С помощью значений дельта – коэффициента и среднего коэффициента эластичности можно исключить из модели самый незначимый признак. Им признается тот, у которого одновременно
, .
Решаем задачу. Вначале, запишем эмпирические данные (объем выборки n=10) в виде таблицы:
Y | ||||
Все необходимые расчеты осуществлены в таблице 12. Под таблицей рассчитаем средние значения, дисперсии (по формуле разностей) и средние квадратические отклонения каждого из признаков.
Таблица 12
у | ||||||||||||||
Y: , ,
, .
: , ,
, .
: , ,
, .
: , ,
, .
Теперь найдем средние значения произведений признаков:
;
;
;
;
;
;
.
Вычисляем межфакторные и парные коэффициенты линейной корреляции:
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
.
Займемся отбором факторных признаков в модель.
Сначала с вероятностью 0,95 оценим статистическую значимость каждого из имеющихся факторных признаков. Согласно таблице 3 приложения критическое значение критерия Стьюдента для уровня значимости
α = 1 - 0,95 = 0,05 и числа степеней свободы ν =10 – 2 = 8 равно
.
Вычислим наблюдаемые значения:
: ;
: ;
: .
Видим, что только для признака выполняется правило проверки гипотезы. Следовательно, он однозначно включается в модель.
Между признаками и нарушается принцип отсутствия автокорреляции, , связь между ними тесная. Поэтому, один из этих признаков подлежит исключению. Поскольку > , то признак исключается из рассмотрения, а признак - остается.
Множественный коэффициент корреляции равен:
Найденное значение указывает на высокую степень тесноты и линейности корреляционной зависимости.
С вероятностью 0,95 выдвинем гипотезу о статистической значимости эмпирических данных. Поскольку n = 10, k =2, то α=1-0,95 = 0,05 , . Согласно таблице 4
.
Наблюдаемое значение равно:
.
Правило проверки гипотезы выполнено. Поэтому с вероятностью 0,95 гипотеза о статистической значимости эмпирических данных принимается, корреляционная модель может быть построена.
Общий индекс детерминации равен
.
Следовательно, факторные признаки, отобранные в модель, влияют на
результативный в пределах 59,43%. Это не очень сильное влияние. Согласно закону Парето степень влияния должна быть не меньше 80%.
Линейная модель, описывающая корреляционную зависимость, имеет следующий общий вид:
.
Используя таблицу 12, получаем систему нормальных уравнений:
;
.
Решая систему, получаем:
, , .
Итак, искомое уравнение регрессии имеет вид:
.
Найдем параметры уравнения регрессии упрощенным способом:
,
.
Найдем среднюю ошибку аппроксимации. Для этого, подставив значения факторных признаков, соответствующих данному значению y в модель, получаем теоретические значения y* . Вычисления производим в таблице:
у | ||||
6672,0838 | 0,3347 | |||
7708,8693 | 0,1126 | |||
7824,4743 | 0,1337 | |||
8461,0588 | 0,1620 | |||
6644,8366 | 0,1793 | |||
12009,5096 | 0,0804 | |||
6574,3001 | 0,3472 | |||
6894,8649 | 0,0626 | |||
8339,5446 | 0,1715 | |||
8642,1934 | 0,0962 | |||
- | - | - | 1,6801 |
Итак, значение средней ошибки аппроксимации равно
,
что говорит о низкой точности модели.
Определим значения дельта – коэффициентов. Имеем:
или 91,54%,
или 8,46%.
Сумма дельта – коэффициентов равна 1, следовательно, есть все основания полагать, что вычисления произведены верно. Итак, признак влияет на признак Y в пределах 91,54%, а степень влияния признака равна 8,46%.
Найдем величины средних коэффициентов эластичности:
или 47,82%,
или 12,23%.
