Тема: Решение задач замены оборудования средствами ЭТ Excel

Цель:

1. Ознакомиться с основными понятиями

2. Освоить порядок определения оптимальных сроков замены оборудования

3. Научиться оценивать полученные результаты

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Классификация задач замены оборудования

Задачи замены оборудования по наличию того или иного признака можно разделить следующим образом.

1. По характеру замены оборудования на три типа:

- по замене оборудования длительного использования из-за неуклонно возрастающих с увеличением срока службы эксплуатационных затрат. В этих задачах определяется оптимальный срок службы оборудования, минимизирующий эксплуатационные затраты;

- по замене оборудования с целью предупреждения отказов (поломки). Требуется найти такое время замены оборудования, чтобы суммарные издержки были минимальными.

- по выбору оптимального плана предупредительного ремонта и профилактического обслуживания оборудования для уменьшения вероятности отказа.

2. По характеру учета затрат на оборудование на дискретные и непрерывные. Если расходы по ремонту и уходу за оборудованием производятся через некоторые интервалы времени, то задача дискретная, в противном случае – непрерывная.

3. По выходу из строя оборудования на детерминированные и случайные. Если расходы по ремонту и уходу за оборудованием являются постоянными или известными функциями от времени, то мы имеем детерминированную задачу замены оборудования.

4. По стратегии замены оборудования на плановые и смешанные. Если замена оборудования производится строго по плану с учетом соотношения затрат на ремонт и уход за оборудованием, то имеем задачу с плановой стратегией замены оборудования. Смешанные задачи замены оборудования ¾ это задачи, в которых придерживаются плановой стратегии замены оборудования, но если оборудование вышло из строя раньше запланированного времени, то оно заменяется.

5. По времени учета затрат на оборудование с приведением затрат и без приведения затрат. Если затраты на эксплуатацию оборудования осуществляются в разные сроки или они изменяются во времени, то следует привести затраты более поздних лет к расчетному, в этом случае имеем задачу замены оборудования с приведением затрат, в противном случае ¾ без приведения затрат.

1.2 Задача замены оборудования длительного

пользования

Постановка задачи

Пусть в эксплуатации находится некоторое оборудование. Покупная цена оборудования S. Известны затраты на эксплуатацию оборудования (уход за ним, ремонт т.д.), производимые в начале (1,2, …, t,… n) периодов. Предположим, что периоды равны году. Обозначим затраты, производимые в t – й период, через C_t . В результате старения балансовая цена оборудования непрерывно падает и зависит от периода списания, обозначим ее S_t. Требуется определить период списания оборудования, чтобы затраты на единицу времени были минимальны.

Математическая модель

Рассмотрим задачи :

1. Дискретную, в которой известны C₁, C₂ … C_t (где С_t+1 > C_t), а также значения S₁, S₂ … S_t (где S_t+1 < S_t);

2. Непрерывные задачи, в которых известны зависимости C_t=F(t) S_t=F(t):

a) Ct и St линейно зависят от t

(7.1)

b) Ct и St квадратично зависят от t

(7.2)

Это связано с заменой оборудования, подверженного износу.

Средние затраты для дискретной задачи:

(7.3)

Средние затраты для непрерывной задачи:

a) линейная зависимость

(7.4)

b) квадратичная зависимость

(7.5)

Для всех этих случаев b₀=S, так как S₀=S.

Для дискретной задачи затраты при замене оборудования через t периодов будут минимальными, если значение средних затрат на эксплуатацию оборудования в очередном периоде t меньше значения средних затрат за все предыдущие и последующие периоды, т.е. выполняется соотношение:

Y(t-1)>Y(t)< Y(t+1) (7.6)

После соответствующих преобразований получим:

С_t +S_t-1-S_t< Y(t)< C_t+1-S_t+1+S_t (7.7)

Данное условие при любых соотношениях между величинами Ct и St является необходимым условием оптимальности стратегии, а так как C_t+1>C_t и S_t+1<S_t , то написанное условие является еще и достаточным условием оптимальности;

Для непрерывной задачи значение средних затрат Yt достигает оптимального значения в точке экстремума функции, выраженной одной из формул (7.4-7.5). Экстремум функции можно найти методами дифференциального исчисления (равенство нулю первой частной производной функции Yt по параметру t).

a) линейная зависимость

(7.8)

Оптимального периода списания нет. Если функции Ct и St линейные, то средние издержки эксплуатации оборудования будут постоянными, поэтому, если хотят произвести замену оборудования в любое время, достаточно обеспечить линейность характеристик Ct и St;

b) квадратичная зависимость

(7.9)

В этом случае средние издержки линейно зависят от периода эксплуатации.

1.3 Задача замены оборудования с учетом

приведения затрат к текущему моменту времени

Постановка задачи

Пусть в эксплуатации находится некоторое оборудование. Покупная цена нового оборудования известна и равна S. Допустим, что известны затраты на эксплуатацию оборудования в периоды 1, 2, …, n – С1, …, Сi, …, Cn. Для упрощения предположим, что цена St включена в затраты Ct. Требуется минимизировать затраты, приведенные к текущему моменту времени на единицу времени, т.е. определить, через какое время t следует производить замену оборудования, чтобы суммарные приведенные затраты на его эксплуатацию и на приобретение нового оборудования были минимальны.

Математическая модель.

