Модель расширяющейся экономики Неймана

Классическая (исходная) модель Неймана строится при следующих предпосылках:

1. экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей;

2. производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом;

3. для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют;

4. спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются;

5. цены товаров изменяются во времени.

Перейдем к описанию модели Неймана. На дискретном временном интервале с точками рассматривается производство, в котором n видов затрат с помощью m технологических процессов превращаются в n видов продукции. Мы не будем указывать число отраслей, так как в дальнейшем не понадобится подчеркивать принадлежность товаров или технологий к конкретным отраслям. В модели Леонтьева технологические коэффициенты были отнесены к единице продукта. В модели Неймана, принимая в качестве производственных единиц не отрасли, а технологические процессы, удобно отнести эти коэффициенты к интенсивности производственных процессов.

Интенсивностью производственного процесса j называется объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровень интенсивности j-го процесса в момент времени t обозначим через ( ). Заметим, что является вектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j-ым процессом видов товаров и .

Предположим, что функционирование j-го процесса ( ) с единичной интенсивностью требует затрат продуктов в количестве

и дает выпуск товаров в количестве

Введем обозначения . Пара характеризует технологический потенциал, заложенный в j-ом процессе (его функционирование с единичной интенсивностью). Поэтому пару можно назвать базисом j-го производственного процесса, имея в виду, что для любой интенсивности соответствующую пару затраты-выпуск можно выразить как . Поэтому последовательность пар:

(9-9)

представляющих собой затраты и выпуски всех производственных процессов в условиях их функционирования с единичными интенсивностями, будем называть базисными процессами.

Все m базисных процессов описываются двумя матрицами:

,

где A- матрица затрат, B- матрица выпуска. Вектор называется вектором интенсивностей. Соответствующие этому вектору затраты и выпуски по всем m процессам можно получить как линейную комбинацию базисных процессов (9-9) с коэффициентами :

(9-10)

Говорят, что в производственном процессе базисные процессы (9-9) участвуют с интенсивностями . Как видно из (9-10), неймановская технология, описываемая двумя матрицами A и B единичных уровней затрат и выпуска, является линейной. Рассматривая все допустимые «смеси» базисных процессов, получаем расширенное множество производственных процессов:

(9-11)

которое и отражает допустимость совместной деятельности отраслей. Возможность совместного производства нескольких продуктов в одном процессе следует из того, что в каждом процессе j может быть отличной от нуля более чем одна из величин . Множество (9-11) представляет собой неймановскую технологию в статике (в момент t ). Если в матрице A положить n=m, матрицу B отождествить с единичной матрицей, а интерпретировать как вектор валового выпуска, то (9-10) превращается в леонтьевскую технологию.

Продолжим описание модели Неймана. Согласно предпосылок 2) и 3), затраты в момент t не могут превышать выпуска , соответствующего предыдущему моменту t-1 (рис.9.1).

Рис.9.1.

Поэтому должны выполняться условия:

(9-12)

где - вектор запаса товаров к началу планируемого периода.

Обозначим через , вектор цен товаров. Неравенство (9-12) можно трактовать как непревышение спроса над предложением в момент t. Поэтому в стоимостном выражении (в ценах момента t) должно быть):

(9-13)

По предположению 5) прибыль базисного процесса на отрезке [t-1,T] равна величине , т.е. затраты осуществляются по цене начала периода, а готовая продукция – по цене момента ее реализации. Таким образом, издержки по всем базисным процессам можно записать как , а выручку – как (рис.9.2).

Рис. 9.2.

Будем говорить, что базисные процессы неубыточны, если , неприбыльны – если

(9-14)

В модели Неймана предполагается неприбыльность базисных процессов. Это объясняется тем, что издержки и выручки разведены во времени, т.е. относятся к разным моментам времени, и в условиях расширяющейся экономики «характерен случай падения цен ( )», т.е. покупательская способность денег в момент t будет выше, чем в момент t-1. С таким обоснованием можно согласиться или не согласиться. Главная же причина неприбыльности базисных процессов заложена в определении экономического равновесия. Поясним это чуть подробнее.

Описание модели Неймана завершено. Совокупность неравенств и уравнений

(9-15)

где и - матрицы затрат и выпуска соответственно, называется (динамической) моделью Неймана.

Определение 9.1. Говорят, что в экономике наблюдается сбалансированный рост производства, если существует такое постоянное число , что для всех m производственных процессов:

(9-16)

Постоянное число называется темпом сбалансированного роста производства.

Содержательно (9-16) означает, что все уровни интенсивности возрастают одинаковыми темпами

Раскрывая рекуррентно правую часть(9-16), получаем:

(9-17)

где - интенсивность процесса j , установившаяся к началу планового периода. Заметим, что t в правой части (9-17) является показателем степени, а в левой – индексом.

В случае сбалансированного роста производства, с учетом постоянства темпа роста, последовательность называется стационарной траекторией производства.

Определение 9.2. Говорят, что в экономике наблюдается сбалансированное снижение цен, если существует такое постоянное число , что для всех n товаров

(9-18)

Постоянное число называется нормой процента.