Таким образом, изменение признака на 1% влечет за собой изменение признака Y на 47,82%, а вследствие изменения признака , изменение признака Y составит 12,23%
Перейдем к модели с парной регрессией. Поскольку одновременно минимум дельта – коэффициента и среднего коэффициента эластичности соответствует признаку ,
,
,
то он исключается из модели. Итак, общий вид уравнения парной регрессии следующий:
.
Так как , то согласно выводам задачи 9 связь признается линейной и тесной. Уравнение прямой линии регрессии найдем упрощенным способом (смотри п. 6 задачи 9): ;
;
;
.
Для заметок
Тема 4. «Ряды динамики»
Задача 11.Реализацияпродукции магазином (тыс. руб.) в 2006 – 2008 годах характеризовалось следующими данными (на конец месяца):
Месяц | Реализацияпродукции (на конец месяца, тыс. руб.) | ||
Январь | 401,3 | 412,5 | 374,6 |
Февраль | 286,6 | 335,1 | 245,5 |
Март | 332,5 | 348,5 | 304,6 |
Апрель | 197,8 | 198,4 | 171,1 |
Май | 209,7 | 220,8 | 210,8 |
Июнь | 294,4 | 323,0 | 321,3 |
Июль | 275,0 | 281,4 | 244,7 |
Август | 329,7 | 399,0 | 345,6 |
Сентябрь | 476,5 | 531,8 | 495,4 |
Октябрь | 503,6 | 551,0 | 523,2 |
Ноябрь | 408,7 | 428,1 | 385,3 |
Декабрь | 341,8 | 283,0 | 274,2 |
По данным 2008 года необходимо:
а) определить тип ряда динамики;
б) произвести анализ уровней ряда динамики цепным и базисным способами (за базисный принять уровень января 2008 года);
в) найти средние значения уровней ряда динамики и его числовых характеристик.
1. Рядом динамики называется способ записи случайной величины (признака, фактора) Y, при котором ее значения (уровни) приведены в зависимости от времени . Если - интервал времени (например, месяц, квартал, год и т. д.), то ряд динамики есть интервальный. Если же значения уровней приведены на определенную дату (например, начало месяца, конец квартала, начало года и т. д.), то ряд динамики есть моментный. Различают также ряды динамики с равноотстоящими и неравноотстоящими по времени уровнями. Ряд динамики принято представлять в виде таблицы:
… | ||||
… |
2. Сравнение уровней ряда динамики производится двумя способами: цепным и базисным. При первом способе данный уровень сравнивается с предыдущем ему уровнем . Во втором случае выбирается базисный уровень (не обязательно первый) и все остальные уровни сравниваются с ним. Имеют место следующие
основные показатели, характеризующие изменения уровней ряда динамики: абсолютный прирост, коэффициент роста, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста (расчет этого показателя имеет экономический смысл только на цепной основе). Их расчетные формулы приведены в таблице:
Показатель | Обозначение | Расчетная формула | |
Цепной способ сравнения | Базисный способ сравнения | ||
Абсолютный прирост | |||
Коэффициент роста | |||
Темп роста | |||
Темп прироста | |||
Абсолютное значение одного процента прироста | |%| | или | - |
3. В зависимости от типа ряда динамики среднее значение его уровней подсчитывается по формуле:
- если ряд динамики интервальный с равностоящими уровнями;
- если ряд динамики интервальный с неравноотстоящими уровнями,
- временная разность между данным и следующим уровнем, ;
- если ряд динамики моментный с равноотстоящими уровнями;
- если ряд динамики моментный с неравноотстоящими уровнями,
- временная разность между данным и следующим уровнем.
Среднее значение абсолютного прироста равно:
.
Величина среднего значения коэффициента роста равна:
.
Среднее значение темпов роста подсчитывается по формуле:
.
Наконец, среднее значение темпов прироста рассчитывается следующим образом:
.
Переходим к решению задачи. Так как значения уровней приведены на определенную дату (конец месяца), временная разность между уровнями постоянная (1 месяц), то рассматриваемый ряд динамики является моментным с равноотстоящими уровнями.
Найдем числовые характеристики уровня ряда динамики. Результаты расчетов помещены в таблицу 13.