Так, как капитальные вложения, связанные с заменой оборудования, осуществляются в разные сроки, то необходимо приводить более поздние затраты к текущим по формуле

(7.10)

где k_t ¾ затраты в t периоде;

t ¾ период проведения ;

E_нп ¾ норматив для приведения разновременных затрат.

Обозначим через r = 1/(1+Е_нп); А тенге сегодня равны r^tA=A/(1+Е_нп)^t тенге в период t. Обозначим через Y_t размер затрат, приведенных к текущему моменту времени, за все будущее время.

(7.11)

Чтобы затраты при замене оборудования были наименьшими должно выполняться условие (7.6) . Подставив (t+1) вместо t в целевую функцию Y_t и выполнив ряд преобразований, получаем:

(7.12)

Аналогично, подставив (t-1) вместо t в целевую функцию Y_t и выполнив ряд преобразований, находим:

(7.13)

Если теперь вместо Y_t подставить его математическое выражение через искомый параметр, получим:

(7.14)

Из этого неравенства вытекают следующие правила замены оборудования:

1) если затраты на эксплуатацию оборудования в очередном периоде меньше средневзвешенных затрат за все предыдущие периоды, то оборудование не следует заменять;

2) если же затраты на эксплуатацию оборудования в очередном периоде превосходят средневзвешенные затраты за все предыдущие периоды, то оборудование следует заменять.

2 ПРИМЕР Выполнения лабораторной работы

2.1 постановка задачи

Для приведенных исходных данных определите оптимальный срок списания оборудования:

Покупная цена оборудования S=1500 у. е .

Затраты на эксплуатацию оборудования Ct= 30 *t

Норматив для приведения разновременных затрат Eнп=0,08

2.2 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Решение задачи проводится по приведенному алгоритму.

Алгоритм 7.1. Решение задачи замены оборудования с учетом приведения затрат к текущему моменту времени.

1. Создание формы для ввода условий задачи.

Ø Откройте рабочий лист ЭТ Excel

Ø Сделать форму для ввода условий задачи (рисунок 7.1)

Весь текст на рисунке 7.1 и в дальнейшем является комментарием и на решение задачи не влияет.

2. Ввод исходных данных.

Ø В ячейки G2:G5 введите исходные данные S, Енп, А1, А2

Рисунок 7.1

Рисунок 7.2

Ø В ячейки А11:А25 введите значения t от 1 до 20, используя автозаполнение. На экране: Рисунок 7.2

3. Ввод зависимостей из математической модели (Рисунок 7.3)

3.1. Присвойте имена ячейкам G2:G5:

Ø Курсор в G2

Ø М1

Ø Вставка, Имя, Присвоить…

На экране: диалоговое окно Присвоение имени

Ø Добавить

Ø Ок

Повторите действия для ячеек G3, G4, G5.

3.2. Заполните ячейку В8:

Ø В ячейку В8 введите формулу: = 1/(1+E).

Ø Курсор в В8

Ø М1

Ø Формат, Ячейки…

На экране диалоговое окно Формат ячейки

Ø Курсор в окно Число десятичных знаков

Ø М1

Ø Введите: 3

Ø Ок

3.3. Заполните интервал В11:В25

Ø В ячейку В11 введите формулу: = A*A11+B*A11^2

Распространите формулу до ячейки B25

Ø Курсор в ячейку B11

Ø М1

Ø Курсор на правый нижний угол ячейки

Ø МН до В25

3.4. Заполните интервал С11:С25

Ø В ячейку С11 введите формулу: =$B$8^(A11-1)

Ø Распространите формулу до ячейки С25

3.5. Заполните интервал D11:D25

Ø В ячейку D11 введите формулу, для вычисления Y(t):

=(S+СУММПРОИЗВ($B$11:B11;$C$11:C11))/(1-$B$8^A11)

Распространите формулу до ячейки D25

3.6. Заполните интервал E11:E25

Ø В ячейку E11 введите формулу: = B11/(1-$B$8)

Рисунок 7.3

Ø Распространите формулу до ячейки E25

3.7. Заполните интервал F11:F24

Ø В ячейку F11 введите формулу:

Ø =ЕСЛИ(И(D11<E11;D11<E12);"Заменить"; "Не заменять")

Ø Распространите формулу до ячейки F24

3.8. Сделайте выводы по решению задачи.

Из таблицы, приведенной на рисунке 3 видно, что оптимальное время замены оборудования T= 12 лет. Минимальная величина целевой функции Y = 4754,309 у.е.

ЗАДАНИЕ

- Задача замены оборудования длительного пользования:

· По приведенным исходным данным определить уравнения регрессии Сt = F(t) и St = F(t) (выяснить тип зависимости: дискретная или функциональная; если функциональная, то линейная, квадратичная).

Таблица 7.1

t
Ct
St

· Определить оптимальный период списания оборудования.

Для решения задачи можно воспользоваться методическими указаниями к лабораторной работе «Определение уравнения парной регрессии средствами ЭТ Excel».

- Задача замены оборудования с учетом приведения затрат к текущему моменту времени

· Для приведенных исходных данных определите оптимальный срок списания оборудования: покупная цена оборудования S=2000 у.е.; затраты на эксплуатацию оборудования Ct= 20 *t²+50*t; норматив для приведения разновременных затрат Eнп=0,08

Требования к отчету по лабораторной работе

Отчет должен содержать:

1. Условие задачи.

2. Результаты решения задачи.

3. Выводы по решению задачи.

Лабораторная работа N8