Содержательно (9-18) означает, что цены на все товары снижаются одинаковыми темпами

Название «норма процента» для темпа снижения принято по ассоциации с показателем нормы процента (нормы доходности) в формуле сложного процента , где R₀ – сумма начального вложения, R_n – получаемая через n периодов конечная сумма, - норма процента.

Из равенства (9-17) получаем:

(9-19)

где - цены, установившиеся к началу планового периода.

В случае сбалансированного снижения цен последовательность называется стационарной траекторией цен.

Подставляя (9-17) и (9-19) в модель Неймана, получаем ее «стационарную» форму:

(9-20)

Эта система соотношений показывает, что по стационарным траекториям y и p экономика развивается согласно неизменному динамическому закону. Поэтому такую ситуацию естественно назвать равновесной.

Контрольные вопросы к теме №9

1. Охарактеризуйте основные блоки межотраслевых таблиц.

2. В чем заключается суть межотраслевого баланса.

3. Что такое коэффициенты прямых затрат.

4. Сформулируйте критерии продуктивности матрицы.

5. Каков экономический смысл элементов обратной матрицы Леонтьева.

6. Модель расширяющейся экономики Неймана.

7. Как определяются матрицы затрат, выпуска и вектор интенсивностей.

8. Что такое базисные процессы.

9. Как характеризуется стационарная траектория производства.

Вопросы к экзамену

1. Понятие модели. Типы моделей.

2. Информационные технологии построения моделей.

3. Функции полезности. Кривые безразличия.

4. Предельная полезность и предельная норма замещения.

5. Оптимальный план потребления.

6. Производственные функции.

7. Предельная производительность и предельная норма замещения ресурсов.

8. Издержки производства.

9. Оптимальный план производства.

10. Паутинообразная модель рынка. Модель П.Самуэльсона.

11. Модель общего равновесия.

12. Двухсекторная модель.

13. Модели управления запасами. Детерминированный спрос (общий случай).

14. Модель Уилсона.

15. Определение национального дохода.

16. Макромодель роста.

17. Модель делового цикла.

18. Основные понятия и задачи эконометрики.

19. Эконометрические модели. Линейная регрессионная зависимость.

20. Оценка параметров линейной регрессии.

21. Анализ межотраслевых связей. Модель Леонтьева.

22. Расчеты в модели межотраслевых связей. Определение равновесных цен.

23. Модель фон Неймана.

24. Динамические модели межотраслевых связей.

25. Решение задачи линейного программирования. Метод обратной матрицы.

26. Обобщенная модель Леонтьева.

27. Анализ деятельности. Модель Канторовича.

28. Модель линейного программирования фоннеймановского типа.

29. Траектория равновесного роста. Траектория фон Неймана.

30. Магистральные модели.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. – М.: Наука, 1984.

2. Вершинин О.Е. Компьютер для менеджера. – М.: Высшая школа, 1990.

3. Гринберг А.С. и др. Информационные технологии моделирования процессов управления экономикой. Учебное пособие. Части I – V. Мн.: АУ при Президенте РБ, 1998 год.

4. Гринберг А.С., Гурина Т.Н. Экономико-математические модели и методы. Методическое пособие. – Мн.: АУ при КМ РБ, 1995.

5. Д.Форрестер. Основы кибернетики предприятия (индустриальная динамика). – М.: Прогресс, 1971.

6. Лившиц А.Я. Введение в рыночную экономику. – М.: Станкин, 1992.

7. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. – М.: Наука, 1984.

8. Лотоцкий В.А., Мандель А.С. Модели и методы для управления запасами. – М.: Наука, 1991.

9. Под ред. А.В. Кузнецова. Экономико-математические методы и модели. – Минск: БГЭУ, 2000.

10. Под ред. М. Кубонива. Математическая экономика на персональном компьютере. – М: Финансы и статистика, 1991.

11. Сакович В.А., Сакович В.А. Исследования операций. – Мн.: Вышэйшая школа, 1985.

12. Тарасевич В.М. Экономико-математические методы и модели в ценообразовании. Ч. I, II. – Л.: ЛФЭИ, 1991.

Учебное издание

Система открытого образования

Гринберг Анатолий Соломонович

Плющ Олег Борисович

Шешолко Владимир Константинович

Экономико-математические
методы и модели

Курс лекций

2-е издание, стереотипное

В авторской редакции

Ответственный за выпуск О.Н. Солдатова

Технический редактор Т.В. Жибуль

Художник обложки О.А. Стасевич

Компьютерная верстка Н.М. Азаревич

Подписано в печать 30.08.2005.

Формат _/16. Бумага офсетная.
Гарнитура Times. Печать трафаретная.

Усл.печ.л. 13,02. Уч.-изд.л. 14,0. Тираж 190 экз. Заказ

Издатель и полиграфическое исполнение:

Академия управления при Президенте Республики Беларусь

ЛИ № 02330/0056905 от 01.04.2004 г.

ЛП № 02330/0056837 от 11.05.2004 г.

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

220007, г. Минск, ул. Московская, 17.