В качестве примера произведем анализ строки таблицы 13, соответствующей октябрю месяцу. В октябре 2008 года магазин реализовал продукции на 523,2 тыс. руб., что на 27,8 тыс. руб. больше по сравнению с сентябрем и на 148,6 тыс. руб. больше по сравнению с январем 2008 года. Следовательно, реализация продукции в октябре увеличилась в 1,0561 раза по сравнению с октябрем и в 1,3967 раза по сравнению с январем. Уровень реализации в октябре составил 105,6116% от сентябрьского и 139,669% от январского уровня реализации. Таким образом, продукции в октябре реализовано на 5,6116% больше по сравнению с сентябрем и на 39,669% больше по сравнению с январем месяцем. Величина абсолютной величины одного процента прироста составила 4,954 тыс. руб.
Таблица 13
, тыс. руб. | , % | , % | |%|, тыс. руб. | |||||||
С пред. месяцем | С январем 2008 г. | С пред. месяцем | С январем 2008 г. | С пред. месяцем | С январем 2008 г. | С пред. месяцем | С январем 2008 г. | |||
374,6 | - | - | - | - | - | |||||
245,5 | -129,1 | -129,1 | 0,6554 | 0,6554 | 65,5366 | 65,5366 | -34,4634 | -34,4634 | 3,746 | |
304,6 | 59,1 | -70 | 1,2407 | 0,8131 | 124,0733 | 81,3134 | 24,0733 | -18,6866 | 2,455 | |
171,1 | -133,5 | -203,5 | 0,5617 | 0,4568 | 56,1720 | 45,6754 | -43,8280 | -54,3246 | 3,046 | |
210,8 | 39,7 | -163,8 | 1,2320 | 0,5627 | 123,2028 | 56,2734 | 23,2028 | -43,7266 | 1,711 | |
321,3 | 110,5 | -53,3 | 1,5242 | 0,8577 | 152,4194 | 85,7715 | 52,4194 | -14,2285 | 2,108 | |
244,7 | -76,6 | -129,9 | 0,7616 | 0,6532 | 76,1594 | 65,3230 | -23,8406 | -34,6770 | 3,213 | |
345,6 | 100,9 | -29 | 1,4123 | 0,9226 | 141,2342 | 92,2584 | 41,2342 | -7,7416 | 2,447 | |
495,4 | 149,8 | 120,8 | 1,4334 | 1,3225 | 143,3449 | 132,2477 | 43,3449 | 32,2477 | 3,456 | |
523,2 | 27,8 | 148,6 | 1,0561 | 1,3967 | 105,6116 | 139,6690 | 5,6116 | 39,6690 | 4,954 | |
385,3 | -137,9 | 10,7 | 0,7364 | 1,0286 | 73,6430 | 102,8564 | -26,3570 | 2,8564 | 5,232 | |
274,2 | -111,1 | -100,4 | 0,7117 | 0,7320 | 71,1653 | 73,1981 | -28,8347 | -26,8019 | 3,853 |
Найдем среднее значение уровней ряда динамики. Имеем: среднемесячный объем реализации продукции магазином составил в 2008 году
324,7 (тыс. руб.).
Так как
,
то заключаем, что ежемесячное падение объемов реализации продукции в 2008 году составляло в среднем 9,1 тыс. руб.
Среднее значение коэффициента роста равно
.
Это означает, что месячный уровень объема реализации составляет в среднем 0,972 от предыдущего месяца или (согласно формуле среднего значения темпов роста)
.
Итак, в среднем в месяц, объем продаж сокращался на 2,8% по сравнению с предыдущим месяцем, так как
.
Задача 12. По данным задачи 11 (рассмотреть данные 2008 года) построить уравнение линейной функции тренда.
На формирование значение уровней ряда динамики основное влияние оказывают долговременные факторы, формирующие общую, в длительной перспективе тенденцию развития признака. Результат действия этих факторов моделируется в виде функции тренда
.