Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена.

В моделях рыночного равновесия спрос и предложение обычно представлены непрерывными функциями. Предполагается, что всякому малому изменению цены соответствует определенное изменение объемов спроса и предложения. Такое предположение не всегда реалистично. Непрерывное изменение цены не обязательно сопровождается непрерывным же изменением объемов спроса и предложения, которые могут изменяться скачкообразно, оставаясь нечувствительными к малым изменениям цены. В этом случае функции спроса и предложения имеют ступенчатый характер.

Используя некоторые элементы теории множеств, можно предложить достаточно общую модель равновесной цены, справедливую как для непрерывных, так и для дискретных функций спроса и предложения. При этом оказывается, что равновесная цена может быть представлена как медиана упорядоченного множества цен спроса и предложения.

Пусть максимально возможный объем предложения некоторого товара составляет Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru . Пусть, далее, все возможные цены предложения этого товара представлены множеством

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

а все возможные цены спроса – множеством

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

Очевидно, что эти множества могут оказаться количественно эквивалентными или равномощными ( Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru ) лишь случайно. Скорее всего, мощность множества Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru будет больше мощности множества Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru ( Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru ) хотя возможно и обратное ( Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru ). Чтобы сделать их равномощными, мы можем дополнить меньшее по мощности множество "недостающими" элементами.

Конкретно, если Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru , дополним множество Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru ценами предложения Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru . Если же Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru дополним множество Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru ценами спроса Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru . Здесь бесконечно высокие цены предложения означают невозможность увеличить объем предложения ни при каком разумном уровне затрат. Нулевые цены спроса свидетельствуют об ограниченной в силу каких-то причин емкости рынка.

Теперь мы имеем два количественно эквивалентных множества:

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

Очевидно, что при любом уровне рыночной цены (р) алгебраическая сумма отклонений от нее всех цен спроса и предложения будет равна суммарному излишку покупателей и продавцов:

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

При этом взаимовыгодным обмен будет лишь для тех покупателей и продавцов, у которых величина излишка будет неотрицательной, а невзаимовыгодным для тех, у кого она окажется неположительной. Следовательно, равновесная рыночная цена ( Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru ) должна в отличие от любой другой обеспечивать равенство суммы модулей отклонений от нее цен спроса и предложения разности Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru неотрицательных и ( Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru ) неположительных сумм общественной выгоды по всем Q единицам товара ( Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru - равновесный объем рынка при цене Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru ): (**)

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

А поскольку сумма абсолютных значений двух величин не может быть меньше их алгебраической суммы, то

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

и, следовательно,

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

Тогда можем переписать (**)так:

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

Последнее означает, что сумма модулей отклонений всех цен спроса и предложения от равновесной цены Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru меньше, чем от любой другой величины. Но таким свойством обладает лишь медиана (Me) всей совокупности цен спроса и предложения. В этом легко убедиться.

Объединим множества Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru и Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru в единое упорядоченное множество:

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

Тогда

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

Или, принимая, что

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

Развернуто

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

Дифференцируя и приравнивая нулю, найдем

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru => Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru

Следовательно

Равновесная цена в случае, когда функция спроса и предложения - дискретны. Медиана – как равновесная цена. - student2.ru


Наши рекомендации