Пример применения метода множителей Лагранжа

Оптимизация распределения нагрузок между параллельно работающими агрегатами.

В пищевой, химической промышленности, энергетике и других отраслях часто используются системы, состоящие из параллельно включённых объектов. Это связанно с расширением производства путём ввода дополнительных мощностей. Кроме того, при этом повышается надёжность системы, так как вывод из строя части объектов не делает её неработоспособной; при переменных нагрузках отключение части объектов позволяет оставшимся работать в более экономичном режиме.

Система из n таких параллельных объектов изображена на рис. 2.1

Сделаем два важных допущения:

1. Состав работающих объектов определён, т.е. каждый объект включён и должен потреблять сырья не менее х_{i min}.

Рисунок 2.1 – система параллельных объектов

2. Нагрузочные характеристики y_i = ƒ_i(x_i) – выпуклые функции. Возможный вид такой характеристики показан на рисунке 5.2

Рисунок 2.2 Нагрузочная характеристика объекта

Сформулируем задачу об оптимальном распределении нагрузок как задачу о таком выборе расходов сырья x_i на каждый объект, чтобы общая производительность у всех n объектов была максимальна при заданном расходе сырья на всю систему М. При этом будут предлагать расходы сырья скалярными величинами, т.е. не учитывать, например его состав.

Обозначим через ƒ_i(x_i) зависимость производительности i – го объекта у_i от расхода сырья – нагрузочную характеристику. Будем считать, что эта производительность соответствует оптимальному выбору всех его режимных переменных, кроме нагрузки по сырью. Тогда задача оптимизации примет вид

(2.30)

при условии

или (2.31)

.

Нормальная Функция Лагранжа для задачи (2.30), (2.31) принимает вид

(2.32)

Необходимые условия максимума приводят к соотношениям

(2.33)

Решаю систему уравнений (2.33), получаем

Отсюда находим λ и , .

Полученное решение проверяется на максимум , кроме того, ни один из объектов не должен выйти на предельное значение расхода сырья, т.е. должен выполнять условие , . На практике, однако, некоторые объекты не могут работать при предельных нагрузках. Изложим алгоритм последовательного назначения предельных нагрузок, предназначенных для работы расчёта оптимального решения в этом случае.

Введём ограничения, наложенные на каждую из нагрузок,

, (2.34)

Будим называть нагрузки, подсчитанные из условий стационарности (2.33) функция Лагранжа без учёта ограничений (2.32) на x_i стационарными и обозначают их как .

1-й шаг. Из уравнений (2.33) рассчитываем стационарные нагрузки без учёта (2.32) после чего разбиваем все объекты на три группы – недогруженные ( ), перегруженные ( ) и средние ( ). Множество индексов недогруженных агрегатов обозначим через N, а перегруженных – через Р.

2-й шаг. Подсчитываем суммарную перегрузку как разницу между суммой стационарных нагрузок и предельных нагрузок для перегруженных объектов.

Аналогично рассчитываем суммарную недогрузку по всем недогруженным объектам

3-й шаг. Возможны три случая:

а) если Δ_P > Δ_N , то оптимальные нагрузки перегруженных объектов следует назначить равные предельные значениям

Найти сумму этих нагрузок , вычесть её из М и оставшуюся нагрузку (М-L₁) распределять между оставшимися объектами (выполнять шаг 1 для оставшихся объектов);

б) если Δ_P < Δ_N то оптимальные нагрузки неотгруженных объектов следует принимать минимально доступными

рассчитывать , а оставшуюся нагрузку (М-L₂) распределить между средними и перегруженными объектами (шаг 1 );

в) если Δ_P = Δ_N , то всем перегруженным объектам назначают максимальные , всем недогруженным – минимальные нагрузки , а средним – рассчитывать для них стационарные нагрузки . В этом последнем случае задача решена.

В случаях «а» и «б» переходим к шагу 1 с меньшей суммарной нагрузкой и меньшим числом объектов. Так как после каждого цикла число объектов, нагрузки которых не определены, уменьшается хотя бы на единицу, то решение будет получено после конечного числа циклов, не превышающего n.