Классификация задач оптимизации

ЗАДАЧА О ПЛАНИРОВАНИИ ПРОИЗВОДСТВА

Постановка задачи

o Предприятие химической промышленности производит продукцию видов: П1, П2,..,Пj. (j= 1, 2,.., m)

o На изготовление продукции идут разные типы сырья: S1, S2, .., Si .(i= 1, 2,.., n)

o Запасы ограничены числами g1, g2,.., gi единиц каждого вида сырья.

o aij количество единиц i-го сырья, необходимое на изготовление одной единицы j-й продукции

o При реализации продукция Пj приносит предприятию прибыль mj

o По каждому виду продукции дан план выпуска продукции: не менее bj единиц продукции Пj

o Количество произведённых единиц каждого типа продукции ограничено условиями спроса: не более yj единиц.

Необходимо рассчитать, какое количество сырья каждого вида идёт на изготовление каждого вида продукции, чтобы план был выполнен при отсутствии «затоваривания», а суммарная прибыль обращалась в максимум.

Математическая модель

Обозначения

X1, X2,.., Xj – количества единиц продукции П1, П2,..,Пj, которые может произвести предприятие.

Ограничения

Выполнение планового задания:

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

Отсутствие излишней продукции:

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

Количество сырья с учетом запасов:

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

Неотрицательность переменных

X1, X2,.., Xj классификация задач оптимизации - student2.ru

Целевая функция

Необходимо определить неотрицательные значения переменных, чтобы они удовлетворяли ограничениям неравенствам и максимизировали линейную функцию этих переменных:

классификация задач оптимизации - student2.ru

ЗАДАЧА О СОСТАВЛЕНИИ СМЕСЕЙ

В различных отраслях промышленности возникает проблема составления таких рабочих смесей на основе исходных материалов, которые обеспечивали бы получение конечного продукта, обладающего заданными свойствами.

Проблема рационального использования сырья в этих случаях может быть решена путем применения экономико-математических моделей оптимального составления смесей.

К этой группе задач относятся задачи о выборе состава горючих и смазочных смесей в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве, составлении кормового рациона в животноводстве, шихт в металлургии и т. д.

Как правило, исходные компоненты смеси взаимозаменяемы по содержанию качественных характеристик. При этом важно обеспечить соответствие готовой продукции по указанным качественным характеристикам необходимым требованиям, которые определяются стандартами и сертификатами.

Модель задачи позволяет найти такой набор компонентов смесей и их количественное соотношение, которое удовлетворяет заданным технологическим требованиям по качеству, а также требованиям принятого критерия (минимальной себестоимости или максимальной прибыли).

Задача смешивания может быть рассмотрена в натуральных единицах или в долях.

Задача определения количества сырья, необходимого для получения смеси заданного объема

Постановка задачи

Для получения готовых бензинов на установку поступают различные исходные компоненты (нефтепродукты). Необходимо определить, в каких количествах должны смешиваться различные исходные компоненты, чтобы различные сорта бензина выпускались в соответствии с планом и заданными по стандарту качественными характеристиками при обеспечении рентабельной работы установки.

Математическая модель

Обозначения

Xjk – количество j-го вида исходного нефтепродукта, направляемое на получение k- го вида бензина

Bk – плановое задание по выпуску бензина k-го сорта,

классификация задач оптимизации - student2.ru - ограниченное количество j-го вида исходного нефтепродукта;

hij – содержание i – той качественной характеристики в единице j – го исходного нефтепродукта;

Hik – содержание i - той качественной характеристики в бензине k- го вида;

Cj – цена исходного j- го нефтепродукта;

mk– цена бензина k - го вида.

j= 1,2,.., n – количество исходных нефтепродуктов;

k= 1,2,.., K – количество выпускаемых бензинов;

i= 1,2,.., m – количество анализируемых качественных характеристик;

Ограничения

по объему ресурсов:

классификация задач оптимизации - student2.ru

по выпуску продукции:

классификация задач оптимизации - student2.ru

по качественным характеристикам:

классификация задач оптимизации - student2.ru

Неотрицательность переменных

классификация задач оптимизации - student2.ru классификация задач оптимизации - student2.ru

Целевая функция

Требуется определить классификация задач оптимизации - student2.ru – количество j–го вида исходного нефтепродукта, направляемое на получение k- го вида бензина.

