевые;

· фиктивные тарифы одинаковы по величине и превышают максимальный из реальных тарифов.

Сравните полученные опорные планы, соответствующие ЦФ и объясните причину их различия.

Задача №5.2

Найти тремя методами опорный план транспортной задачи №4.1 для случая, когда фиктивные тарифы больше максимального реального тарифа.

Задача №5.3

Найти тремя методами опорный план транспортной задачи №4.2 для случая, когда фиктивные тарифы больше максимального реального тарифа.

Задача №5.4

Найти тремя методами опорный план транспортной задачи №4.3 для случая, когда фиктивные тарифы больше максимального реального тарифа.

Задача №5.5

Найти тремя методами опорный план транспортной задачи №4.4 для случая, когда фиктивные тарифы больше максимального реального тарифа.