Модель задачи представлена в выражениях:

классификация задач оптимизации - student2.ru

4.1.3 ЗАДАЧА ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ МОЩНОСТЕЙ ("О ЗАГРУЗКЕ ОБОРУДОВАНИЯ")

j= 1,2,.., n – количество исходных нефтепродуктов;

k= 1,2,.., K – количество выпускаемых бензинов;

i= 1,2,.., m – количество анализируемых качественных характеристик;

Пусть завод располагает двумя видами станков, соответственно классификация задач оптимизации - student2.ru и классификация задач оптимизации - student2.ru штук каждого вида. Каждый из станков может производить 3 вида деталей с производительностью классификация задач оптимизации - student2.ru

Каждая партия деталей(по их видам) приносит доход, соответственно, классификация задач оптимизации - student2.ru , классификация задач оптимизации - student2.ru и классификация задач оптимизации - student2.ru .

Заводу предписан план, согласно которому она должна производить в месяц (по видам деталей) не менее классификация задач оптимизации - student2.ru , классификация задач оптимизации - student2.ru и классификация задач оптимизации - student2.ru партий деталей.

Для исключения затоваривания торговли объем выпуска деталей не должен превышать (по видам деталей) классификация задач оптимизации - student2.ru , классификация задач оптимизации - student2.ru и классификация задач оптимизации - student2.ru партий. Кроме того, все без исключения станки должны быть загружены. Требуется так спланировать загрузку станков, чтобы суммарный месячный доход L был максимален.

Формальная постановка задачи.

Элементами решения являются не количество деталей по видам, а количество станков, занятых производством той или иной партии.

Математическая модель

Так как видов станков 2, а видов деталей 3, то удобнее элементы решения обозначить двумя индексами (первый - вид станка, второй - вид деталей): классификация задач оптимизации - student2.ru , классификация задач оптимизации - student2.ru , классификация задач оптимизации - student2.ru , классификация задач оптимизации - student2.ru , классификация задач оптимизации - student2.ru , классификация задач оптимизации - student2.ru

Выполнение планового задания:

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

Отсутствие излишней продукции:

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

Ограничения, связанные с наличием станков и необходимостью их полной загрузки имеют вид:

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

Суммарное количество партий деталей первого вида, произведенное всеми станками, будет равно классификация задач оптимизации - student2.ru и принесет доход классификация задач оптимизации - student2.ru ).

Суммарный для завода месячный доход равен:

классификация задач оптимизации - student2.ru )

Целевая функция

найти такие неотрицательные значения переменных х111213,x21,x22,x23, которые должны удовлетворять ограничениям и одновременно обращали в максимум линейную функцию этих переменных, т.е.

классификация задач оптимизации - student2.ru

Математическая модель представляет собой (4) и систему ограничений (1, 2, 3).

4.1.4 ЗАДАЧА "О ПОСТАВКЕ СЫРЬЯ"

№ предприятия Склад № 1 Склад № 2 Склад № 3 Склад № 4 Склад № 5
  с11 с21 с31 с12 с22 с32 с13 с23 с33 с14 с24 с34 с15 с25 с35

Пусть имеются 3 предприятия, требующих, соответственно, а12 и а3 единиц сырья. Имеются 5 складов сырья, обеспечивающих стоимости поставок сырья, указанные в таблице.

Запас сырья на базах равен, соответственно, b1,b2,b3,b4 и b5 единиц сырья.

Требуется составить такой план снабжения предприятий сырьем (с какой базы, куда и сколько сырья везти), чтобы потребности предприятий были обеспечены при минимальных расходах на сырье.

Формальная постановка задачи. Обозначим через xij количество сырья, получаемое i-м предприятием с j-го склада. Всего план будет состоять из 15 элементов решения:

x11,x12,x13,x14,x15,x21,x22,x23,x24,x25, x31,x32,x33,x34,x35.

Ограничения-равенства по потребностям:

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

Ограничения-неравенства, вытекающие из возможностей складов:

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

классификация задач оптимизации - student2.ru

x14 +x24+x34≤b4;

x15+x25+x35≤b5.

С учетом таблицы, пользуясь знаком двойной суммы, получим суммарные расходы на сырье:

3 5

L=∑ ∑(сij·xij)→ min. (7)

i=1 j=1

Математическая модель представляет собой (7) и систему ограничений (5, 6), а поставленная задача сводится к нахождению неотрицательных значений элементов решения xij, при условии, что они удовлетворяют системе ограничений.


Наши рекомендации